2.2平方根与立方根（课时3）课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦立方根的概念、性质、表示方法及开立方运算，通过复习平方根知识，结合几何体体积问题（体积216cm³求小立方块棱长）引入新知，搭建从平方根到立方根的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以实际问题驱动探究，通过对比平方根与立方根的性质培养推理意识（数学思维），用符号“∛a”规范表达（数学语言），例题练习分层设计。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率。

2.2平方根与立方根 （课时3） 第二章 实数 北师大版(2024) 1 素养目标 1.了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根； 2.了解开立方与立方互为逆运算，能够求出一个数的立方根； 3.体会一个数的立方根的唯一性. 2 复习导入 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数x就叫作 a 的平方根或二次方根. 一个正数有 平方根(它们互为 )； 0的平方根是 ；负数 平方根. 0 没有 两个 相反数 3 探究新知 如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体.如果这个几何体的体积为216cm3 ，那么每个小立方块的棱长是多少？ 解：设这个几何体的棱长为 a cm， 则 a3 = 216 如何求得a呢？ 所以 a = 6 因为63 = 216 因此，每个小立方块的棱长是2cm 6÷3=2 你还有其他的方法吗？ 4 探究新知 如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体.如果这个几何体的体积为216cm3 ，那么每个小立方块的棱长是多少？ 解：设小立方块的棱长为 a cm， 则 (3a)3 = 216 所以 a3 = 8 所以 a = 2 因为23 = 8 5 归纳总结 立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根). x3 = a x叫作a的立方根 例如，2是8的立方根；- 是 - 的立方根；0是0的立方根. 6 探究新知 求8，0，-27的立方根. 2的立方等于8，所以8的立方根为2； 0的立方等于0，所以0的立方根为0； -3的立方等于-27，所以-27的立方根为-3； 一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ 一个 7 归纳总结 立方根的性质 1.正数只有一个立方根，正数的立方根是正数. 2.0只有一个立方根，0的立方根是 0. 3.负数只有一个立方根，负数的立方根是负数. 8 探究新知 （1）立方根是它本身的数有哪些？ 有1， -1， 0 （2）平方根是它本身的数呢？ 只有0 （3）算术平方根是它本身的数呢？ 有1，0 9 探究新知 根指数 被开方数（任意数） 不能省略 每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”. 例如：当 x3=7 时，x是7的立方根，记作 x= ； 而 23=8，2是8的立方根，记作 . 意义：a的立方根 10 探究新知 数的平方根与数的立方根有什么区别和联系？ 平方根 立方根 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的开方 0 的平方根与立方根都是 0 11 探究新知 数的平方根与数的立方根有什么区别和联系？ 平方根 立方根 区 别 性质 正数 ____个，互为_______ ____个，正数 负数 _____________ ____个，负数 表示方法 ，根指数2常省略 不写 ，根指数3不能省略 被开方数取值范围 _________ ________ 2 1 没有平方根 1 非负数 任意数 相反数 12 探究新知 27 27 125 125 3 -3 5 -5 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数. 类似开平方与平方，开立方与立方也互为逆运算. a为任意数 互为 逆运算 x3 = a 13 例题练习 求下列各数的立方根： (1)-27； (2)； (3)0.216； (4)-5； 解：(1)因为 (-3)3 = -27，所以-27的立方根是-3，即 . (4) -5的立方根是 . (2)因为 = ，所以 的立方根是 ，即 . (3)因为 0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 . 14 探究新知 这些数能表示成一个数的立方的形式. 成立 在上面例题中， ，也就是 . 一般地， 成立吗？ 在上面例题中，一些数的立方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点？ 15 探究新知 一般地， 成立吗？ ； ； . 8 -8 0 成立，对于任何数a， . 归纳：对于任何数a， . 归纳：对于任何数a， ； 16 例题练习 (2) (3) 求下列各式的值：(1) (2) (3) (4) (4) 解：(1) 17 A 18 A 19 4 20 12.89 21 4 22 23 24 25 26 小结 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根). 定义 性质 每个数a都只有一个立方根：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数. 立方 开立方 互为逆运算 ， 立方根 几个重要公式 27 谢谢同学们的聆听 28 练习1 的立方根是( ) A. B. C. D. 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的立方根是 . 练习2 计算的结果为( ) A.0 B.4 C. D.0或 解析： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故选：A 练习3 若 的立方根是2,则 的算术平方根是________________. 解析： EMBED Equation.DSMT4 的立方根是2, EMBED Equation.DSMT4 , 解得 , 将 代入 ,得 , EMBED Equation.DSMT4 的算术平方根是4, EMBED Equation.DSMT4 的算术平方根是4. 练习4 已知 ， ， ，则 . 解析： ， 故答案为：12.89. 练习5 一个正数的两个平方根分别是 和 ，这个正数的立方根是 . 解析：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ ，解得： . 当 时，平方根为 和 ， 故正数为 ，立方根为 .故答案为：4. 2或 或 练习6 若 ，则x的值为 . 解析：因为立方根等于它本身的数只有0，1，-1，已知 ， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当 时，解得 ；情况二：当 时，解得 ； 情况三：当 时，解得 ；综上，x的值为2或 或 . (2) ， ， . 练习7 求下列各式中的x值： (1) ； (2) 解：(1) EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ； 练习8 根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长. (2)求长方体纸盒的长. 解：(1)设魔方的棱长为xcm. 由题意，得 ，解得 ， 所以魔方的棱长为6cm. (2)设长方体纸盒的长、宽、高分别为 ， ， ， 由题意，得 ， 解得 ， 所以长方体纸盒的长为 . $