精品解析：贵州省黔南州2027届高三上学期摸底考试数学试卷

黔南州2027届高三年级摸底考试 数　学 2026.8 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回． 第I卷（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5. 在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（ ）？ （参考数据，） A. 74 B. 79 C. 81 D. 83 6. 已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面上，，该平面上的任意一点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据：1、4、7、8、9、12、20、22、24、32的分位数是21 B. 若随机变量，，则 C. 已知随机事件与相互独立，且，则 D. 已知，，若，则 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的最小值为3 11. 已知曲线：，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于对称 B. 若为曲线上任意一点，则的最大值为3 C. 曲线内有7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D. 若为曲线上任意一点，则的最小值为 第II卷（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_________． 13. 从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为______． 14. 在矩形中，，，将沿对角线翻折为．若点到平面的距离为，则线段长度的取值范围是_________． 四、解答题：共个小题，满分分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和． 16. 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 （1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； （2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． （1）求双曲线的标准方程． （2）设直线与曲线有唯一的公共点． （i）若直线与直线交于点，证明：； （ii）过作垂直于的直线分别交轴，轴于，两点，记点，在该平面内是否存在不重合的两定点、，使得为定值．若存在，求出定点、的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）若有两个极值点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔南州2027届高三年级摸底考试 数　学 2026.8 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回． 第I卷（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算集合与的并集，再根据补集的定义求该并集在全集中的补集即可. 【详解】因为，，所以， 又全集，所以  2. 在复平面内，复数 对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】， ∴复数 对应的点位于第二象限 故选B 点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式． 3. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦（型）函数周期公式计算即可. 【详解】由，所以函数的最小正周期为. 4. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 5. 在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（ ）？ （参考数据，） A. 74 B. 79 C. 81 D. 83 【答案】A 【解析】 【分析】先根据系列的声强级求得的值，再利用对数运算性质计算系列的声强级，结合参考数据估算结果. 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. 6. 已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 7. 已知平面上，，该平面上的任意一点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则的最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称点的中点性质推导向量与的关系，再结合向量模的三角不等式求最大值. 【详解】依题意得点是的中点，所以 ,整理得, 同理，点是的中点，故,整理得, 将代入上式， 可得 ,因此, 根据向量模的三角不等式，，当且仅当与方向相反时等号成立, 已知，，故的最大值为，因此的最大值为. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数将不等式的常数2消去，再分析构造函数的相关性质将不等式转化成定义域的比较从而计算出m的取值范围， 【详解】令，， 则，即， 因为，所以单调递增， ， 故，所以， 因为单调递增，所以，解得. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据：1、4、7、8、9、12、20、22、24、32的分位数是21 B. 若随机变量，，则 C. 已知随机事件与相互独立，且，则 D. 已知，，若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，这组数据一共有10个数，则， 故这组数据的分位数是第8个数为22，因此A选项错误； 对于B，根据期望公式，解得，故B选项正确； 对于C，因为随机事件与相互独立，所以， 因此，则C选项错误； 对于D，因为，所以随机事件与相互独立， 即，所以，所以D选项正确. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，利用正弦定理由得， 移项得，故A正确. 对于B，由余弦定理，代入， 得，整理得， 即，可知故B错误， 对于C，由三角恒等变换公式得 ，结合，， 代入A中的结论得， 又，故， 因为为三角形内角，仅成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 设，则原式，由基本不等式， 当且仅当时取等号，此时，，三角形为等腰直角三角形，满足条件， 故原式最小值为，故D正确. 11. 已知曲线：，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于对称 B. 若为曲线上任意一点，则的最大值为3 C. 曲线内有7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D. 若为曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：将方程中和互换，方程不变，故曲线关于对称；选项B：由，结合，得，即，当时取到最大值；选项C：列举满足的整点：，共个；选项D：令，代入方程得，由得，故，不是. 【详解】选项A：将方程中的与互换， 得到与原方程完全相同， 所以曲线关于对称，A正确； 选项 B： 由基本不等式：，原方程， 代入得， 当时， ，当且仅当时取等号； 当时， ； 所以的最大值为，B正确； 选项C：曲线内的点满足不等式， 列举出所有整点： 令，则，整数可取值为，对应整点为， 令，则，，， 整数可取值为，对应整点为， 令，则，，， 整数可取值为，对应整点为， 当时，可转化为，无整数解， 则满足条件的整点为：，，， 共个，C正确； 选项 D：令，则， 代入原方程：， 整理得， 该方程是关于的一元二次方程，有实根，故判别式， ，，， 解得，即的最小值为，不是，D错误. 第II卷（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导得到点处的切线斜率，再利用点斜式写出切线方程并整理为一般式 【详解】由题得， 所以切线斜率， 所以曲线点在处的切线方程为， 即. 13. 从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用组合数及古典概型的概率公式求解． 【详解】从正六边形的6个顶点中任取3个，有个三角形， 其中直角三角形如图每边对应2个，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12个， 所以所求概率为． 故答案为：． 14. 在矩形中，，，将沿对角线翻折为．若点到平面的距离为，则线段长度的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系、确定点的轨迹、用代数方法关联距离与参数计算即可得出结果. 【详解】设原矩形 中， ， ， ，则 . 翻折后， 满足： ， ， 所以，. 两式相减得： ，即 . 点 ，则 . 代入 ，展开得：， 点到平面 的距离 ，将 代入 ， 整理得： 由 ，得 ，代入上式： ； ，解得 或 所以 由 ： 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 . 综上， . 四、解答题：共个小题，满分分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； 【小问2详解】 由（1）可得，，， 所以， 所以 . 16. 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 （1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； （2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关. （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望（或1.2）. 【解析】 【分析】（1）注意和作比较； （2）利用超几何分布进行计算. 【小问1详解】 由题意得：男生体质测试不达标为人，女生合计为人， 女生体质达标为人，体质测试达标合计人，体质测试不达标合计人，列联表如下： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关。 【小问2详解】 体测不达标的男女比例为，所以抽取男生2人，女生3人， 所以抽取2人，女生的人数为，则可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 17. 在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，​所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设在上，令，得， 又，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又，，所以；又 平面， 因此平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出各点与相关向量，求得平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该平面法向量垂直，结合不在平面内，证得线面平行； （2）利用线面角的向量公式列方程求解参数得到点坐标，再求出两个平面的法向量，借助法向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，则， 已知，则， 解得，则即. 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则， 即是 平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 18. 已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． （1）求双曲线的标准方程． （2）设直线与曲线有唯一的公共点． （i）若直线与直线交于点，证明：； （ii）过作垂直于的直线分别交轴，轴于，两点，记点，在该平面内是否存在不重合的两定点、，使得为定值．若存在，求出定点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）直线与双曲线联立， 消去，整理得到关于的方程， 因为直线与双曲线有唯一公共点，所以， 则， 化简得到， 又切点为，由韦达定理得到， 直线与交于，将代入，解得， 则， ， ， 又， 则，故，得证. （ii）存在，定点， 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标得到，将的坐标代入双曲线方程，通过计算得到双曲线标准方程. （2）（i）直线与双曲线联立方程组，消去，整理得到关于的方程，由直线与双曲线有唯一公共点得到，结合切点和韦达定理得到，求出，求出的坐标，利用向量的数量积公式求出，从而得到，得证. （ii）求出过作垂直于的直线方程，求出轴截距和轴截距，从而得到满足，结合，可得，结合双曲线的定义得解. 【小问1详解】 因为双曲线的两个焦点坐标分别为 ，， 所以，， 因为双曲线过 ，所以 ，， 将代入， 整理得，解得（舍去），， 则双曲线标准方程. 【小问2详解】 （i）略. （ii）因为过且垂直于的直线斜率为， 所以过作垂直于的直线方程为， 令，得到轴截距为， 令，得到轴截距为， 于是满足， 结合 ，可得， 即， 因此在等轴双曲线 上，其半焦距为， 两焦点为， 对任意上述点 M，均有， 所以所求两定点存在，可取，，定值为. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）若有两个极值点，，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增 （2）证明：当时，， 待证不等式等价于， 设，， 设，令， 所以在上单调递增，又， 所以当， 所以在单调递减，在单调递增， 的最小值为，即，原不等式成立． （3）证明：由（1）知，当，是方程的两根，，， 由韦达定理得，，，则， ， ， 待证不等式等价于， 代入得，原不等式， 设，因为，所以， 不等式变形为， 因为，不等式两边同乘以， 原不等式转化为， 设， 令， 当时，，所以在单调递增， 所以，即， 所以当时，， 所以， 设， 则， 因为幂函数在单调递减，所以在单调递增， 又在单调递增， 所以在单调递增， 所以， 所以在单调递增，， 所以，即，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据导数，分类讨论，时导数值的正负即可求解； （2）原不等式等价于，构造函数，根据导数求解最小值即可证明； （3）结合（1）得，当，是方程的两根，由韦达定理表示出，，则，代入不等式化简，再构造函数即可证明． 【小问1详解】 ， ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令，， 若即，恒成立，在上单调递减； 若即，的两根为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $