5.1 导数的概念及其意义 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及意义，从高台跳水问题切入，先通过平均速度实例建立平均变化率认知，再经极限过渡到瞬时速度、瞬时变化率（导数），最后结合切线斜率深化几何意义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实情境（高台跳水、原油精炼等）引导学生用数学眼光观察变化规律，通过“一差二比三极限”推导培养数学思维，用公式、表格规范数学语言。实例丰富（如求f(x)=x²在x=1处导数），助学生理解抽象概念，教师可借此提升教学效率。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 问题1 高台跳水 在高台跳水运动中,某运动员的重心相对于水面的高度 (单位：m)与起跳后的时间 （单位：s）存在函数关系： (1)在 这段时间里的平均速度： (2)在 这段时间里的平均速度： (3)在 这段时间里的平均速度： 一、瞬时速度 平均变化率 平均速度 t1 t2 平均 变化率 平均 速度 瞬时 速度 瞬时 变化率 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. (1)f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； (2)f′(x0)与∆x的具体取值无关； (3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 注意： 二、导数的定义 总结 （2） 当堂检测 （3） 故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 意义：在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降； 在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 【例2】(P65)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x²－7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 ℃/h与－6 ℃/h. 意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加； 在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少. 【例3】(P66)一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 三、切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，它是圆的切线。 一般的曲线C如何定义它的切线？ 1.割线的斜率 2.切线的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率 解: 例题1 当堂检测 1、 2、 以直代曲的思想 t1 h t0 O • • t2 • t l2 l1 l0 (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l1的斜率h'(t2)<0. 这时, 在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近单调递减. 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 例4(P68)如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=﹣4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 3.抛物线的割线及切线的斜率 课堂复述 2.平均变化率及瞬时变化率（导数） $