陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三年级第九次模考数学试题

参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. ①④ 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，有，，有， 解得（舍），，故，. （2）由，有 ，相减，得 ， 故. 16．【解析】（1）由表得：，，. 由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投资额这两个变量正线性相关，且相关程度很强. （2）由（1）得两个变量的线性相关程度很强，所以可以用一元线性回归模型 来刻画年销售量和投入额之间的关系.设年销售量关于年投资额的经验回归方程为， ，. 所以，年销售量关于年投资额的经验回归方程为. （3）由（2）得，可得如下数据： 的残差平方和为， 由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好. 当时，(千件)， 故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件. 17. 【解析】（1）的焦点在轴上，设：（），设， 则，有，因为 （），有，解得，所以的方程为. （2）由题意，知：，设：，与的方程联立， 有，设，， 有①，②， 由，有，即，有③， 解①③，得④，⑤，由，，，有，解得，将④⑤代入②，有，解得（舍），故：，即. 18. 【解析】（1），由 得：，解得：. ，当时，；当时，. 在递减，在递增，在递减.在取得极大值. 经检验，条件成立. 故， . （2）设点为曲线上一点 ，由解得：. 当时，，，切线方程为：， 即. 当时，，,切线方程为：， 即. 所以，直线与曲线相切，切点为. （3）方法1：由（1）得： ， 要证，即证，即证， ， ，，又在上递增.即证.下面证明：当时，. 令 则,在上单调递增. ,即.所以，所以原不等式成立. 方法2：令，则. 令，有.，下面证明，即证，令， 即证，即证，由于， 所以上式成立，所以在的最小值为. 故，当时，有.所以原不等式成立. 19．【解析】（1）先证为中点：连接，，因为，所以，因为，所以，故，因此，球的表面积为. （2）（ⅰ）当平面平面时，在平面内作于点，连接，则平面，有，易知，从而，，，在中，由余弦定理，有 ，因此，. （ⅱ）如上图示，作于点，则，有平面，作于点，有，知平面，延长至点，则，知二面角的平面角为，设（），则，有，易知，，则，，分别以直线，为轴、轴建立空间直角坐标系，有，，，，，，因为，，所以有 ，得，故二面角的余弦值为. 注：（1）由（），知， （2）当平面平面时，，有. . 参考答案 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1.命题，则命题的否定为（ ） 2.设全集，若，则（ ） 3.一组数据的上四分位数是(  ) 4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） 5.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） 若，∥，∥，则 若⊂，⊂，∥，则∥ 若，∥，∥，则∥ 若，，∥，则 6.科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期按进行变化.记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处（如图），那么第322天时（ ） 智力曲线处于最低点 情绪曲线与体力曲线都处于上升期 智力曲线与情绪曲线相交 情绪曲线与体力曲线都关于点对称 7.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（ ） 8.如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ） 焦距为的椭圆 焦距为的椭圆 焦距为的椭圆 焦距为的椭圆 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.抛物线：（）的焦点为，过的直线交于，两点，设为坐标原点，的倾斜角为，若，则（ ） 的面积为 10.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 11.已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） 是周期为的周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则___________. 13.如图，在平面斜坐标系中，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则点和向量的斜坐标为．给出以下结论： 若，，则； 若，，则； 若，，则； 若，以为圆心，为半径的圆的斜坐标方程为． 其中所有正确的结论的序号是 ． 14.如图，点，的中点及的中点所确定的平面 把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的 体积为，大部分的体积为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）记（），求. 16．（本题满分15分）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； （2）根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型 来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. （3）该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 17.（本题满分15分）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上动点的距离的最小值为. （1）求的方程； （2）若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程. 18.（本题满分17分）已知函数在取得极大值. （1）求的值； （2）判断直线与曲线是否相切，若相切，求出切点坐标，若不相切，说明理由； （3）证明：当时，. 19.（本题满分17分）在矩形中，，.将沿翻折至，点在平面外. （1）已知三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； （2）设. （ⅰ）当平面平面时，求的值； （ⅱ）求二面角的余弦值. 数学试题 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $