专题07 一元二次方程高频选择填空题分类训练（12种类型60道）2026-2027学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（重庆专用）

**基本信息** 该专项聚焦一元二次方程高频选择填空，以12类题型系统覆盖概念、解法及应用，通过60道题构建从定义到实际问题的完整训练体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及参数|10道|考查定义要素与参数求解|概念生成基础| |解法应用|20道|配方法、因式分解法等|从代数变形到方程求解| |根的性质|10道|判别式与根与系数关系|方程性质的推理应用| |实际问题|5道|增长率等模型构建|数学语言表达现实问题|

专题07 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 一元二次方程的定义】 1 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 1 【类型3 一元二次方程的解的估算】 2 【类型4 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【类型5 配方法】 3 【类型6 判断根的情况】 4 【类型7 利用根的判别式求参数范围】 4 【类型8 因式分解法】 5 【类型9 换元法】 5 【类型10根与系数的关系】 5 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 6 【类型12 一元二次方程实际问题】 6 【类型1 一元二次方程的定义】 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 6．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 7．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 9．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 10．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【类型3 一元二次方程的解的估算】 11．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 12．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 13．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 14．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 15．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【类型4 利用一元二次方程的定义求参数】 16．若关于的方程是一元二次方程，则________． 17．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 18．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 19．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 20．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【类型5 配方法】 21．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 22．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 23．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 24．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 25．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【类型6 判断根的情况】 26．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 27．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 28．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 29．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 30．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【类型7 利用根的判别式求参数范围】 31．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 32．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 33．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 34．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 35．如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 【类型8 因式分解法】 36．用因式分解法解方程时，可提公因式为____． 37．用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是_____． 38．用因式分解法解一元二次方程时，需要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是______. 39．用因式分解法解一元二次方程，方程可化为，则__________． 40．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是______． 【类型9 换元法】 41．用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（　　） A． B． C． D． 42．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 43．用换元法解方程，若设，则原方程可变形为（ ） A． B． C． D． 44．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（         ） A． B． C． D． 45．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A．； B．； C．； D．． 【类型10根与系数的关系】 46．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 47．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 48．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 49．设方程的两根分别是、，则______． 50．若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 51．对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 52．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 53．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 54．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 55．定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【类型12 一元二次方程实际问题】 56．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 57．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 58．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 59．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 60．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 一元二次方程的定义】 1 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 3 【类型3 一元二次方程的解的估算】 4 【类型4 利用一元二次方程的定义求参数】 7 【类型5 配方法】 8 【类型6 判断根的情况】 10 【类型7 利用根的判别式求参数范围】 12 【类型8 因式分解法】 14 【类型9 换元法】 16 【类型10根与系数的关系】 18 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 20 【类型12 一元二次方程实际问题】 22 【类型1 一元二次方程的定义】 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 3．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 5．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 【类型2 利用一元二次方程的定义求参数】 6．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 7．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 9．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 10．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 【类型3 一元二次方程的解的估算】 11．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 12．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 13．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 14．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 15．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 【类型4 利用一元二次方程的定义求参数】 16．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 17．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 18．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 19．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 20．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 【类型5 配方法】 21．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 22．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 23．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 24．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 25．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 【类型6 判断根的情况】 26．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 27．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 28．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 29．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 30．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 【类型7 利用根的判别式求参数范围】 31．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 32．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式，可据此求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程中，，，； 若方程有实数根，则 ， 解得； 故的取值范围是：． 33．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 34．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 35．如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上可得，实数的取值范围是且． 【类型8 因式分解法】 36．用因式分解法解方程时，可提公因式为____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据一元二次方程的特点，提取公因式即可． 【详解】解：， 提公因式得， 用因式分解法解方程时，可提公因式为． 故答案为：． 37．用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．根据用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，设另一个因式为，根据的常数项是，可知，从而可求的值． 【详解】解：，若将左边分解后有一个因式是， 设另一个因式为， 的常数项是， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 38．用因式分解法解一元二次方程时，需要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是______. 【答案】 【分析】首先将方程转化形式，然后直接运用平方差公式进行因式分解，即可得解. 【详解】根据题意，得 故答案为. 【点睛】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题. 39．用因式分解法解一元二次方程，方程可化为，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由因式分解法得出，，由根与系数的关系可得出，，代入代数式求解即可． 【详解】解： 或 ，， 方程可化为， ，， ，， ， 故答案为：． 40．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．由题意知，再将展开即可得出答案． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为： 【类型9 换元法】 41．用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 设，则，然后代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母，得， 移项，得， 故选：B． 42．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程中的换成，再移项即可． 【详解】解：根据题意，得，即； 故选：D． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换． 43．用换元法解方程，若设，则原方程可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用y替换原方程中的即可. 【详解】设，原方程可化为. 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——换元法，解决本题的关键是把当做一个整体. 44．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程中的x2+x用y进行替换，就可以得到y2+y=6，移项即可得解． 【详解】把x2+x整体代换为y， y2+y=6， 即y2+y−6=0. 故选:A. 【点睛】考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换. 45．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得 ， 把代入方程得： ， 整理得：， 故选 A． 【类型10根与系数的关系】 46．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 47．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 48．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 49．设方程的两根分别是、，则______． 【答案】 【分析】由题意可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵方程的两根分别是、， ∴，，且，符合题意． ∴． 50．若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，，， 由根与系数的关系可得：，， 将所求代数式变形得：， 代入计算得：， 故的值为． 【类型11 一元二次方程相关定义新运算】 51．对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算法则，结合，得出方程，整理该方程，得出，再根据根与系数的关系，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 52．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 53．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 54．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 【答案】D 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 55．定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】根据新运算，将展开得， 整理为一元二次方程一般式得， 计算根的判别式： ， 又任意实数的平方非负，即， ， 方程有两个不相等的实数根． 【类型12 一元二次方程实际问题】 56．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 57．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 58．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 59．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 60．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，年末我国贫困人口还有万人，此后逐年下降，截至到年末我国贫困人口仅有万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】年末我国贫困人口还有万人，年平均下降率为．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人．年末贫困人口为万人，据此列出方程即可， 【详解】解：由题意可得，． 第 1 页 共 112 页 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