5.1.2 导数的概念课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念，从平均变化率切入，通过“求函数变化量、算平均变化率、取极限得导数”三步，构建从平均到瞬时变化率的认知支架，衔接前期函数知识与后续导数应用。 其亮点在于以“入木三分”问题深化概念理解，题型涵盖定义应用、形式化计算及实际意义（如总利润函数导数的经济解释），结合“一差二比三极限”口诀培养数学思维，帮助学生用数学语言表达变化规律，提升教师教学效率与学生探究能力。

5.1.2 导数的概念及其几何意义 (第1课时) 导数的概念 书读百遍 要点1平均变化率 对于函数y=x),设自变量x从xo变化到o+△x,相应地，函数 值y就从xo)变化到xo+△x).这时，x的变化量为△x,y的变化量为 f(xo+△x)-f(xo) △y △y △y=十△x)-w.我们把比值A即A △x 叫做函数y=x)从xo到xo十△x的平均变化率. 第2页 要点2导数（瞬时变化率） △y ()如果当△口0时，平均变化率A无限趋近于一个确定的值。即 △y 有极限，则称y三x)在x=o处可导，并把个确定的叫做 △x y三 f孔x)在x=处的 导数（也称为瞬时变化率），记作f(x)或yx= Xo f(xo+△x)-f(xo) Xo △y 即f(xo)=imo△x lim △x0 △x x0 第3页 (2)对导数概念的理解： ①△x0是指△x从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. △y ②若1im1 x-0 存在，则称在x=处可导，并且导数即为极限 △y lim 4x0 △x x)一xo) ③令x=xo十△x,得△x=x-xo,于是f'(xo)=lim X→X0 x一X0 f(x+△x)-f(xo) 与概念中的f'(xo)=lim 意义相同. ☑x0 △x 第4页 要点3求导数的步骤 由导数的定义，我们可以得到求函数y=)在点，处的导数的步 骤： (I)求函数的变化量△y=x,+△)- fx) 2)求平均变化率△x △yf(x+△x)-f(xo) △x △y lim (3)取极限得导数'(xo)= 4W"4x 第5页 入木三分 1.平均变化率的概念中符号△x,△y各表示什么？它们的值能否 为0？平均变化率的几何意义是什么？ 答：△x,△y表示x,y的变化量.如图所示，△x” y=fx) B x2-x1△y=x2)-x)或△x=x1-x2,△y=x1 △x,△y是一个整体符号，而不是△与x或y相乘. fx) △x x2 x △x的值可正、可负，但不能为0；△y的值可正、可 负，可为0.例如，当函数x)为常数函数时，△y=0. 利用函数y=x)的图象，得到平均变化率的几何意义是函数图象 上过A(c1,y),Bx2,y)两点的割线AB的斜率. 第6页 2.瞬时变化率可以认为是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时 的值吗？ 答：可以 3.函数y=x)在点x=x。处的导数的定义形式唯一吗？ 答：不唯一.函数y=x)在点x=xo处的导数的定义可变形为f'(xo) f(xo-△x)-f(xo) f (x)-f(xo) =lim 或f'(xo)=lim △x→0 一△x X→X0 X一X0 返回 课时学案 题型三 平均变化率 例1求函数x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率，若△x 都取， 哪一点附近的平均变化率最大？ 【解析】 在x=1附近的平均变化率为，=(1+△)一f(1) △x (1+△x)2-1 =2+△x; △x 第页 在x=2附近的平均变化率为=2+△)-f2) △x (2+△x)2-22 =4十△x; △x 在x=3附近的平均变化率为6=f(3+△)-f(3) △x (3+△x)2-32 =6十△x. △x 若△x=3, 则=2+==4+号5k=6+号号 由于<k2<k,·在x=3附近的平均变化率最大. 第10 探究 关于函数的平均变化率，注意以下四点：①函数x)在x,处有 定义；②x,是x1附近的任意一点，即△x=x2·x,≠0，但可正可 负；③注意变量的对应：若△x=x2-x1,则△y=x2)-x), 而不是△y=x)-x,)；④平均变化率可正可负，也可以为零. 第11页 思考题1求函数x)=x在x。,x。十△上的平均变化率. 【解析】 函数孔x)=x3在xo,xo+△x]上的平均变化率为 f(xo+△x)-f(xo) (xo+△x)3-xd 三 △x △x 好+3·△x+3o·(A)2+(0)3-8=3x+3·△x+(4 △x 第12 五 题型二 导数定义的直接应用 例2 (1)求函数y=x2在x=3处的导数. 【解析】 取△x≠0，则△y=(3+△x)2一32=6△x+(△x)2 △y_6△x+(△x)2 所以 △x =6+△x. Ay=1im。(6+Ax)=6, m。公g y'x=3=6. 第13 五 (2)求函数y=x一在x=1处的导数. 【解析】 寂△z0,:△=1+ax-7十Ax1-}△+ △x △x, △+1+△ 1 1+△x' △x △x =1+1+Ax ÷m。8x4四0 从而y'x=1=2. 第14 探究 根据导数的定义，求函数在x=x,处的导数，分三个步骤（口 诀：一差二比三极限)： (1)求函数的变化量. (2)求平均变化率 y △y 3)求极限m, △x 第15 思考题2己知x)=x2十2. (1)求x)在x=1处的导数f(1); 【解析】()因为△x △y_f(1+△x)-f(1) △x (1+△x)2+2-（12+2) △x =2十△x, Ay=1im。(2+A)=2. 所以。△4m0 故fx)在x=1处的导数f(1)=2. 第16 五 (2)求x)在x=a处的导数f(a). 【解析】(2)因为公x △y_f(a+△x)-f(ad △x (a+△x)2+2-(a2+2) △x =2a+△x, Ay=lim (2a+x)=2a, 所以8x4加0 故x)在x=a处的导数f(a)=2a. 第17 五 题型三 导数运算公式的形式化计算 例3 若函数y=x)在x=x处可导，则，lim △x→0 f(x+△x)-f(x-△x) △x 等于() A.f'(xo)） 2f'() C.-2f'(xo) D.0 第18 五 f(xo+△x)-f(xo-△x) 【解析】 方法一：lim 二 lim △x→0 △x △x→0 xo+△x)-xo)+xo)-xo-△x) f(xo+△x)-f(xo） lim △x △x-0 △x w)-fo-△川=∫ f(xo+(-△x))-f(xo) lim (xo)+lim △x→0 △x △x→0 一△x f(xo)+(xo)=2 (xo). f(+△x)-f(xo-△x) 方法二：lim 二 △x→0 △x lim △x0 2x+0-a斗2+a-A-y 2△x △x→0 2△x 第19 探究 导数的形式化算的本就是数概念 f(xo)=lim △x→0 f(xo+△x)-f(xo) f(x)-f(xo） △x lim 的理解.需要说明的 X→xo x一x0 是导数是一个局部概念，它只与函数y=x)在x=x及其附近的函 数值有关，与△x无关. 第20 而 瞬时变化率的常见变形形式： f(xo+△x)-f(o) f (xo)=lim lim △x-0 △x △x-0 f(xo-△x)-f(xo) f(xo)-f(x0-△x) -△x lim lim △x→0 △x △x→0 f(xo+n△x)-f(xo） f(xo+△x)-f(xo-△x) lim nA x △x→0 2△x 第21 五 f(xo-2△x)-f(xo) 思考题3(1)设x)是可导函数，且lim △x→0 △x 一2，则f(x)=() A.2 B.-1 C D.-2 【解析】f'(o)=lim △x→0 f)-f-2A=-m 2△x →0 1-2△0.-f）=-2x(-2)=l △x 第22 五 f (xo-k)-f (xo) (2)若f'(xo)=2,求1im 2k 的值 k→0 【解析】 令一k=△x,:k0,△x→0 f(xo+△x)-f(xo) 则原式可变形为lim △x→0 -2△x f(xo+△x)一f(x lim 2x0 △x ）=-寸w=-2×2=-1 第23 而 题型四 导数在实际问题中的意义 例4 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万 元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)=一2x2+7x十6.求 c'(1)与c(2),并说明它们的实际意义. 【解析】令x=1时产量的改变量为△x, 一2x7十，(xV)乙-（)3-x。,、 △x △x Ac=im(-2Ax+3)=3, c'(1)=m△x40 第24 五 今x=2时产量的改变量为△x, △cc(2+△x)-c(2) 则x -2(A02=Ax=-2Ax-1, △x △x c'(2)=lim Ac=im(-2Ax-1)=-1 4imo△x4im0 c'(1)的实际意义：当产量为1干台时，多生产1干台旋切机可多获 利3万元； c'(2)的实际意义：当产量为2干台时，多生产1干台旋切机少获利 1万元. 第25 五 探究 函数在一点处的导数的意义： 函数y=x)在x=x,处的导数(x)反映了函数在这点处的瞬 时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何 事物的瞬时变化率 第26 而 思考题4一条水管中流过的水量y(单位：)是时间（单位：s) 的函数，且y=0)=3t.求函数y=)在1=2处的导数f(2),并解释 它的实际意义， 【解析】 根据导数的定义， △y_f(2+△)-f(2)_3(2+△)-3×2 =3. △t △t y二3 :f(2)=im。 △t→0 f'(2)的实际意义是：水流在2s时的瞬时流量为33/s,即此时刻， 每经过1s,水管中流过的水量为3m3. 返回 课后巩固 1.已知函数x)=2x2一4的图象上一点(1，一2)及邻近一点(1+△x, △y -2+月公( A.4 B.4x C4+2Ax D.4+2(△x)2 解析△y=1+△x)-1)=[21+△x)2-4]-(2×12-4) =[2(△x)2+40x-2]-(-2)=2(△x)2+4△x. ,△y_2(Ax)2+4Ax=2Ax+4. △x △x 第29 五 2.设函数x)=x2一1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均 变化率是() y2.1 B.0.21 C.1.21 D.0.121 解析△x=1.1-1=0.1,△y=f1.1)-1)=1.12-1-(12-1)= 021.所以画数)=-1在区[1,1山上的平均变化率为公-0 △y_0.21 2.1.故选A 第30 五 3 3.已知x)=一x2+10,则x)在x=处的瞬时变化率是( ) A.3 -3 C.2 D.-2 Wy+a-局 解析因为公x=△x 2=-Ax-3,所以m。A==3 第31 五 4.已知函数y=x)在x=xo处的导数为11，则1im △x→0 f(xo-△x)-f(xo) △x =() A.11 -11 c品 D. 1 11 解析 函数y=x)在x=o的数 11,则 f(xo-△x)-f(xo) =-f(-A)-f(） △x -△x =-f′(xo)=-11. 故选B. 第32 五 5.已知球的体积V与半径r的函数关系式为V=,用定求 V在r=5处的导数. 4 30 5+A月3-n 3TT x 53 解析 由导数定义可得lim △→0 △r 3[(A)3+15(Ar2+75A] =lim △0 △r 4 4 =lim。3n[(Ar2+15Ar+75]=3·75=100m. △r→0 故V在r=5处的导数为100m. 返回