陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三年级第一学期第二次周考练数学试题

陕西师大附中2025-2026学年度高三年级第一学期 第二次周考练数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.答案：D 【解析】对于A,x为元素，M为集合，所以x∈M,故A错误： 对于B,{x}为集合，M为集合，且x∈M,所以{x}CM,故B错误： 对于C,M为集合，所以OCM,故C错误； 对于D,M={x,y,2},∴，MC{x,y,},故D正确， 2.答案：D 5 【解析】之=2=-2-1，乏=-2+i,的虚部为1 3.答案：B. 【解析】由题意得y2=8x的焦点为(2,0)，则a=2,而b=1, 得致=V3,即方程为牙+=1，得到离心率 2 4.答案：B 【解析】.元+元=(-2，-3)，元-元=(4，-1). :.2元=(2，-4)→m=(1,-2),27=(-6,-2)→元=（-3，-1)，所以 |2-72=1+4-(9+1)=-5. 5.答案：A 【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为ag十S3=2,a4十S4=6,故两式作差可得 a4-a4+S4-S3=4,即d+4=4,a5=4,又3=9a+am）=9a5,故5=36. 2 6.答案：C 【解析】圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)的圆心M(a,0),半径r1=a, 由直线3x+4划+4=0与圆M相切，得13a+4。 =a,解得a=2. V32+42 圆N:(c-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1,1),半径r2=1. 而MW1=√(a-1)P+(0-1P=V2∈(1,3)，所以圆M和圆N相交. 7.答案：C 【解析】设CA=b,CB=a,则由题意得K=3a2b,巧=3Ta, ab 2 1 a2b2 Va+=3Va+币 1 91 919a2+96211 所以7=2n'哼=2n26'容=2a=7十图 8.答案：C 【解析】设楼上食堂第n天用餐人数为an,楼下食堂第n天用餐人数为bn, 则有an+bmn=1500,由题意可得：am+1=0.9an+0.15bn=0.9am+0.15(1500-an). 即an+1=0.75an+225,解得：an=900+(a1-900)×0.75m-1, 显然，当n很大时，an约为900. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案：BC 【架折]由题意可得P(A)=0-系P()=4X3十。×4= 42 10×9 5故c正确， PA=号品则PB利=智-专故A装 2222 P(A+B)=P(A+P(B)-P(AB)=5+5-15=3:故D错误， 10.答案：ABD 【1防mA一》=osB△ABC防角三形刷A-言+B-号中A+B 2π 2 3 根据三角形的内角和定理，得：C=了故A正确， 由余定理：2=a2+2-2 b cos写=a2+-ai得：9=a2+4-2a 整理得02-2a-5=0,又a>0,所以a=2+V4+20 2 =1+√6，故B错误； 根据正弦定理： sinA=simC→sinA=asinc_(1+v⑥x 2=V31+V⑥ c 3 6 ,故C错误 因为Sao=bsmC=号x1+v⑥×2×5-g+v回-V8+3v 1 2 2 ,故D正确 2 11.答案：ACD. 【解析】令x=y=0得f0)=f2(0)+(1)=f(0) 又f(0)>0,故f(0)=1,故A正确： =y=2则财0=2()雨()=专+1（份）=故 令x=0,则f(-y)=f(0)·f(y)+f(1)·f(1-)=f(y),故c正确： 由知（份）=号0=1（昼）=1()()+1()（份）→f()-号 ®=[B-(》=()()+()()=2×(9）9 ∴.f(x-2)=f(x)·f(2)+f(1-x)·f(-1)=-f(x),令x=t+2得f(t+2)=-f(t) f[(t+2)+2=-ft+2)=f),即f(t+4)=f),故D正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12答案好 【解1f0=-lg1-1)=-g0=1,六fU0)=f-1=211+1=号 13.答案：（-1,0)U(0,+∞) 【解析】.'Sn>0(n∈N*),.∴.S1=a1>0,S2=a1+a1g>0,..q>-1. 当g=1时，Sn=na1>0,条件成立 当g≠1时S=a11=4>0,1-90-g）>0. 1-q 若-1<q<0时，则1-q>0,1-q”>0,条件成立： 若0<q<1时，则1-g>0,1-g”>0,条件成立： 若q>1时，则1-q<0,1-q”<0,条件成立 综上，q的取值范围是(-1,0)U(0,+∞)： 14.答案：1+，e 【解析】x1+x号e2一a=0÷xe=a-x1 f(x)=z2e",g(x)=a-x,f'(z)=2xe*+z2e"=x(x+2)e" 由f'(x)<0得：-2<x<0;由f'(x)>0得：x<-2或x>0. ·.(x)在区间（一∞，一2）上递增，在区间（一2,0）上递减，在区间(0，+0∞)上递增 f-=2f0=00=e 存在唯-实数0∈0,1)，使得fe)=f(-1)=是 ,在区间-1,1]上，f(x)在区间(x0,1]上是一对应的， /11 ∴.f(x)在区间(x0,1上的值域为 (ee. 又g(x)=a-x在区间0,1刂上的值域为[a-1,d. 要使vx1∈0,1，存在唯一x2∈[-1,1，使得f(x2)=g(x1), 0>1+a<6的取时中e9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(13分) 【解析】(1)由题意得，”=110 20001100 解得n=200(人)· (2)列联表： 选物理 选历史 合计 男生 90 20 110 女生 60 30 90 合计 150 50 200 因为K2= 200(90×30-20×60)2 ≈6.061<6.635 110×90×150×50 :没有99%的把握认为选科与性别有关， 16.(15分) 【解析】(1)f(x)=2W3cos2x+2 sinxcosx-V5=√5(1+cos2x)+sin2x-√5 -5cos2x+m2x=2sm2x+写引， 由2x+=kπ+，keZ得：f0)的对称轴为：x=+石，keZ. 2 2121 令+2s2x+经+2加，ke, 解得-+≤x≤+,ke工，即的单调造增区间为+点+小，女e， 2)当xao则时，2x+号e[昏2m+引 由f(x)在区间[0，m]上只有一个零点， 则≤2m+号<2江，解得子≤m<号，即m的取值范围为≤m<产 3 61 17.(15分) 【解析】(1)如图所示，取PA的中点F,连接BF,EF. 由E,F分别为PD,PA的中点，则EF∥AD,AD=2EF, A 而ADIIBC,.AD=2BC,得EFIIBC,EF=BC, 即四边形BCEF为平行四边形，故CElIBF, 而BFc平面PAB,CEx平面PAB,故CE∥平面PAB. (2)取AB的中点O,CD的中点G,连接PO,由aPAB为等边三角形，则PO L AB, 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,POC平面PAB, 故PO⊥平面ABCD.由AD∥BC,AD⊥AB, ZA 以O为坐标原点，OB,OG,OP分别为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=AD=2. 则4a0cuo.o-20a间，49】 则C-0元-u间亚-[传9） 设平面PAC的一个法向量为m=(a,b,c), 4C.m=0 2a+b=0 Pcm=0'即 a+b-V5c=0'取b=2,得m= 设平面ACE的一个法向量为n=(d,e,f）, AC.元=0 [2d+e=0 匹=0即1d+5/=0取e=-2,得=-2同). 则 (2 2 则cs佩动=1-2x2+56 3 园同 1+4+5×1+4+3 4· 故二面角P-AC-E的正弦值为0 18.(17分) 【解析】(1)因为AR1F5且A(2,3),所以焦点F(2,0),即c=2,FF=2c=4,4F引=3， 所以Ml=VA+RE=5,根据双曲线的定义有A-A=5-3=2=2a→a=l, 所以6=c-a2=3,所以双曲线C:x-上=1. 3 (2)根据题意过F(2,0)的直线斜率为0显然不满足题意， x=my+2 可设过F(2,0)的直线为x=my+2, x=my+2 x-上-1→(3m-y+12my+9=0, 由 3 当m*士5时，有△=2m2-4x93m2-刂=36(m2+小>0， 设(，N(,4,则由韦达定理有为+%=-12m .9 3nm2-3h=3m2-' 所以M=+m以-为=+m+%'-4y=Bm2司 6(m2+1) 因为SM=S。w,所以S.Mw=Sw,·即点(-2，O)和点A(2,3)到直线x=my+2的距离 相等，则有d=上2-2_2-2-3m √1+m2√1+m2 解得m=生好 6(m2+1）50 所以M=Bm-寸5' 19.(17分) 【解折】(1)证明：因为/()=cosx+mx+号}snx， 所以(-到}m(-引m-受+引m(-引-nx-meas. 因为y=sinx-COSxz是奇函数，其图象关于原点对称， 所以(-关于点(Q0)中心对称，所以y=因是关于点(0 中心对称。 (2)据题意了(=(m-)nx+mx+}osx=F(), 当0sm≤1时，f(x)>0,故函数f(x)在(-元，0)上单调递增，且∫(-)f()<0, 故存在唯一的零点x=一受 当m<0时，F(因-(2m-小eosx-m+}血x 当x(引时，F()>0,函数了()单调递增： 当x(受0时，F(<0,函数fy单调递减： 由/(-小0，（引0，了<0，可知，存在唯的5（引 使得f(s)=0, 存在唯一的名（受0小，使得了心%）=0。 因此，函数f(x)在(-兀，x)和(：，0)单调递减，在(：，x)单调递增. 由八-网0，（引0，f0>0,可知画数/问有雅一零点. 综上，函数∫(x)在(-元，0)内有且仅有一个零点. (3)令g(x)=-2x-π-/(x, 当m<0时，由(a)可知，当x(,习时，f<0, 问题等价于存在1>0， 当xe（登4到时，总有8创=-2x-+f>0成立。 由8()=-2+(y,8(=(>0,可得函数g()在(，到 上单调递增 当m<-l时， 8引>0,8)<0，故存在唯-的%(，引， 满足g()=0, 因此，当x(。引时，函数8()单调递增，故8()<8(-引-0，不合愿意。 当m=-1时， 当x引时，g(<0,函数8()单调递减，故8>8(=0，合题意 综上，取1=-受-，当x受引时，总有(k-2x-x成立，此时m的最小值为-1。陕西师大附中2025-2026学年度高三年级第一学期 第二次周考练数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，时间120分钟。 2.答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整。 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹 工整、笔迹清晰，并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写 无效。 4.只交答题纸，不交试题卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.若M={x,y,},则以下正确的是() A.x CM B.{x}∈M c.a∈M D.M C {a,y,2} 5 2.设z=1-2 (为虚数单位)，则的虚部为() A.-i B.i c.-1 D.1 3已知椭圆C:之 十=1的右顶点与抛物线划2=8的焦点重合，则C的离心率为0 43 4 c 4.已知向量元，d满足元+元=（-2，-3)，-元=(4，-1)，则2-2=（0 A.5 B.-5 c.-11 D.11 5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若ag十Sg=2,a4+S4=6,则Sg=() A.36 B.32 c.28 D.24 6.已知直线3x+4y+4=0与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的 位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 7.在△ABC中，C=刀，以边CA,CB,AB所在直线为轴旋转得到的几何体的体积分别为M,5,5,则) 21 111 A 7十巧=丙 112 B方+巧-店 1 c顶+咽=图 112 D哼+咽=呀 8.我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐 的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生会第二天到楼上 食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生人数约为() A.700 B.800 C.900 D.1000 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛，现通过抽签决定出场顺序，记事件A表 示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则() AP(AB)- BPB利-S cP=P-号 DPA+-号 10锐角三角形ABC中，角4，B,C所对的边分别是a,6c,已如sin(A-石) =cosB,b=2,c=3,则(0 AC-3 B.a=1+√6 C.sin A= ③ 6 D.△ABC的面积为3V2+V3 2 11,若函数f(c)满足下列条件： @f(x-)=f(x)f(g+f(1-x)f(1-): @f1)=0: ③在区间0,1)上，f(x)>0: 则下列结论正确的是() Af(0)=1 r()= C.f(x)为偶函数 D.f(x)的周期为4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x) 21+1,亚≤1，，则ff1》=一 -lg(x-1),x>1, 13.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n∈N*),则q的取值范围是 14.x1∈[0,1]，存在唯一x2∈[-1,1]，使得：c1+xe2-a=0,则a的取值范围为· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(13分) 在新高考中，采用“3+1+2”模式。某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900 人)中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查， 选物理 选历史 合计 男生 90 女生 30 合计 (1)已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值； (2)在(1)的情况下对抽取到的名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表。请将列联表补充完整，依 据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为选科与性别有关？并解释得到的结论. 参考公式：K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥ko) 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 16.(15分) 已知函数f(x)=2V3cos2x+2 sinz cosz-V3 (1)求∫(c)的对称轴和单调递增区间： (2)若f(x)在区间0，m上只有一个零点，求m的取值范围 17.(15分) 在四棱锥P.ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC,AD⊥AB,AD=2BC,E为PD的中点，如图所际 (1)证明：CE平面PAB; (2)若△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD,求二面角PACE的正弦值 18.(17分) 已知双曲线C: x2 y2 2-证=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为乃，B,点A(2,3)在C上，且AA上乃A. (1)求C的标准方程； (2)过F2的直线交C于M,N两点，线段AM与线段FN交于点R,若△FRM的面积等于△ARN的面积，求MN. 19.(17分) 已知函数f(a)=cosx+m(r+2 sinx,其中m≤1. )证明：曲线划=fe)关于点(-，0）成中心对称 (2)讨论函数f(x)在（一π，0）内零点的个数： )若存在>0，当∈(7-七，-)时，总有fa)<-2r-示成立，求符合条件的m的最小值，