4.2整式的加法与减法 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“整式的加法与减法”，涵盖同类项、合并同类项、去括号及整式加减法则。课堂导入以港珠澳大桥情景问题为载体，引导学生从实际路程计算中发现同类项特征，关联分配律，搭建从数的运算到整式运算的学习支架。 导学案以数学抽象和数学运算为核心，通过规律探究、实例运用、变式训练及项目式学习，层层递进培养学生概念理解与运算能力。融入生活情境与实际问题，强化模型意识，助力学生用数学语言表达现实世界，提升自主学习与问题解决能力。

姓名: 学科: 日期: 4.2整式的加法与减法 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年8月31日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历情景问题探究，认识与理解同类项的概念，熟练掌握合并同类项的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重点） 2. 经历规律探究，理解与掌握去括号的法则，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪难点） 3. 经历规律探究，理解与掌握整式的加减法则，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象） 【学习过程】 1、 同类项与合并同类项 （1） 情景问题 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，请根据这些数据回答下列问题： 如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，你能用含的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长吗？ 探究： 汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是 ，香港口岸到西人工岛的全长（单位：）是 即 （二）思考 如何计算呢？下面我们类比数的运算，讨论整式的加法运算. 探究： 根据分配律可得 ∵多项式表示与两项的 ，它与式子 和 有相同的 ，并且字母代表的是一个乘数， ∴根据分配律也有 （三）同类项的概念 1.规律探究 （1）；（2）（3）. 观察上面每组的两个单项式有什么共同特点？ 探究： 由观察可知 （1）中的单项式，它们含有相同的字母 ，并且的指数都是 ； （2）中的单项式，含有相同的字母 ，并且的指数都是 ； （3）中的单项式，都含有字母 ，并且的指数都是 ，的指数都是 . 综上，上面每组的两个单项式的共同特点为： ①含有 字母；② 字母的指数也 . 2.同类项的概念 像这样， 所含字母 ，并且相同字母的 的项叫作同类项. 【注1】几个常数项也是 .例如，与是 . 【注2】判断同类项的依据是： ①“ ”：所含 完全相同，相同字母的 ； ②“ ”：与 无关，与字母的 无关. 例如，是 . 3.实例运用 例1．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 例2．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4.变式训练 【变式1】下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 【变式2】若与是同类项，则的值是（     ） A． B． C． D． （4） 合并同类项 1.规律探究 填空： （1）； （2）； （3）. 上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？ 探究： 根据乘法分配律可得， （1）； （2）； （3） 由观察可知，上述运算的共同特征为： ①把多项式中的同类项合并成 ； ②把两个同类项的 相加； ③字母与字母的指数保持 . 2. 合并同类项的概念 向这样 把多项式中的 合并成 ，叫作合并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的 的和，字母连同它的指数 . 例如， 【注】合并同类项的一般步骤： ① ：找出 （并做 ）； ② ：运用 将同类项集中在一起，每两组不同的同类项之间用 连接； ③ ：合并同类项； ④ ：合并同类项的结果为一个多项式时，通常把多项式的各项按照某个字母的指数 （降幂）或者 （升幂）的顺序排列. 3. 实例运用 例3.合并下列各式的同类项： （1）；（2）. 例4.先化简，再求值. (1）求多项式的值，其中； (2）求多项式的值，其中. 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项 ，然后再求值，这样做往往可以 计算. 例5. （1）水库水位第一天连续下降了，平均每小时下降；第二天连续上升了，平均每小时上升．这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为.上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 解：（1）把下降的水位变化量记为 ，上升的水位变化量记为 ，则第一天水位的变化量是，第二天水位的变化量是．则有 答：这两天水位总的变化情况为下降了. （2）把进货的数量记为 ，售出的数量记为 ，则上午大米质量的变化量是，下午大米质量的变化量是.则有 答：进货后这个商店有大米. 4. 变式训练 【变式1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】合并同类项的结果是（   ） A． B． C． D．1 【变式3】若与的和是单项式，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．0 【变式4】合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【变式5】求下列多项式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 二、去括号 （一）情景问题 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，请根据这些数据回答下列问题： 如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，你能用含的代数式表示主桥与海底隧道长度的和吗？主桥与海底隧道的长度相差多少千米? 探究： 汽车通过主桥的行驶时间是，那么汽车在主桥上行驶的路程是； 通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，那么汽车在海底隧道行驶的时间是，行驶的路程是． 因此，主桥与海底隧道长度的和（单位：）为 主桥与海底隧道长度的差（单位）为 （二）思考 上面的代数式①②都带有括号，应如何化简它们？ 探究： 由于字母表示的是数，所以可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各项相乘，去掉括号，再合并同类项，得 （三）去括号的法则 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要 ，去括号就是用括号外的数乘括号内的 ，再把所得的积 . 【注】特别地，与可以看作 与 分别乘.利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得 这也符合上面的去括号的方法. 这种特殊情况可简述为： ①括号外面是 ，去掉括号后各项 ； ②括号外面是 ，去掉括号后各项 . （四）实例运用 例6.化简 （1）；（2）. 例7两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是. （1）2h后两船相距多远? （2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？ 解： ∵， . ∴可列如下代数式 (1) 故后两船相距. (2) 故2h后甲船比乙船多航行. （5） 变式训练 【变式1】下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)． 三、整式的加减 （一）问题探究1 计算 （1）；（2）. 探究： （1）原式 （2）原式 （二）整式的加减法则 几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 . 【注】①整式加减的结果要 ，不能有 ；②含字母的项的系数不能出现 ，如果有带分数，将其化成 ；③整式加减的结果一般 . （三）问题探究2 求的值，其中. 探究： 先化简 原式 当时，原式 （四）整式的化简求值的一般步骤 1.一 ：利用整式加减的运算法则将整式化简； 2.二 ：把已知字母的值代入化简后的式子； 3.三 ：根据 的运算法则进行计算.对于某些特殊的式子，可采用“ ”进行计算. （五）实例运用 例8.做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表4.2-1所示. （1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 解： ∵小纸盒的表面积是， 大纸盒的表面积是. ∴可得 (1) 故做这两个纸盒共用纸. (2) 故做大纸盒比做小纸盒多用纸. （6） 变式训练 【变式1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式2】先化简，后求值：，其中，． 【变式3】已知，，，，求的值． 【变式4】有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 4、 达标检测 1．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 3．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 5．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下面的计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 8．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 9．若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 10．填空： （1）一打铅笔有支，打铅笔有______支； （2）三角形的三边长分别为、、，这个三角形的周长为______； （3）如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为，则共有草地______． 11．如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是________． 12．若与是同类项，则的值是________． 13．的结果是________． 14．下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．化简： (1)； (2)； (2) ； (4)． 16．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知． (1)求； (2)求． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 21．已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 22．有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 23．计算： 24．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 25．先化简，再求值：，其中，． 26．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 27．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 28．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 4.2整式的加法与减法 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年8月31日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历情景问题探究，认识与理解同类项的概念，熟练掌握合并同类项的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重点） 2. 经历规律探究，理解与掌握去括号的法则，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪难点） 3. 经历规律探究，理解与掌握整式的加减法则，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象） 【学习过程】 1、 同类项与合并同类项 （1） 情景问题 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，请根据这些数据回答下列问题： 如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，你能用含的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长吗？ 探究： 汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是，香港口岸到西人工岛的全长（单位：）是 即 （二）思考 如何计算呢？下面我们类比数的运算，讨论整式的加法运算. 探究： 根据分配律可得 ∵多项式表示与两项的和，它与式子 和 有相同的结构，并且字母代表的是一个乘数， ∴根据分配律也有 （三）同类项的概念 1.规律探究 （1）；（2）（3）. 观察上面每组的两个单项式有什么共同特点？ 探究： 由观察可知 （1）中的单项式，它们含有相同的字母，并且的指数都是1； （2）中的单项式，含有相同的字母，并且的指数都是2； （3）中的单项式，都含有字母，并且的指数都是1，的指数都是2. 综上，上面每组的两个单项式的共同特点为： ①含有相同的字母；②相同字母的指数也相同. 2.同类项的概念 像这样， 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 【注1】几个常数项也是同类项.例如，与是同类项. 【注2】判断同类项的依据是： ①“两相同”：所含字母完全相同，相同字母的指数也相同； ②“两无关”：与系数无关，与字母的排列顺序无关. 例如，是同类项. 3.实例运用 例1．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】同类项的判断 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 例2．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 4.变式训练 【变式1】下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可． 【详解】选项A中，与，相同字母的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同，故不是同类项； 选项B中，含字母，不含字母，所含字母不同，故不是同类项； 选项C中，与都是常数项，所有常数项都是同类项，故是同类项； 选项D中，含字母，含字母，所含字母不同，故不是同类项． 【变式2】若与是同类项，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据同类项的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：，． ． （4） 合并同类项 1.规律探究 填空： （1）； （2）； （3）. 上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？ 探究： 根据乘法分配律可得， （1）； （2）； （3）. 由观察可知，上述运算的共同特征为： ①把多项式中的同类项合并成一项； ②把两个同类项的系数相加； ③字母与字母的指数保持不变. 2. 合并同类项的概念 向这样 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 例如， 【注】合并同类项的一般步骤： ①找：找出同类项（并做标记）； ②移：运用交换律、结合律将同类项集中在一起，每两组不同的同类项之间用加号连接； ③合：合并同类项； ④写：合并同类项的结果为一个多项式时，通常把多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列. 3. 实例运用 例3.合并下列各式的同类项： （1）；（2）. 解： （1） 原式； （2） 原式 例4.先化简，再求值. (1）求多项式的值，其中； (2）求多项式的值，其中. 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简化计算. 解： （1）先化简 原式 当时，原式 （2）先化简 原式 当时，原式 例5. （1）水库水位第一天连续下降了，平均每小时下降；第二天连续上升了，平均每小时上升．这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为.上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是，第二天水位的变化量是．则有 答：这两天水位总的变化情况为下降了. （2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是，下午大米质量的变化量是.则有 答：进货后这个商店有大米. 4. 变式训练 【变式1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】合并同类项 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 【变式2】合并同类项的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项运算，解题用到合并同类项法则：合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ． 【变式3】若与的和是单项式，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查合并同类项，根据单项式的和为单项式，得到两个单项式为同类项，进而求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【变式4】合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】合并同类项 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5】求下列多项式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.7 【知识点】合并同类项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先合并同类项化简多项式，再代入给定的值计算结果即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当，时，原式； （3）解： ， 当时， 原式 ． 二、去括号 （一）情景问题 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，请根据这些数据回答下列问题： 如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，你能用含的代数式表示主桥与海底隧道长度的和吗？主桥与海底隧道的长度相差多少千米? 探究： 汽车通过主桥的行驶时间是，那么汽车在主桥上行驶的路程是； 通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，那么汽车在海底隧道行驶的时间是，行驶的路程是． 因此，主桥与海底隧道长度的和（单位：）为 主桥与海底隧道长度的差（单位）为 （二）思考 上面的代数式①②都带有括号，应如何化简它们？ 探究： 由于字母表示的是数，所以可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各项相乘，去掉括号，再合并同类项，得 （三）去括号的法则 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 【注】特别地，与可以看作1与-1分别乘.利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得 这也符合上面的去括号的方法. 这种特殊情况可简述为： ①括号外面是正号，去掉括号后各项不变号； ②括号外面是负号，去掉括号后各项要变号. （四）实例运用 例6.化简 （1）；（2）. 解： （1）原式 （2）原式 例7两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是. （1）2h后两船相距多远? （2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？ 解： ∵， . ∴可列如下代数式 (1) 故后两船相距. (2) 故2h后甲船比乙船多航行. （5） 变式训练 【变式1】下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】去括号 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.7 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【详解】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 三、整式的加减 （一）问题探究1 计算 （1）；（2）. 探究： （1）原式 （2）原式 （二）整式的加减法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【注】①整式加减的结果要最简，不能有同类项；②含字母的项的系数不能出现带分数，如果有带分数，将其化成假分数；③整式加减的结果一般不含括号. （三）问题探究2 求的值，其中. 探究： 先化简 原式 当时，原式 （四）整式的化简求值的一般步骤 1.一化：利用整式加减的运算法则将整式化简； 2.二代：把已知字母的值代入化简后的式子； 3.三算：根据有理数的运算法则进行计算.对于某些特殊的式子，可采用“整体代入法”进行计算. （五）实例运用 例8.做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表4.2-1所示. （1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 解： ∵小纸盒的表面积是， 大纸盒的表面积是. ∴可得 (1) 故做这两个纸盒共用纸. (2) 故做大纸盒比做小纸盒多用纸. （6） 变式训练 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】合并同类项、含乘方的有理数混合运算、去括号、整式的加减中的化简求值 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式3】已知，，，，求的值． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【详解】解：∵，，， ∴ ． 【变式4】有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 4、 达标检测 1．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】同类项的判断 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 2．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】同类项的判断 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 3．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 4．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、单项式的判断、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 5．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】合并同类项 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 6．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】去括号 【分析】利用单项式乘多项式法则展开各选项左边，与右侧对比判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，等式左右相等，故D正确． 7．下面的计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、去括号 【详解】解：选项A，根据去括号法则，，A错误； 选项B，与不是同类项，不能合并，B错误； 选项C，根据去括号法则，， C错误； 选项D，根据合并同类项法则，，计算正确，D正确． 8．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 9．若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值、去括号 【分析】将所求代数式变形为含的形式，整体代入求值． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 10．填空： （1）一打铅笔有支，打铅笔有______支； （2）三角形的三边长分别为、、，这个三角形的周长为______； （3）如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为，则共有草地______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】整式的加减运算、列代数式 【详解】解：（1）∵一打铅笔有支， ∴打铅笔有支； （2）三角形的周长为； （3）四块草地可以合并成一个半径为的圆， ∴草地的面积为． 11．如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【分析】已知两式的和与其中一个式子，用和减去已知式子即可得到所求一次式． 【详解】解： ． 12．若与是同类项，则的值是________． 【答案】 4 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等， 可得 ，，解得 ， ∴ ． 13．的结果是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、去括号 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 14．下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，改正为． (2)不正确，与不是同类项，不能合并． (3)不正确，改正为． (4)正确 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、同类项的判断 【分析】先判断各小题中的项是否为同类项，再根据合并同类项的规则验证计算是否正确，错误的予以改正． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：，原式正确． 15．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、合并同类项、去括号 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算、合并同类项 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】去括号 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】整式的加减运算 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.7 【知识点】整式的加减运算、合并同类项 【分析】三个小题均为整式加减计算，先去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ． 20．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 21．已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 22．有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】先根据数轴判断、、大小及、绝对值大小，进而判断各代数式正负，再利用绝对值性质去绝对值符号，最后合并同类项化简式子即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 23．计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算 【详解】解： ． 24．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【难度】0.65 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 25．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【难度】0.75 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： ， 当，时， 原式． 26．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【答案】(1)能，理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． (2)这个差会被9整除，理由：新数与原数的差为， 所以这个差会被9整除． 【难度】0.65 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】（1）根据题意表示出新数与原数，求出之和，即可作出判断； （2）求出新数与原数的差，即可作出判断． 【详解】（1）略 （2）略 27．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【难度】0.42 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 28．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，或； (4)不会改变，值为 【难度】0.52 【知识点】整式的加减运算、有理数的加减混合运算、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，或； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和的点之间的距离和， ， 当表示和之间（含端点）的点时，有最小值， 此时正整数的值为或； （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，， 由题意知，， 的值不会随着时间的变化而改变，其值为． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $