5.1.2 导数的概念及其几何意义-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学 选择性必修第二册 5.1.2 导数的概念及其几何意义 明学习目标 知结构体系 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时 变化率的数学表达式。 函数的平均变化率 课标 2.进一步体会极限思想，会利用导数的概念求函数 要求 导数的概念 导数的概念 在某点处的导数 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 导函数 重点 重点：导数的概念、几何意义及应用 导数的 难点 几何意义 切线斜率k。li fxo+△x)fx=f'(Gx) △x 难点：对导数概念的理解. Ax→0 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)函数在某点处的导数 (3)f(xo)是函数y=f(x)在x=xo附近的平均 1.函数y=f(x)从x0到x0十△x的平均变化率 变化率。 ( 对于函数y=f(x),设自变量x从xo变化到 (4)函数f(x)=0没有导函数 ( xo十△x,相应地，函数值y就从f(xo)变化到 (5)f(xo)与[f(xo)]'表示的意义相同.( f(xo十△.x).这时，x的变化量为△x,y的变化量 (6)若(xo)=0,则曲线y=f(x)在点(x0, 为△y= 我们把比值会即会 f(xo)处的切线不存在. 叫做函数y=f(x)从x0到x0十2.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为 △x的平均变化率. 1.1时，函数的平均变化率为 () 微点注解 A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 △x是自变量的变化量，它可以为正、为负，但不 (二)导数的几何意义 为零；△y是相应函数值的变化量，它既可以为1.切线的定义 正，可以为负，也可以等于零 如图所示，在曲线y= yf(x业 D 2.函数y=f(x)在x=xo处的导数（瞬时变化率） f(x)上任取一点P 如果当△x→0时，平均变化率A无限趋近于一 (x,f(x),如果当点 P(x,f(x))沿着曲线 个 即会有 ,那么称y=f(x)在； y=f(x)无限趋近于 x=x0处 ,并把这个确定的值叫做y= 点Po(x0,f(xo)时， f(x) f(x)在x=xo处的 (也称为瞬时变化率)， 割线PP无限趋近于 记作(xo)或y'|x=xo,即f(xo)=lim △y= 一个确定的位置，这 4→0△x 个确定位置的直线P。T称为曲线y=f(x) 即时小练 的切线 2.导数的几何意义 1.判断正误 函数y=f(x)在x=xo处的导数f(xo)就是切 (1)函数y=f(x)在x=xo处的导数值与△x值： 的正、负无关 ( ) 线P。T的斜率k0,即k0= (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(xo)与 这就是导数的几何意义，相应地，切线 xo和△x都有关 ) 方程为 40 第五章一元函数的导数及其应用 3.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 :(三)导数 曲线f(.x)在x=x0 切线的 从求函数y=f(x)在x=xo处导数的过程可以 导数符号 切线的倾斜角 附近的升降情况 斜率 看到，当x=x0时，f(xo)是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y='(x)就是x的函数，我们 f'(xo)>0 上升 k>0 锐角 称它为y=f(x)的导函数（简称导数）.y=f(x) f'(xo)<0 下降 k<0 钝角 的导函数有时也记作y',即(x)=y'= 零角（切线 f'(x0)=0 平坦 k=0 与x轴平行) 微点注解 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相 导数f'(xo)与导函数f(x)之间的区别与联系 应，点附近上升或下降的快慢 (1)f(x0)是函数f(x)在x=x0处函数值的改变 即时小练 量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不 是变量： 1.已知y=f(x)的图象如图所示，则f(xA)与 (2)f(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内 区别 任意x而言的，即如果函数y=f(x)在开区间(， f(xB)的大小关系是 b)内每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a,b), 都对应着一个确定的导数f(x),从而构成了一个 新的函数—导函数f(x) 函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是导函数 联系 f(x)在x=x0处的函数值，也就是求函数在x= x0处的导数的方法之一 XB XA A.f(xA)>f(B) B.f(A)<f(xB) 即时小练 C.f'(A)=f'(xB) D.不能确定 2.已知函数yf心)的图象在点M1,1》处的切1.函数y=是在x=2处的导数为 线方程是y=子十2.则1)+了1) 2.已知)-是，且fm=则m= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 /方法技巧/ 题点一求函数在一点处的导数 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的三个步骤 [典例]根据导数的定义，求下列函数的导数： 求函数值的增量 (1)求函数y=x2十3在x=1处的导数； △y=f(xo+△x)-f(x) (2)求函数y=√x在x=2处的导数. 求函数的 △yfx+△x)f(x) 平均变化率 △x △x 取极限，得导数 △x趋于0， 公趋于r 对点训练 设函数y=f(x)在xo附近有定义，且有f(xo+ △.x)-f(x0)=aA.x十b(△x)2(a,b为常数)，则 A.f(x)=a B.f(x)=b C.f(xo)=a D.f(xo)=b 41 数学选择性必修第二册 题点二实际问题中的瞬时变化率问题 :[拓展] ：1.本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公 [典例门建造一栋底面积为xm2的房屋需要成本：共点？ y万元y是x的函数y=x)-无+瓷+0.3. 求f(100),并解释它的实际意义. :2.本例若改为曲线在点P处的切线斜率为3，求点 P的坐标. /方法技巧/ 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平 均变化率的极限 (2)函数y=f(x)在x=x0处的导函数f(xo) 反映了函数在x=xo处的瞬时变化率，它揭示 了事物在某时刻的变化情况： 对点训练 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单 /方法技巧/ 位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为 求过点P(xo,yo)且与曲线相切的直线方 c(x)=-2x2+7x+6.求c'(1)与c'(2),并说明： 程，首先检验点P是否在曲线上.若点P在曲 它们的实际意义. 线上且为切点，则切线方程为y一y0=f'(x0) (x-x0)或x=xo;若点P不在曲线上或不是 切点，则应根据曲线对应的函数关系式设出切 点的坐标 对点训练 已知曲线y=2.x2一7. 题点三导数的几何意义 (1)曲线上在哪一点处的切线平行于直线4x一y -2=0? [典例]已知曲线C:y=x3. (2)求曲线过点P(3,9)的切线方程. (1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线 方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程， 42 第五章一元函数的导数及其应用 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知直线1经过(-1,0)，(0,1)两点，且与曲线：3.已知函数f(x)=a.x2十1(a>0),g(x)=x3十bx.若 y=f(x)切于点A(2,3),则lim f(2+△x)-f(2) 曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，c) △.x 处具有公切线，则a= ,b= 的值为 :4.已知f(x)在x=6处有导数，且f(6)=8,f(6) A.-2 B.-1 C.1 D.2 [f(.x)]2-[f(6)]2 2.若曲线f(x)=x2十2x在点P处的切线垂直于： =3,则lim x-6 直线x十2y=0,则点P的坐标是 ( )5.函数y=√4-x在x=1处的导数为 A.(0,0) B.(0,1) 温馨提示 请做课时分层检测（十四） C.(2,2) D.(-2,0) 5.2 导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 明学习目标 知结构体系 1.能根据导数定义求函数y=cy=xy=x2,y 课标 3wy=1, y=反的导数. 要求 几个常用函数的导数 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单 问题 基本初等函数 求函数的导数 的导数公式 求曲线的切线方程 重点 重点：基本初等函数的导数公式及其运用 难点 难点：基本初等函数的导数公式的推导. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.几个常用函数的导数 f(.x)=x“(a∈Q,且a≠0) f'(x)= 函数 导数 f(x)=sin z f(.x)= f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=x f(x)= f(x)=cos x f(x)= f(z)=22 f(x)= f'(x)= (a>0, f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(.x)=x3 f(x)=3.x2 且a≠1) fx)=1 f)= f(x)=e f'(x)= f(x)=√E f(x)=1 2元 f(x)=logax(a>0, (-ial-0. 且a≠1) 2.基本初等函数的导数公式 且a≠1) 原函数 导函数 f(r)=In z f(x)= f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 432.解f2+4x)-f(2) :2.±2[f(x)=lim fx+△x)-fx=- 3-=0 △x 于有 m2 -2+△x)2-(2+A-2=3+△x. △x ，m=4,解得m=土2.] 1 所以切线的斜率k=Iim f(2十△x)-f(2) 关键能力·合作探究 △.T 题点一 =lim(3+△x)=3. [典例]解 (1)因为△y=[(1+△x)2+3]-(12+3)=2△.x十 则切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0. (△x)2, 素养演练·提升技能 1.C[因为A=g(2+a):-言×2=之△+g(a,所以兰 所以会y2r+△)=2+A. △x △x 合十言，当4，无限越近于0时，宁十言4无限趋近于分，因比 所以f)=m-▣(2+)=2 (2)因为△y=√2十△x-√2， 1=2时，木块在水平方向的醉时递度为？，故选C] 所以Ay=2+△x2=2十△x-2 △ △x 2.C[平均速度为。=(3)-(2g(32-1) △x(√2+△x+2)√2+△x+21 √2 3-1 2 =2g 是-四2++万 所以f(2)=1im 1 m2+②-m [(2+4)2-2] ·对点训练 △t △1 C[ay=f十a)-f)=aar+6(△)(a,6为常数)是 2g41·(4+△1) a十b△x,当△x趋近于0时，a十b△x趋近于a,故f(xo)=a.] -im △t m立g4+)=2g=· {题点二 ∴.0=2.] :[典例]解根据导数的定义，得 3.C「如图所示，平均融化速度实际上是点A与 V f(10)-m △y=im f(100+△.x)-f(100) 点B连线所在直线的斜率k:瞬时融化速度实 △0 △x 际上是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对 =lim 100+△x+√100+△.z+3-(100+√100+3) 比，曲线在3时刻的切线斜率与k相等，故瞬 40 10△.z 时融化速度等于vm3h的时刻是t3.] 、B √/100+△x-10Y 4.4[地物线在点P处切线的斜率k=m入 Ot tz tata 100t 10△.x [(-2+△x)2-(-2+△x)十]-(6十c) =lim -5△x+(△x)2 m[0+10×(V100+ax+10 △x x 1 im(-5+△x)=-5, 0+10×(10+10-0.105. 因为点P的横坐标是一2， f(100)=0.105表示当建筑房屋底面积为100m时，成本增加的 所以点P的纵坐标是6十c 速度为1050元/m 故直线OP的斜率为-6十g :对点训练 2 解设x=1时产量的改变量为△x, 根据题意得-6十=一5，解得c=4.] 2 5.解由f1十△x)-f1) 别是-e1+a2c①2a2+34 △x △x =-2△x十3， △x 1+△x)2-2(1+△x)+3-2=A, )-m,签-m(-2a+3)=3 △ 可得切线的斜率为k-lim△x=0. 设x=2时产量的改变量为△x, 所以切线的方程为y一2=0X(x一1)， 别是-2+2②)24 △ 即y=2. =-2△x-1, 5.1.2导数的概念及其几何意义 必备知识·自主梳理 d'(2)=im=im(2Ax-1D=1 (一) '(1)的实际意义：当产量为1000台时，多生产1台旋切机可多获 1,f(xo十△x)-f(xo) f(xo+△x)-f(.xo) 2.确定的值极限 利3万元： △x c'(2)的实际意义：当产量为2000台时，多生产1台旋切机少获利1 可导导数im f(xo十△x)-f(xo】 万元. △x 题点三 即时小练 :[典例]解(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6) .切点P(1,1). 2.Ay=fDf①_21=2.1] △ 1.1-1 0.1 yl=1=lim ey-m1+A)11im[3+3△x+(△]=3. △x (二) △中-=0 1,在点户，处2.mf+△）-f）=f(x)y-f)= k=y'1=1=3. △x ∴.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y一1=3(x一1)， Ar-0 f'(xo)(x-xo) 即3x-y-2=0. 即时小练 (2)设切点为Q(0,0),由(1)可知1=。=3z6,由题意可知k阳 1.B[由导数的几何意义知，f(xA),f(xB)分别是切线在点A,B处！ 的斜率，由图象可知f(xA)<f(xB).] .切线方程为y-x8=3x(x一0)，即y=3xx-2x8. 2.3[由在M点处的切线方程y=2十2， ,切线过点(1,1)，3x-2x=1,即2x8-3.x十1=0， 得f1)=2×1+2=号.f)= .(x0-1)2(2x0十1)=0.解得0=1或0=-2 ∴f1)+f(1)=号+号=3.] ①当x。=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3红一y一2 =0. (三) m+4)-国 @当=一合时，切点坐标为（合，吉）小相应的切线方程为 △x 即时小练 叶日（+）即3x-4+1=0. 1.-1 .过点(1,1)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y十1=0. 152 [拓展] !关键能力·合作探究 1。角泽白3军浮·支至子之， 、 题点一 (y=x3, y=-8, [典例]解(1)y'=0: 年续与南线C的公共点除了切点外，还有另一公共感(2,8. 从而求得公共点为P(1,1)或M(一2，一8)， 2y-(2)-（合)广2 2.解设点P的坐标为(，)，则有m十）f (3)y=(x)=-1 △x 2xV 3x6△x十3x(△x)+(△x)3 lim -=1im[3.x号十3xo△x+(△x)2]=3.x号. △x ④y=(Fy=6r=是- 4G .3.x=3,解得x0=1或x0=-1, (5)y=(1g影x)'=in3 1 ∴.点P的坐标为(1,1)或(-1，一1). 对点训练 (6):y=2c0s2号-1=cosx, ,△y-im 解=mm [2(x+△x)2-7]-(2x2-7) △x ∴.y=(cosx)/=-sinx. =lim(4虹+2△)=4z. :对点训练 解(1)y'=(6)'=61n6. (1)设切点为(x0,%),则4x0=4,x0=1,y0=一5，.切点坐标为 (1,-5). 2=a=ur-号l=各 2 即曲线上在点(1，一5)处的切线平行于直线4x一y一2=0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上，因此设所求切线的切点为A(xo, (3)”y=c0s2号-sim2号-c0sx, 0),则切线的斜率k=4x0, .y'=(cosx)）'=-sinx. 故所求的切线方程为y一%=4xo(x一x0). 将P(3,9)及0=2x6-7代入上式， [典例]解析1)设白线？异在点(，受)处的切线方程为 得9-(2.x6-7)=4xo(3-xo),即x6-6xo十8=0. 解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25). V-2=(x-1), 从而所求切线方程为8x一y-15=0或16.x一y-39=0. 素养演练·提升技能 因为y=e +1" 1.C[,直线1经过(-1,0)，(0,1)两点，∴.直线1的方程为y=x十 所以y'=e(x十1)-e 1.由直线1与曲线y=f(x)切于点A(2,3),得曲线在x=2处的导 (x+1)2 (x十1)2 数为f(2)=1,所以f(2)=imf2+)-f②=1.] △x 所以=1=1=是 2.A[设P(x0,Vo) (z+4x)2+2(xo+△x)x82心=1im(2x+ 所以y=导-1) e 则f(xo)=1im 所以南线y=行在点(1，受）处的切线方程为y=号x十 e △=D △x 2十Ax)-2x0十2.因为点P处的切线垂直于直线x十2y=0,所以点 故选：C P处的切线的斜率为2，所以2x0十2=2，解得x0=0,即点P的坐标 是(0,0).] (2)因为(e)'=e,设切点坐标为(x0,e'o), 则过该切点的直线的斜率为eo, 义 3.33[因为f(x)=im 所以切线方程为y-e0=e0(x一xo). lim a1(ax+1)2x, 因为切线过原，点，所以一e0=一x0·e0,x0=1. 所以切点为(1，e),切线斜率为e. △工 所以f(1)=2a,即切线的斜率k1=2A 答案(1)C(2)(1,e) 因为R()=m,是-四+△+十A)=+b [拓展] Ar 1.之e2[=(e)=ek=e南线在点(2，e2)处的切线方 3.x2+b, 程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2. 所以g'(1)=3十b,即切线的斜率k2=3十b. 当x=0时，y=一e2,当y=0时，x=1. 因为在交点(1，c)处有公切线，所以2a=3十b.() :所求三角形的面积为S=子X1X一21=2e2.] 1 又因为c=a十1，c=1十b,所以a十1=1十b,即a=b, 代入()式得名们 2.解根据题意设平行于直线y=工的直线与曲 线y=e相切于点(x0yo),该切点即为与y 4.48[因为f(6)=3,所以1mf）f6)=3. x距离最近的点，如图.则在点(x0,y0)处的切 x-6 线斜率为1，即yx=x0=1. 所以imLf]2-6]=imLf)-f6)]f)+f6)] y'=(e)'=e,e0=1,得x0=0, x-6 x-6 代入y=e,%=1,即P(0,1). =[f(6)+f(6)]·f(6)=(8+8)×3=48.] 5.誓[作出画数y=子的图泉如国。 利用点到直线的距离公式得距离为 IP(1,3) :对点训练 由导数的几何意义可知，函数y=√4一工乙在 1.是[设切点丝标为 x=1处的导数即为半图在点P(1,√3)处的切 线的斜率， 1=k, 由题意得y'=一。 1 所以k1=一0p 又%=kx0,而且%=lnxo, 从而可得20=e,yo=1, 5.2导数的运算 则k= e.J 5.2.1基本初等函数的导数 !2.解因为y=(x2)'=2x,设切点为M(0o), 必备知识·自主梳理 则y1==20 1,012x2.ax-1 cos x -sin x a"ln a e 又图为PQ的卧奉为质=会号1，而切线平行于PQ, 即时小练 1.D[因为fx)-.则f=子：手，所以f)=子] 所以质=2=1，甲子，所以切点为M(合宁）】 2.ABC[由公式易知A,B、C正确.] 所以所求的切线方程为y十=工一立 1 3.C[依题意f(x)=3.x,故3.x号=12，解得x0=士2.] 即4x-4y-1=0. 153