7.1 为什么要证明 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 北师大版数学八年级上册“为什么要证明”同步练，分两课时分层巩固，从观察归纳不可靠到推理说明理由，通过基础训练与综合应用培养推理意识与抽象能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理层|观察不可靠、反例、推理依据等核心概念|结合视错觉、代数式特例等实例，配易错警示强化认知| |基础应用层|反例判断、观察误区辨析等基础考点|选择填空聚焦反例构造（如“所有偶数都是合数”的反例），夯实概念理解| |综合理解层|归纳验证、代数推理等综合应用|解答题通过代数式归纳（n²+n+1）、几何分区域等问题，培养用字母推理的数学思维|

北师大版数学八年级上册 第七章　证明 1　为什么要证明　·　课时作业（含答案与解析） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 得分：____________ 【作业说明】 依据北师大版数学八年级上册第七章第 1 节「为什么要证明」编写。现行教材本节为 1 课时，本练习仍分两课时巩固，全部内容不超出本节教学要求。 第 1 课时　观察、实验与归纳可能出错； 第 2 课时　用推理说明理由。 说明：本节的任务是体会「为什么要证明」——观察、度量、实验、由几个特例归纳出的结论未必可靠，只有经过有根有据的推理才能确认。证明的格式（已知、求证、证明）与基本事实、定理将在后续课时学习。本作业只要求说明理由，不要求写出规范的证明格式。两课时题目在素材上相互错开，避免同一例子反复出现。 1　为什么要证明　　第 1 课时　观察、实验与归纳可能出错 一、知识梳理 1．眼睛会「骗人」　仅凭观察得到的结论不一定正确，必须经过度量或推理才能确认。 （1）两条线段看上去一长一短，用刻度尺一量却一样长——这是常见的视错觉。 （2）两条直线看上去是弯的，其实它们互相平行。 （3）筷子插入水中看上去「折了」，实际上筷子并没有弯曲。 2．由几个特例归纳出的结论也可能出错　对少数几个数验证成立，不能保证对所有数都成立。 例如代数式 n²＋3n＋1，当 n 取 1，2，3，4，5 时，结果分别是 5，11，19，29，41，都是质数；但当 n＝6 时， 6²＋3×6＋1＝36＋18＋1＝55＝5×11 55 不是质数，所以「n²＋3n＋1 的值一定是质数」这个猜想是错误的。 3．一个反例就足以否定一个结论　要说明一个结论不正确，只要举出一个使它不成立的例子（叫做反例）；但要说明一个结论正确，举多少个例子都不够，必须推理证明。 例如「所有质数都是奇数」——只需指出 2 是质数却是偶数，这个结论就被否定了。 再如：平面内 n 条直线两两相交、无三线共点时，把平面分成的块数依次是 2，4，7，11，16，…，并不是每次翻倍。 4．我们已经有的工具　数、式的运算法则，七年级学过的图形性质，以及大家公认的基本事实。用它们进行推理，才能真正说明「为什么」。 【易错警示】 ① 「看起来相等」「量出来差不多」都不能作为数学结论的依据。 ② 验证了 10 个、100 个例子都成立，仍然不能断定结论对所有情况成立。 ③ 举反例时，反例必须满足条件但不满足结论，只举一个就够。 ④ 「猜想」是探索的起点，「证明」才是终点，两者不能混为一谈。 ⑤ 用特殊值代入的办法可以否定一个结论，但一般不能肯定一个结论。第 1 课时重点是「发现不可靠」，不要急于写成规范证明。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．经过测量得到的结论一定正确　　　　B．观察得到的结论一定正确 C．要说明一个结论错误，只需举出一个反例　　D．验证 100 个例子成立就可以断定结论正确 2．要说明命题「所有偶数都是合数」是错误的，下列反例合适的是（　　） A．4　　B．2　　C．9　　D．15 3．要说明命题「相邻两个完全平方数的差一定是质数」是错误的，合适的反例是（　　） A．2²－1²＝3　　B．3²－2²＝5　　C．4²－3²＝7　　D．5²－4²＝9 4．有人计算 3×4＋1＝13，5×6＋1＝31，都是质数，于是猜想「两个连续偶数的积再加 1 一定是质数」。但 7×8＋1＝57＝3×19。这说明（　　） A．归纳出的规律一定正确　　　　B．归纳出的规律不一定正确 C．前面两个算式算错了　　　　　D．57 其实是质数 5．下列问题中，仅靠观察就能可靠确定结论的是（　　） A．两条线段是否相等　　　　B．两条直线是否平行 C．一个角是否为直角　　　　D．以上都不能 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6．要说明一个数学结论是错误的，可以举出一个________。 7．当 n＝4 时，代数式 n²＋n＋1 的值是________，它________（填「是」或「不是」）质数。 8．要说明「任何奇数都是质数」是错误的，可举反例________。 9．观察、实验、归纳得到的结论只能叫做________，还需要经过________才能确认。 10．命题「两个正数的和一定大于它们的积」是错误的，可举反例：这两个正数为________和________。 （三）解答题（共 60 分） 11．（14 分）如图，AB 与 CD 是两条线段。 （1）先用眼睛观察，你认为哪一条线段更长？ （2）用刻度尺量一量，结果如何？ （3）这个例子说明了什么？ 12．（16 分）小丽发现：当 n 取 1，2，3 时，代数式 n²＋n＋1 的值分别是 3，7，13，它们都是质数。于是她猜想：对于任意的正整数 n，n²＋n＋1 的值都是质数。 （1）分别求出 n＝4、n＝5 时 n²＋n＋1 的值，它们是质数吗？ （2）求 n＝8 时 n²＋n＋1 的值，并判断它是不是质数； （3）小丽的猜想正确吗？请说明理由。 13．（16 分）平面内有 n 条直线，每两条都相交，且没有三条直线相交于同一点。这些直线把平面分成若干部分。 （1）根据规律或画图填写下表： 直线条数 n 1 2 3 4 5 分成的部分数 2 4 （2）只看前两个数据 2，4，你会猜想 n＝3 时应该是多少部分？ （3）实际上 n＝3 时是多少部分？由此你得到什么启发？ 14．（14 分）取任意一个两位数，把它的十位数字与个位数字交换位置得到一个新的两位数，再用较大的数减去较小的数。 （1）取 41 与 85 分别试一试，写出计算结果； （2）根据（1）的结果，你猜想所得的差有什么共同特点？ （3）请再任取一个两位数验证一次。仅凭这几次试验，能保证这个猜想对所有两位数都成立吗？要确认猜想，下一步应该怎样做？ 1　为什么要证明　　第 2 课时　用推理说明理由 一、知识梳理 1．从「猜」到「说理」　发现规律要靠观察和归纳，确认规律要靠推理。推理的依据只能是： （1）已知的条件； （2）学过的运算法则、公式； （3）大家公认的基本事实和已经确认的结论。 2．用字母代替数是最常用的说理工具　把「任意一个数」用字母表示出来，再进行恒等变形，就能说明对所有这样的数结论都成立。 例如：任意两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。 设这两个连续奇数为 2n－1 与 2n＋1（n 为整数），则 （2n＋1）²－（2n－1）²＝（4n²＋4n＋1）－（4n²－4n＋1）＝8n 因为 n 是整数，所以 8n 一定是 8 的倍数。 3．分类讨论也是一种说理　当结论随着字母取值的不同而不同时，要分情况说明。 例如比较 2a 与 a 的大小，只要分 a＞0、a＝0、a＜0 三种情况即可。 4．几何问题的说理　在图形中，先弄清已知什么、要说明什么，再一步一步找出依据。每一步都要能说出「因为……所以……」。例如：对顶角相等，是因为它们是邻补角中减去同一个角后剩下的部分相等。 【易错警示】 ① 说理时每一步都要有依据，「显然」「一看就知道」不是依据。 ② 用字母表示数时，要说清字母代表什么（如「n 为整数」），否则结论不成立。 ③ 分类讨论要不重不漏，边界值（如 a＝0）不能丢。 ④ 图形中的结论不能靠「量一量」确定，要靠已知条件推出。 ⑤ 举例验证与推理说明是两回事：验证再多也代替不了说理。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．下列推理的依据中，不能作为数学说理依据的是（　　） A．已知条件　　B．运算法则　　C．图形量出来的结果　　D．公认的基本事实 2．设 n 为整数，则 2n 一定表示（　　） A．奇数　　B．偶数　　C．质数　　D．合数 3．两个连续奇数的和一定是（　　） A．奇数　　B．4 的倍数　　C．3 的倍数　　D．质数 4．当 a＝－2 时，2a 与 a 的大小关系是（　　） A．2a＞a　　B．2a＝a　　C．2a＜a　　D．无法确定 5．命题「若 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0」是错误的，下列反例正确的是（　　） A．a＝3，b＝2　　B．a＝5，b＝－1　　C．a＝2，b＝1　　D．a＝4，b＝3 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6．设 n 为整数，则三个连续偶数可以表示为 2n－2，2n，________。 7．（n＋1）²－（n－1）²＝________（结果化到最简）。 8．当 a＝2 时，a＋1________2a；当 a＝1/2 时，a＋1________2a。（填「＞」或「＜」） 9．要说明「一个数的平方一定大于这个数本身」是错误的，可举反例：这个数为________。 10．推理说明的每一步都必须有________。 （三）解答题（共 60 分） 11．（16 分）任取两个连续偶数，求它们的和。 （1）分别取 4 与 6，10 与 12 试一试，写出两个和； （2）由此猜想：两个连续偶数的和有什么规律？ （3）设较小的偶数为 2n（n 为整数），用含 n 的式子说明你的猜想成立； （4）两个连续偶数的和一定是 4 的倍数吗？若不是，请举一个反例。 12．（14 分）比较 2a 与 a 的大小。 （1）分别取 a＝－3，a＝0，a＝5 计算 2a 与 a 的值并比较大小； （2）由（1）你发现结论与 a 的取值有关吗？ （3）请分情况写出 2a 与 a 的大小关系。 13．（16 分）观察下面一组算式： 1×2＋2＝4，　　2×3＋3＝9，　　3×4＋4＝16，　　4×5＋5＝25 （1）请再写出符合上述规律的第 5 个算式； （2）你发现了什么规律？用文字说出来； （3）设较小的整数为 n，把这个规律用含 n 的等式表示出来，并说明它是正确的。 14．（14 分）判断下列结论是否正确。正确的说明理由，错误的举出反例。 （1）任意两个奇数的积一定是奇数； （2）若 a＞b，则 a²＞b²； （3）一个正数的倒数一定小于这个正数本身。 参考答案与解析 第 1 课时　观察、实验与归纳可能出错 一、选择题 1．C　【解析】测量有误差、观察会出错，所以 A、B 不对；验证有限个例子不能保证对所有情况成立，D 不对；要否定一个结论，举出一个反例就够了，所以 C 正确。 2．B　【解析】反例必须满足条件「偶数」而不满足结论「合数」。2 是偶数，但是质数，不是合数，所以 B 合适。A 中 4 是合数，结论成立，不是反例；C、D 不是偶数，不满足条件。 3．D　【解析】反例要让「差是质数」不成立。5²－4²＝25－16＝9＝3×3，9 不是质数，所以 D 合适。A、B、C 的差分别是 3、5、7，都是质数，不能否定原命题。 4．B　【解析】前两个特例 13、31 都是质数，但 7×8＋1＝57＝3×19 不是质数，说明由几个特例归纳出的规律不一定正确。 5．D　【解析】线段是否相等要度量，直线是否平行、角是否为直角都要靠度量或推理，仅靠观察都不能可靠确定。 二、填空题 6．反例 7．21；不是　【解析】4²＋4＋1＝16＋4＋1＝21＝3×7，不是质数。 8．9（答案不唯一，9、15、21、25 等合数奇数均可） 9．猜想；证明（推理） 10．2；3（答案不唯一，只要两个正数的和不超过积即可，如 3 与 4）　【解析】2＋3＝5，2×3＝6，5＜6，和并不大于积。 三、解答题 11．（14 分） （1）观察时大多数同学会认为竖着的那一条更长（这是一种视错觉）。 （2）用刻度尺量，AB 与 CD 一样长。 （3）这说明仅凭眼睛观察得到的结论不一定可靠，要确认结论必须通过度量或推理。 12．（16 分） （1）n＝4 时，4²＋4＋1＝21＝3×7，21 不是质数； n＝5 时，5²＋5＋1＝31，31 是质数。 （2）n＝8 时，8²＋8＋1＝64＋8＋1＝73，73 是质数。 （3）不正确。因为当 n＝4 时，n²＋n＋1＝21＝3×7，它除了 1 和它本身外还有因数 3 和 7，不是质数。 这个例子就是小丽猜想的一个反例，一个反例就足以说明猜想是错误的。 【方法总结】由几个特例得到的结论只是猜想；要否定它只需找到一个反例，要肯定它则必须证明。前面几个成立、后面某个也成立，都不能保证中间或更后面的都成立。 13．（16 分） （1）填表如下： 直线条数 n 1 2 3 4 5 分成的部分数 2 4 7 11 16 【解析】每新增加第 n 条直线，最多与前面 n－1 条各交于一点，从而被分成 n 段，每段把一个原有区域一分为二，因此最多增加 n 个部分。递推：2；2＋2＝4；4＋3＝7；7＋4＝11；11＋5＝16。 （2）由前两个数据 2，4 会猜想每次翻一番，所以 n＝3 时应是 8 部分。 （3）实际上最多是 7 部分，比猜想的少 1 部分。 启发：由有限个特例归纳出的规律不一定正确，即使前面几次都对，也可能在后面「失灵」。要确认规律，必须进行推理证明。 14．（14 分） （1）41 与 14：41－14＝27；　　85 与 58：85－58＝27。 （2）猜想：所得的差一定是 9 的倍数。（或：差的各位数字之和是 9 的倍数等，合理即可） （3）例如再取 62：62－26＝36，36＝4×9，符合猜想。 仅凭几次试验不能保证对所有两位数都成立。要确认猜想，需要用字母表示十位、个位数字，进行有根据的推理（这一步将在第 2 课时及后续学习中完成）。 【学后反思】本课时的核心只有一句话：观察和归纳只能提出猜想，推理才能给出确认。同时要记住否定一个结论的最快办法——举反例。 第 2 课时　用推理说明理由 一、选择题 1．C　【解析】测量有误差，量出来的结果只能帮助我们发现规律，不能作为推理的依据。 2．B　【解析】2n 是 2 的整数倍，一定是偶数。它不一定是质数或合数（如 n＝1 时 2 是质数，n＝2 时 4 是合数）。 3．B　【解析】设两个连续奇数为 2k－1 与 2k＋1（k 为整数），和为（2k－1）＋（2k＋1）＝4k，一定是 4 的倍数。 4．C　【解析】a＝－2 时，2a＝－4，－4＜－2，所以 2a＜a。负数乘 2 后离 0 更远，变得更小。 5．B　【解析】反例要满足 a＋b＞0，但「a＞0 且 b＞0」不成立。取 a＝5，b＝－1：和为 4＞0，但 b＜0，所以 B 是反例。A、C、D 中两个数都为正，结论成立，不是反例。 二、填空题 6．2n＋2 7．4n　【解析】（n＋1）²－（n－1）²＝[n²＋2n＋1]－[n²－2n＋1]＝4n。也可看成平方差：（n＋1－（n－1））（n＋1＋n－1）＝2·2n＝4n。 8．＜；＞　【解析】a＝2 时 a＋1＝3，2a＝4，3＜4；a＝1/2 时 a＋1＝3/2，2a＝1，3/2＞1。 9．0（或 1，或 1/2 等，答案不唯一）　【解析】0²＝0，并不大于 0；1²＝1，并不大于 1；（1/2）²＝1/4＜1/2。 10．依据（理由） 三、解答题 11．（16 分） （1）4＋6＝10；　10＋12＝22。 （2）猜想：两个连续偶数的和一定是偶数（或一定是 2 的倍数；也可以说等于中间奇数的 2 倍）。 （3）设较小的偶数为 2n（n 为整数），则较大的偶数为 2n＋2， 它们的和为 2n＋（2n＋2）＝4n＋2＝2（2n＋1）。 因为 2n＋1 是整数，所以和一定是 2 的倍数，猜想成立。 （4）不一定。例如 4＋6＝10，10 不能被 4 整除。所以两个连续偶数的和不一定是 4 的倍数。 【方法总结】「任意偶数」用 2n 表示最简便。连续偶数就是在 2n 上加 2。判断「是不是某数的倍数」时，既要会证明，也要会用反例否定更强的结论。 12．（14 分） （1）逐一计算： a＝－3 时，2a＝－6，－6＜－3，即 2a＜a； a＝0 时，2a＝0，0＝0，即 2a＝a； a＝5 时，2a＝10，10＞5，即 2a＞a。 （2）有关。a 取不同的值时，2a 与 a 的大小关系并不相同，所以不能只用一两个例子下结论。 （3）分情况如下： 当 a＞0 时，2a＞a； 当 a＝0 时，2a＝a； 当 a＜0 时，2a＜a。 【方法总结】当结论随字母取值而改变时，必须分类讨论，并且要做到不重不漏。这里按正、零、负分成三类即可，不必再拆成更多情形。 13．（16 分） （1）第 5 个算式是 5×6＋6＝36。 （2）规律：一个正整数与它的后继数相乘，再加上这个后继数，结果等于后继数的平方。 （也可以说：n 与 n＋1 的积再加上 n＋1，等于（n＋1）²。） （3）设较小的整数为 n（n 为正整数），则等式为 n（n＋1）＋（n＋1）＝（n＋1）² 说明：左边＝n（n＋1）＋1·（n＋1）＝（n＋1）（n＋1）＝（n＋1）²＝右边，所以等式成立。 14．（14 分） （1）正确。设两个奇数为 2m＋1 与 2n＋1（m、n 为整数）， 则它们的积为（2m＋1）（2n＋1）＝4mn＋2m＋2n＋1＝2（2mn＋m＋n）＋1。 这是偶数加 1，所以积一定是奇数。 （2）错误。反例：取 a＝1，b＝－3，此时 1＞－3，但 a²＝1，b²＝9，1＜9。 （3）错误。反例：取正数 1/2，它的倒数是 2，2＞1/2，并不小于这个数本身。 （或取 1：1 的倒数等于 1，并不小于 1。） 【学后反思】这一节回答了「为什么要证明」：观察会骗人，归纳会失灵。要让结论真正可靠，必须用字母代替数、按法则变形、分情况讨论，一步一步说清理由。下一节我们将学习怎样把这样的说理写成规范的证明。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $