专题03 特殊平行四边形相关基础证明题（5种类型30道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）及关联定理（斜中半、中点四边形）的基础证明，以5类30道题构建从性质到判定的递进训练体系，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形相关|6道|菱形性质与判定的应用|从平行四边形到菱形的特殊化，强调对角线性质| |矩形相关|6道|矩形性质与判定的应用|平行四边形到矩形的特殊化，突出直角与对角线相等| |“斜中半”相关|6道|直角三角形斜边中线性质应用|特殊三角形性质在四边形中的综合运用| |正方形相关|6道|正方形性质与判定的应用|菱形与矩形的融合，体现特殊平行四边形的最高阶| |中点四边形相关|6道|中点连线与原四边形关系证明|关联三角形中位线定理，构建四边形间的转化逻辑|

专题03 特殊平行四边形相关基础证明题 （5种类型30道） 专题目录 【类型1 菱形相关基础证明题】 1 【类型2 矩形相关基础证明题】 10 【类型3 “斜中半”相关基础证明题】 16 【类型4 正方形相关基础证明题】 23 【类型5 中点四边形相关基础证明题】 31 【类型1 菱形相关基础证明题】 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点P，Q分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点E． (1)如图1，连接，当时，试判断点Q是否在线段的垂直平分线上，说明理由． (2)如图2，若，且，求证：． 【答案】(1)结论：点Q在线段的垂直平分线上， 理由：如图1，连接， ∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ，， ． ， ， ∴点Q在线段的垂直平分线上； (2)证明：∵四边形是菱形， ， ，． ， ， ． ， ， ，，即， ． ， ， 是等边三角形， ∴， ， ． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，，进而利用线段垂直平分线的判定与性质可得结论； （2）根据菱形的性质和等腰三角形的性质可证明，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，则，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 【答案】(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 3．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证； （2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 4．如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 5．如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）根据D、E分别是、的中点，得到，，结合推出，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可得证结论； （2）根据菱形的性质得到，，因此是等边三角形，则．过点E作于点N，则，得到，根据勾股定理求出，由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作于点N，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形 平分，平分 ， 在和中 ， ， 、分别是、的中线 、分别是的中点 ， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)当时，四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据角平分线，推导出 ，得到，继而推导出，得到，进而推导出，，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）设，则，，推导出当四边形是菱形时，，证明出是等边三角形，得到， ，继而推导出是等边三角形，求出，，得到当时，四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， 当四边形是菱形时， ，即， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴当时，四边形是菱形． 【类型2 矩形相关基础证明题】 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 8．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ∴， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 10．已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在矩形中，、为对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）先利用矩形对角线互相平分的性质得到、，再结合得出，最后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）先由垂直平分得，在中利用勾股定理算出对角线，再根据得即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴． 12．如图，在 中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是中点，， ∴在中，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等腰的中线， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴； (2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质证明为等腰三角形，再利用三线合一的性质证明是的中点，即可通过中位线的性质得到结果； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵是中点， ∴在中，． 【类型3 “斜中半”相关基础证明题】 13．如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是的中点， ， 为等腰三角形， ， 是中线， 是中点， 是的中点， 是的中位线， ． (2)5 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边一半推出，等到等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质推出是中点，再利用中位线定理判定和性质即可推出． （2）根据勾股定理求出的长度，再利用第（1）问的结果，即可求出长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， 在中，， 由（1）可得． 14．如图，在中，对角线、交于点，于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】（1）由得，所以，故有，即，然后通过菱形的判定方法即可求证； （2）由菱形的性质可得点是、的中点，，再通过直角三角形性质可得，，则，最后通过即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵菱形的对角线、交于点，， ∴点是、的中点，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，是的中点，F是的中点，，过点A作交的延长线于点B，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)解：四边形ABCD是菱形．理由： ∵， ∴． ∵F是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵D是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵D是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形 (2)24 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等及中点的定义得出，，可证，由全等三角形的性质及中点定义，结合已知即可得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可证明； （2）先利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出，连接交于点O，利用菱形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵是直角斜边上的中线， ∴． 连接交于点O， ∴在菱形中，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； (2)5 【分析】（1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 17．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在四边形外，连接，，，且． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵矩形中，对角线与相交于点， ，， 又中，， ， ； (2) 【分析】（1）由矩形的性质，，，再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则问题可证； （2）根据矩形性质求出，求出，再由勾股定理求出则矩形的面积可求． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 中，， 由勾股定理知：， ． 18．如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴． 【分析】（1）由矩形的性质、勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质即可求解； （2）证明得，利用得，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点，， ∴． （2）证明：略． 【类型4 正方形相关基础证明题】 19．如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； (2)∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到，结合已知，等量代换即可得证； （2）连接，证明，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．     又∵， ∴， ∴． 21．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 【答案】(1) 解：， 理由如下：四边形是正方形， ，，                                 ， 由条件可知． ， ．                                     ， ， ．                                 ． ； (2)24 【分析】（1）结合正方形性质证明，得到，进而即可推出，与之间的数量关系； （2）作于点，根据直角三角形性质推出，再利用勾股定理求出，结合（1）中结论推出，，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点， 在中，，， ，                                     ．                         由（1）得，，                     ． 22．【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：． (2)【问题解决】如图2，有一块边长为的正方形绿地，凉亭、（大小忽略不计）分别在边，上，，是两条观光小径．已知，小径的长度为求凉亭到绿地边的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用三角形全等对应边相等即可． （2）利用三角形全等对应边相等得到边相等，再利用勾股定理计算边长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，延长至点，使． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴．， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 在中，，根据勾股定理得 ∴． ∴，, 设，则， ， 在中，， ∴，解得， 故凉亭到绿地边的距离为． 23．如图：正方形的对角线与相交于点O，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：正方形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ； (2)证明：， ． 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，，再根据“”，可证，从而，即可求证； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，为的中点，连接、、． (1)求的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，由，得到，，根据为的中点，得到，最后根据勾股定理求出、、的值，即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ，， 为的中点， ， 在中，， 在中，， 在中，， 的周长为； （2）解： ． 【类型5 中点四边形相关基础证明题】 25．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 【答案】12 【分析】根据中位线定理得到，，，，可知四边形是平行四边形，根据证明四边形是矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵分别为边的中点． ，， ∴． 同理，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 26．四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 【答案】(1)证明：如图，连接， 点，，，分别为，，，边的中点， 和分别是和的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形 (2)四边形是菱形 【分析】（1）连接对角线，依据三角形中位线定理，得到、均平行且等于的一半，推出一组对边平行且相等，即可证出四边形为平行四边形； （2）先延长、交于，证是等边三角形，结合推出、，用证，得对角线，再利用三角形中位线定理，得、，等量代换得邻边，最后由(1)知是平行四边形，从而证明四边形为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点，连接、，如图： ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， 由（1）知，， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 27．综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． (3)四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，，，，推出，，即可证明； （2）如图2中，连接，交于点O，证明，得到，然后结合三角形中位线的性质即可证明； （3）如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N，证明，结合四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 28．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 在中，点分别是的中点， ∴， 在中，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)证明： 如图所示，连接， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵由（1）知，四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形有一个角为证明即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：四边形满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形． 29．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：如图，连接， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，由中位线可得，，即可证四边形是平行四边形． 【详解】略 30．如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）． (1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形． (2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______． (3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形． 【答案】(1)平行四边形，AC⊥BD (2)菱形 (3) 解：由（2）可得当AC=BD时，四边形是菱形 ∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥EH ∵四边形EFGH是平行四边形 ∴四边形是矩形 ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形判定定理可得EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，由三角形的中位线定理易知EF⊥EH，结合EFGH是平行四边形即可解答； （2）当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合EFGH是平行四边形即可得到四边形是菱形； （3）当AC=BD时，由（2）可得四边形是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四边形即可得到四边形是矩形即可证明结论； 【详解】（1）解： ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H， ∴线段EH，FG分别是∆ADC，∆ABC的中位线， ∴EH//AC，EH=AC，FG//AC，FG=AC， ∴EH//FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形； ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H， ∴线段EF是∆ABD的中位线， ∴EF//BD， ∵EH//AC，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形是矩形； 故答案是：平行四边形，AC⊥BD． （2）∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H， ∴线段EF是∆ABD的中位线， ∴EF=BD，EH=AC ∵AC=BD， ∴EF=EH ∵四边形EFGH是平行四边形； ∴四边形是菱形． 故答案：菱形． （3）略 【点睛】本题主要考查了中点四边形的有关问题，熟练掌握好三角形的中位线定理和平行四边形，矩形，菱形，正方形的转化关系及判定方法是解题的关键． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊平行四边形相关基础证明题 （5种类型30道） 专题目录 【类型1 菱形相关基础证明题】 1 【类型2 矩形相关基础证明题】 2 【类型3 “斜中半”相关基础证明题】 4 【类型4 正方形相关基础证明题】 6 【类型5 中点四边形相关基础证明题】 8 【类型1 菱形相关基础证明题】 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点P，Q分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点E． (1)如图1，连接，当时，试判断点Q是否在线段的垂直平分线上，说明理由． (2)如图2，若，且，求证：． 2．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 3．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 4．如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 5．如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 6．如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当时，四边形是菱形． 【类型2 矩形相关基础证明题】 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 8．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 9．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 10．已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 11．如图，在矩形中，、为对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长度． 12．如图，在 中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【类型3 “斜中半”相关基础证明题】 13．如图，在中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，对角线、交于点，于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 15．如图，在中，是的中点，F是的中点，，过点A作交的延长线于点B，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 16．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在四边形外，连接，，，且． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 18．如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 【类型4 正方形相关基础证明题】 19．如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 20．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 21．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 22．【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：． (2)【问题解决】如图2，有一块边长为的正方形绿地，凉亭、（大小忽略不计）分别在边，上，，是两条观光小径．已知，小径的长度为求凉亭到绿地边的距离． 23．如图：正方形的对角线与相交于点O，且，求证： (1)； (2)． 24．如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，为的中点，连接、、． (1)求的周长； (2)求的面积． 【类型5 中点四边形相关基础证明题】 25．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 26．四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 27．综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 28．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 29．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 30．如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）． (1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形． (2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______． (3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $