精品解析：陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三年级第九次模考数学试题

数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 命题，则命题的否定为（ ） A B. C. D. 2. 设全集，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 6. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ） A. 智力曲线处于最低点 B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期 C. 智力曲线与情绪曲线相交 D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称 7. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 焦距为的椭圆 B. 焦距为的椭圆 C. 焦距为的椭圆 D. 焦距为的椭圆 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，设为坐标原点，的倾斜角为，若，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 10. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为的周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 13. 如图，在平面斜坐标系中，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则点和向量的斜坐标为.给出以下结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，以为圆心，为半径圆的斜坐标方程为. 其中所有正确的结论的序号是_________. 14. 如图，点，的中点及的中点所确定的平面把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）记（），求. 16. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； （2）根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. （3）该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 17. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上的动点的距离的最小值为. （1）求的方程； （2）若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程. 18. 已知函数在取得极大值. （1）求的值； （2）判断直线与曲线是否相切，若相切，求出切点坐标，若不相切，说明理由； （3）证明：当时， 19. 在矩形中，，.将沿翻折至，点在平面外. （1）已知三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； （2）设. （ⅰ）当平面平面时，求值； （ⅱ）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知命题求出其否定命题，进而判断选项． 【详解】存在量词命题否定形式为全称量词命题， 命题的否定为，故D正确． 故选：D． 2. 设全集，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全集与补集，交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，，， 又因为全集 ， 所以  中剩下的元素  必须在  中 所以. 故选：B. 3. 一组数据的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将数据按从小到大排列，然后根据百分位数相关知识求解出答案. 【详解】将数据按从小到大排列得10，12，14，15，17，19，23，27，31，35，共10个数据； ，根据百分位数定义，所以上四分位数是第8个数字，即27. 故选：C. 4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【详解】函数的定义域和值域均为， 函数的定义域和值域均为R，不满足要求； 函数的定义域为，值域为R，不满足要求； 函数的定义域为R，值域为，不满足要求； 函数的定义域和值域均为，满足要求； 故选：D． 5. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 6. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ） A. 智力曲线处于最低点 B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期 C. 智力曲线与情绪曲线相交 D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项． 【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处， A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误； B项，情绪曲线E处于零点，可能处于下降期，故B错误； C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误； D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确， 故选：D． 7. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 8. 如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 焦距为的椭圆 B. 焦距为的椭圆 C. 焦距为的椭圆 D. 焦距为的椭圆 【答案】A 【解析】 【分析】设复数的代数形式，求出的表达式，再根据复数的模的性质和椭圆的定义确定轨迹即可. 【详解】令. 因为，所以. 又， 所以. 设，则，， 所以，. 代入得，，即， 也即， 因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，， 所以，则，焦距. 所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，设为坐标原点，的倾斜角为，若，则（ ） A. B. C. D. 面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知可得判断A，设联立抛物线，应用韦达定理及得，再应用同角三角函数关系及焦半径公式判断B、C；应用三角形面积公式及弦长公式、韦达公式求三角形面积判断D. 【详解】A：因为，所以，则，所以，正确； B：当时，直线代入，可得，则不符， 故，直线，代入，得， 设，则， 因为，所以，则． 所以，则，因为，所以，正确； C：因为，所以，化为， 则，，错误； D： ，正确． 故选：ABD 10. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布及相互独立事件的概率计算公式逐项求解判断A、B、C，由二项分布及条件概率计算公式求解判断D. 【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜， 其概率为，A正确； 对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局， 其概率为，B错误； 对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为 ， 在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为 ， ，C正确； 对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”， 事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”， 则，， ，， 所以，， ，，D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为周期函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简，把 当成一个整体，然后用二倍角公式展开，最后代入计算. 【详解】因为， 所以 即 故答案为： 13. 如图，在平面斜坐标系中，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则点和向量的斜坐标为.给出以下结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，以为圆心，为半径的圆的斜坐标方程为. 其中所有正确的结论的序号是_________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据斜坐标系的定义，将斜坐标系中的向量坐标用基底向量表示，然后利用向量的运算和数量积定义计算求解即可. 【详解】对于①，因为，，所以，，所以，故①正确； 对于②，因为，，所以，，所以；因为角的值未知，所以的值不能确定，故②错误； 对于③，因为，，所以，所以，故③错误； 对于④，设，则；因为，圆的圆心为，半径为，所以，即，即，即，即，化简得，故④正确. 故答案：①④. 14. 如图，点，的中点及的中点所确定的平面把直三棱柱切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为，大部分的体积为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定平面与棱交点的位置，再将上部分几何体分割成三棱锥和四棱锥，分别计算它们体积与原三棱柱体积的比，最后求比值. 【详解】设平面与棱交点为，则，（可先补成四棱柱，如图易得结论） 所以， ， 所以上部分几何体体积， 因此小部分的体积和大部分的体积之比为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）记（），求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）用基本量表示，求出公差和公比，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，即得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，有，， 有， 解得（舍），， 故，. 【小问2详解】 由， 有， 两式相减，得， 故. 16. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； （2）根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. （3）该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 【答案】（1），正线性相关，且相关程度很强. （2）可以， （3）非线性经验回归方程的拟合效果更好，9.68千件 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，代入相关系数的计算公式求出，再根据相关系数的概念判断求解即可； （2）根据相关系数的概念可知可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系，利用最小二乘法的计算公式求出即可得解； （3）计算线性经验回归方程残差和非线性经验回归方程残差比较可得非线性经验回归方程更好，再由所给方程求出预测值即可. 【小问1详解】 由表得，，， 又因为， 所以， 由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投入额这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）得两个变量的线性相关程度很强， 所以可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系， 设年销售量关于年投入额的经验回归方程为， 所以，， 所以年销售量关于年投入额的经验回归方程为. 【小问3详解】 由（2）得，可得如下数据： 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 3 5.5 1.1 2.3 3.5 4.7 所以的残差平方和为， 由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好， 当时，(千件)， 故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件. 17. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上的动点的距离的最小值为. （1）求的方程； （2）若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，代入中，由最小值为求解，得到方程； （2）设：，与的方程联立消元得到一元二次方程，由韦达定理及求解得到方程. 【小问1详解】 的焦点在轴上，渐近线方程为， 故设的方程为（），设， 则，有， 因为（）， 由已知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意，知：，设：，与的方程联立， 有， 方程的判别式， 设，，则①，②， 由，有，即，有③， 解①③，得④，⑤， 由，，，有，解得， 将④⑤代入②，有，解得（舍）， 故：，即. 18. 已知函数在取得极大值. （1）求的值； （2）判断直线与曲线是否相切，若相切，求出切点坐标，若不相切，说明理由； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）相切，切点为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数极值点和极值联立方程求解； （2）设点为曲线上一点，对函数求导得到，假设相切得到，解得，得到点坐标，再分类讨论验证切线方程即可； （3）对不等式两侧整理得，，将问题转化为证明，再证明即可. 【小问1详解】 ，由 得：，解得：. ，当时，；当时，， 在递减，在递增，在递减， 在取得极大值， 经检验，条件成立,故. 【小问2详解】 设点为曲线上一点 ，由解得：. 当时，， 所以，切线方程为：，即. 当时，， 所以，切线方程为：，即. 所以，直线与曲线相切，切点. 【小问3详解】 由（1）得： ， 要证，即证，即证， ， ， ，又由（1）知在上递增,即证. 当时，,令,则， 在上单调递增, ，即, 所以，所以原不等式成立. 19. 在矩形中，，.将沿翻折至，点在平面外. （1）已知三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； （2）设. （ⅰ）当平面平面时，求的值； （ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形外接圆的圆心为三角形斜边的中点，可判断三棱锥外接球的球心在斜边的中点上，结合平面知识即可求得体积；（2）（i）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得到，然后结合勾股定理和余弦定理即可求解；（ii）根据题意作，，然后建立空间直角坐标系求出的坐标，结合条件即可求得. 【小问1详解】 由矩形知，，所以三棱锥外接球的球心在的中点上； 因为，，，所以，所以球的半径为； 所以球的表面积为； 【小问2详解】 （ⅰ）如图，过作交于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面； 又平面，所以； 在中，，，，， 所以，，； 在中，，， 由余弦定理得； 所以； （ⅱ）如图，作于点，延长至点，连接， 则，，， 所以为二面角的平面角； 作于点，作交于点，则； 因为，，，平面， 所以平面； 又平面，所以，又，， 所以两两相互垂直，故建立如图空间直角坐标系； 设，则，； 因为，，所以，，，； 因为，， 所以， 解得，， 故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $