7.1 为什么要证明&7.2 认识证明（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版）

3哪个团队收益大 针对训练 1.某校要从四名学生中选拔一名参加“小 甲：101,102,99,100,98,102,100,98； 主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成 乙：98,96,100,102,102,102,100,104. 绩元及方差2如下表.如果要选择一名 下面是小李根据以上数据画出的箱线 成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应 图，请你根据箱线图判断该工厂选择哪 选择的学生是 种包装机更合适，并说明理由. 甲 乙 丙 丁 98100102 甲 9 9 9 8 ☐H 98.5101.5 s2 0.9 1 1.1 1.1 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 96 99101102104 2.某加工厂要对一款进口巧克力进行包 装，要求每袋净含量为100g.现使用甲、 乙两种包装机同时包装100g的巧克 力，从中各随机抽取8袋，测得实际质量 (单位：g)如下： 第七章 证明 1为什么要证明 针对训练 1.如图，比较下列线段的长短.（填“>”3.当n为正整数时，n2一n十3的值一定是 “<”或“=”) 质数吗？ (1)线段a 线段b: (2)线段AB 线段CD. 2.下列推理正确的是 A.若a>b,则ac>bc B.若a=|b,则a=b C.若a=b,则a2=b D.因为对顶角相等，所以相等的角一定 是对顶角 ·35· 2认识证明 第1课时定义与命题 √针对训练 1.下列句子属于定义的是 ）3.把命题“对顶角相等”改写成“如果， A.两点确定一条直线 那么…”的形式： B.同角或等角的余角相等 C.满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾 4.判断下列命题是真命题还是假命题？若 股数 是假命题，请举出反例 D.两直线平行，内错角相等 (1)直角都相等； 2.下列句子中，属于命题的是 (2)如果a十b=0,那么a=0,b=0. A.画一条线段等于已知线段 B.垂线段最短 C.利用三角尺画60°的角 D.平角都是180°吗 第2课时 定理与证明 √针对训练 1.“同一平面内，过一点有且只有一条直线 4.完成下列证明： 与已知直线垂直”这一语句是( 已知：如图，∠1=30°，∠B=60°，AB A.定理 B.基本事实 AC.求证：AD∥BC. C.定义 D.假命题 2.如图，在△ABC和△BAD中，AC=BD, BC=AD,在不添加任何辅助线的条件 B 下，可判定△ABC≌△BAD.判定这两 证明：，AB⊥AC( 个三角形全等的依据是 ∠ =90°( A.ASA :∠1=30°，∠B=60(已知)， B.AAS ∴.∠1+∠BAC+∠B= C.SSS 即∠ +∠B=180°. D.SAS .AD∥BC( 3.证明定理“三角形的任意两边之和大于 第三边”的依据是 ·36·第2课时加权平均数及其应用 针对训练 1.A2.9.13.21 4.解：甲的平均得分为2X7十2X7+9=7.4,乙的平均得分为8X?士8X2+6=7.6.因 2+2+1 2+2+1 为7.6>7.4，所以乙将被录用. 第3课时离差平方和、方差、标准差 针对训练 1.C2.B3.4.4 4.解：z=6+6+8+10+10=8,所以S=(6-8)2×2+(8-82+（10-8)2×2=16. 5 第4课时数据集中、离散程度的应用 针对训练 1.A2.C3.小明小明的成绩比较稳定 4.解：(1)7甲=(80+80+85+85+85)÷5=83，S甲=(80-83)2+(80-83)2+(85- 83)2+(85-83)2+(85-83)2=30,元2=(90+90+90+95+100)÷5=93，S2=(90- 93)2+(90-93)2+(90-93)2+(95-93)2+(100-93)=80,所以分组方式二的组内 离差平方和S=S甲十Sz=110.(2)因为110<360，所以分组方式二中学生之间的水平 更接近。 2中位数与箱线图 第1课时中位数及其应用 针对训练 1.D2.C3.2929.54.8 第2课时四分位数与箱线图 针对训练 1.C 2.解：(1)809093(2)如图所示.(3)相对于甲组而言，乙组成员对AI应用知识的 掌握水平比较接近.（答案不唯一，合理即可） 成绩/分 100 T98 -96 90 8 90 80 80 70 70 —70 L65 60 甲组 乙组 3哪个团队收益大 针对训练 1.A 2.解：选择甲种包装机.理由如下：甲种包装机包装的这8袋中位数等于100，且其他几 袋也更接近100.（答案不唯一） 49 第七章证明 1为什么要证明 针对训练 1.(1)=(2)=2.C 3.解：当n=1时，n2一n十3=1一1十3=3：当n=2时，n2-n十3=4一2十3=5：当n=3 时，n2一n+3=9一3十3=9.因为3,5是质数，9不是质数，所以这个结论不正确 2认识证明 第1课时定义与命题 针对训练 1.C2.B3.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 4.解：(1)真命题.(2)假命题.反例：当a=2,b=一2时，a十b=0. 第2课时定理与证明 针对训练 1.B2.C3.两点之间线段最短 4.已知BAC垂直的定义180°BAD同旁内角互补，两直线平行 3平行线的证明 第1课时平行线的判定 知识梳理 相等∠5相等∠4互补180 针对训练 1.D2.C3.C 4.2DCE角平分线的定义DCE等量代换内错角相等，两直线平行 5.证明：，CG平分∠DCF,∠DCG=65°，.∠DCF=2∠DCG=130°..∠BCE= ∠DCF=130°.：∠B=50°，.∠B+∠BCE=180°.∴.AB∥EF. 第2课时平行线的性质 知识梳理 相等∠2相等∠3互补∠4 针对训练 1.A2.C3.B4.EF∥CD平行于同一条直线的两条直线平行 5.解：AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80,∠DAB=号∠BAC=40,:DE∥ AB,∴.∠ADE=∠DAB=40° 6.证明：(1)：∠1+∠2=180°，∠2=∠AFC,∴.∠1十∠AFC=180°.∴.AB∥CD. (2):AB∥CD,∴∠B=∠DCE.∠B=∠D,.∠D=∠DCE.∴AD∥BE.∠DAE =∠E. 提分小卷 几何专练（一）与勾股定理有关的计算及应用 1.解：在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2=BC-BD=152-92=144,所以CD= 12.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD=202-144=256,所以AD=16. 所以AB=AD+BD=25: 50 2.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=1.5+2=6.25.在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AD=AC+CD=6.25十2.5=12.5.所以正方形ADEF的面积为12.5. 3.解：因为ADI CE,所以∠D=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD十CD =72+242=625.因为AB2+BC=202+152=625,所以AB2+BC=AC2.所以 △ABC是直角三角形，且∠B=90°.所以AB⊥BC, 4.解：(1)根据题意，得AC⊥BC,所以∠C=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC= AB2-AC=202-12=256,所以BC=16m.(2)这辆小汽车在BC段的速度约是16÷ 1.5≈10.7(m/s),答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7m/s. 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=BC-AC=172-8=225.所以AB=15m. 由题意，得CD=17-1×7=10(m).在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD=CD-AC =102-82=36.所以AD=6m.所以BD=AB-AD=9m.答：船向岸边移动了9m. 6.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC2=132-122=25.所以BC= 5.(2)因为CD2+BD=32+42=25,BC=25,所以CD2+BD2=BC°.所以△BCD为 直角三角形，且∠BDC=90,所以SN边Ee=S△g一SA=分AC·BC-号BD· CD-3×12X5-×4×3=24. 7.解：补充证明过程如下：因为SnE=Sa版十Sar十S方E=弓ab十弓ab十 0h-a)-B,SnamA0E-SoM+Su(b+a)(-a) c,所以=2+-c.整理，得d+8=心. 易错小测（一） 1.C【易错点拨】忽略勾股数的前提是正整数而致错 2.C【易错点拨】要对主要方向敏感，正东、正北成90°. 3.D 4.C【易错点拨】对直角三角形的判定理解不透彻而致错. 5.C【易错点拨】注意直接用AC=AD+CD,BC=BD+CD进行转化，不要复 杂化问题 6.D 7.225或63【易错点拨】题干未指明斜边，需要分类讨论. 8.1509.20 10.30【易错点拨】注意审题，绕礼盒侧面2周，不是1周. 11.解：因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°.在Rt△ADC中，CD2=AD十AC=625,所 以CD=25.所以BD=BC-CD=32-25=7. 12.解：(1)因为AC+BC=802+602=10000,AB=10000,所以AC+BC2=AB. 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.所以AC⊥BC.(2)48 13.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC-AB2=202-122=256,所以AC =16.(2)设AP=x,则BP=CP=AC-AP=16-x.在Rt△ABP中，由勾股定理，得 AB2+AP2=BP,即12+x2=(16-x)2,解得x=3.5.所以AP=3.5. 14.解：(1)出发3s后，AE=AC-CE=40-4×3=28(m),AF=AB-BF=30-3×3 =21(m).在Rt△AEF中，EF=AE+AF=282十21=1225，所以EF=35m.因为 51