第10讲 植树问题（讲义）2026-2027学年三年级上册奥数人教版

——小学三年级上册奥数培优讲义★★★★★—— 第10讲 植树问题 【课程信息】 项目 内容 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 乘除法应用题、长方形与正方形的周长、间隔概念 核心方法 四类植树模型（两端都栽 / 一端栽 / 两端不栽 / 封闭）、段数 = 总长 ÷ 间隔、转化思想 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 理解植树问题的本质是“点数”与“段数”的关系；掌握四类基本植树模型的公式；能解决摆绿植、爬楼梯、锯木头、车队过桥、圆环连接、重复间隔等变形植树问题；学会用公倍数解决重复间隔问题。 过程与方法 经历“画图 → 找段数 → 套公式 → 检验”完整解题流程；体会把生活问题转化为植树模型的转化思想；学会用画图法辅助理解间隔关系。 思维品质 培养数形结合能力；提升模型识别与转化能力；养成画图分析的习惯；学会分类讨论（不同情形公式不同）。 情感与应用 感受植树问题在生活中的广泛应用（绿植、楼梯、排队、锯木头、车队、圆环等）；学会用数学眼光观察生活中的间隔现象。 【前言】 同学们，生活中处处藏着“间隔”的秘密：路灯与路灯之间有间隔，楼梯台阶之间有间隔，排队的小朋友之间有间隔，就连锯木头的次数也和段数紧紧相连……这些问题看似五花八门，其实都指向同一个数学模型——植树问题。 植树问题研究的是一条直线上“点的个数”和“相邻两点之间线段的段数”之间的关系。我们可以把树（路灯、人、车）看成“点”，把植树的路线看成“线”，于是复杂的现实情境就转化为“点数”与“段数”的数量关系。 本讲我们将学习四类基本植树模型，以及爬楼梯、锯木头、车队过桥、圆环连接、重复间隔等常见变形。记住一句话：遇到间隔问题，先画图、找段数，一切都会变得清晰！ 一、知识导航 1. 四类基本植树模型 图1 四类基本植树模型：先分清楚“点”落在哪里 模型 图形特征 公式 生活实例 ① 两端都有“点” 非封闭线，两端都栽 棵数 = 段数 + 1 段数 = 棵数 - 1 甬道摆绿植、立标杆、排队 ② 只有一端有“点” 非封闭线，一端栽一端不栽 棵数 = 段数 小区门口到公路栽树（门口端不栽） ③ 两端都没有“点” 非封闭线，两端都不栽 棵数 = 段数 - 1 两栋楼之间栽树、锯木头 ④ 封闭线 圆形、方形等封闭图形 棵数 = 段数 = 周长 ÷ 间隔 圆形水池放花、方形花坛四周栽树 2. 核心公式推导 第一步，先求出段数：段数 = 总长度 ÷ 间隔长度； 第二步，再根据四类模型，由段数求棵数（或由棵数求段数）。 3. 常见变形植树问题 变形问题 对应模型 关键转化 爬楼梯 两端都有“点” 楼层数 - 1 = 楼梯段数 锯木头 两端都没有“点” 锯的次数 = 段数 - 1 立标杆 / 路灯 两端都有“点” 杆数 - 1 = 间隔段数 排队 / 车队 两端都有“点” 人数 / 车辆数 - 1 = 间隔数 圆环连接 两端都没有“点” 圆环数 - 1 = 重叠处数 封闭图形植树 封闭线 棵数 = 段数 = 周长 ÷ 间隔 重复间隔问题 公倍数 两种间隔的公倍数位置是重复点 二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 不区分四类模型，所有题都用“总长 ÷ 间隔 + 1” 先判断属于哪一类模型（两端都栽 / 一端栽 / 两端不栽 / 封闭），再选对应公式 爬楼梯直接用“楼层数 × 每层用时” 楼层数 - 1 才是楼梯段数，1 楼不用走楼梯 锯木头直接把“总长 ÷ 每段长”当作次数 段数 - 1 才是锯的次数，锯 1 次得 2 段 车队过桥只算桥长，不算车队长 通过大桥行驶距离 = 车队长 + 桥长 封闭图形植树也加 1 封闭图形棵数 = 段数，不加 1 不减 1 圆环连接把重叠处数当成圆环数 n 个物体连接，重叠处数 = n - 1 不画图凭感觉算 植树问题一定要先画示意图，标清楚点数和段数 三、典例精讲 【例1】基础模型·两端都栽 —— 甬道摆绿植 题目：学校从校门到教学楼有一条长 96 米的甬道，计划从校门起每隔 8 米摆放一盆绿植，甬道两端各摆一盆。一共需要多少盆绿植？ 分析：两端都栽：棵数 = 段数 + 1。先求段数：96 ÷ 8 = 12（段），再求盆数：12 + 1 = 13（盆）。 详解 段数：96 ÷ 8 = 12（段） 绿植盆数：12 + 1 = 13（盆） 答：一共需要 13 盆绿植。 验证：13 - 1 = 12 段，12 × 8 = 96 米，符合题意。 【方法点睛】 两端都栽：棵数 = 段数 + 1。已知总长求棵数，先求段数，再加 1。 图2 两端都栽：96 米甬道被分成 12 段，需要 13 盆绿植 【例2】变形模型·爬楼梯 —— 小美回家 题目：小美的家在 9 楼，她从 1 楼走到 3 楼用了 48 秒。照这样的速度，她从 1 楼走到家还要多少秒？ 分析：爬楼梯对应“两端都有点”模型。1 楼不用走楼梯，走到 3 楼实际走了 3 - 1 = 2 段楼梯。先求走 1 段的时间，再算出从 3 楼到 9 楼还要走几段。 详解 走到 3 楼走的段数：3 - 1 = 2（段） 每段用时：48 ÷ 2 = 24（秒） 到 9 楼共走段数：9 - 1 = 8（段） 还要走的段数：8 - 2 = 6（段） 还要用时间：24 × 6 = 144（秒） 综合算式：[48 ÷ (3 - 1)] × [(9 - 1) - (3 - 1)] = 24 × 6 = 144（秒） 答：她从 1 楼走到家还要 144 秒。 验证：8 段 × 24 秒 = 192 秒，已用 48 秒，还需 192 - 48 = 144 秒。 【方法点睛】 楼层数 - 1 = 楼梯段数，1 楼不用走楼梯。 图3 爬楼梯：楼层 9 层对应楼梯 8 段，先走 2 段，还剩 6 段 【例3】综合应用·车队过桥 —— 花车队过操场 题目：运动会入场式上，一列花车队共 15 辆，每辆车长 4 米，前后两辆车相隔 5 米。这列花车队全长多少米？如果花车队以每秒 2 米的速度通过 170 米长的检阅操场，从车头进场到车尾出场需要多少秒？ 分析：车队排列对应“两端都有点”模型，15 辆车有 15 - 1 = 14 个间隔。车队长 = 车身总长 + 间隔总长。通过操场，行驶距离 = 车队长 + 操场长（从车头进到车尾出）。 详解 间隔数：15 - 1 = 14（个） 间隔总长：14 × 5 = 70（米） 车身总长：15 × 4 = 60（米） 车队总长：70 + 60 = 130（米） 行驶距离：130 + 170 = 300（米） 所需时间：300 ÷ 2 = 150（秒） 答：花车队全长 130 米，通过检阅操场需要 150 秒。 验证：14 × 5 + 15 × 4 = 70 + 60 = 130 米；130 + 170 = 300 米，300 ÷ 2 = 150 秒。 【方法点睛】 车辆数 - 1 = 间隔数；通过场地行驶距离 = 车队长 + 场地长。 图4 车队过场地：行驶距离 = 车队长 130 米 + 操场 170 米 = 300 米 【例4】变形模型·圆环连接 —— 串圆环项链 题目：小丽把 8 个同样大小的圆环串成一条项链，每个圆环外径长 3 厘米，相邻两个圆环环环相扣，重叠处长 1 厘米。这条项链长多少厘米？如果串 12 个圆环呢？ 分析：圆环连接对应“两端都没有点”模型，n 个圆环连在一起有 n - 1 处重叠。项链长 = 各圆环外径之和 - 重叠部分总长。 详解 8 个圆环： 重叠处数：8 - 1 = 7（处） 重叠总长：7 × 1 = 7（厘米） 圆环外径总和：3 × 8 = 24（厘米） 项链长：24 - 7 = 17（厘米） 12 个圆环： 重叠处数：12 - 1 = 11（处） 重叠总长：11 × 1 = 11（厘米） 圆环外径总和：3 × 12 = 36（厘米） 项链长：36 - 11 = 25（厘米） 答：串 8 个圆环项链长 17 厘米，串 12 个圆环长 25 厘米。 验证：8 环：24 - 7 = 17；12 环：36 - 11 = 25。 【方法点睛】 n 个物体连接，重叠处数 = n - 1；总长 = 各物体长度之和 - 重叠总长。 图5 圆环连接：8 个圆环有 7 处重叠，总长 = 24 - 7 = 17 厘米 【例5】综合挑战·重复间隔 —— 走廊贴纸 题目：学校一条走廊长 120 米，老师从走廊一端起每隔 3 米贴一枚“小脚印”贴纸（两端都贴），同时从同一端起每隔 4 米贴一枚“小星星”贴纸（两端也贴）。如果两种贴纸贴在同一位置，只算 1 处。这条走廊上一共贴了多少枚贴纸？ 分析：这是一道综合题，同时考查植树问题和公倍数。“小脚印”按两端都贴求枚数，“小星星”同样求枚数；3 和 4 的最小公倍数是 12，每隔 12 米两种贴纸会贴在同一位置。用容斥原理：总数 = 小脚印数 + 小星星数 - 重复处数。 详解 小脚印枚数：120 ÷ 3 + 1 = 41（枚） 小星星枚数：120 ÷ 4 + 1 = 31（枚） 3 和 4 的最小公倍数是 12 重复处数：120 ÷ 12 + 1 = 11（处） 贴纸总数：41 + 31 - 11 = 61（枚） 答：这条走廊上一共贴了 61 枚贴纸。 验证：41 + 31 = 72 枚，72 - 11 = 61 枚，符合题意。 方法点睛：两种间隔的最小公倍数位置是重复点，用容斥原理（A + B - 重复）去重。 图6 重复间隔：3 米与 4 米每 12 米重合一次，重合处只算 1 处 四、方法总结表 题型 对应模型 核心公式 关键提示 甬道摆绿植（两端都栽） ① 两端都有“点” 棵数 = 段数 + 1 段数 = 棵数 - 1 最常见模型，记得 + 1 一端栽一端不栽 ② 只有一端有“点” 棵数 = 段数 门口 / 墙边不栽的情况 两楼之间栽树 ③ 两端都没有“点” 棵数 = 段数 - 1 两端有障碍物不能栽 圆形 / 方形封闭植树 ④ 封闭线 棵数 = 段数 = 周长 ÷ 间隔 不加 1 不减 1 爬楼梯 ① 两端都有“点” 楼梯段数 = 楼层数 - 1 1 楼不用走楼梯 锯木头 ③ 两端都没有“点” 锯的次数 = 段数 - 1 锯 1 次得 2 段 立标杆 / 路灯 ① 两端都有“点” 间隔数 = 杆数 - 1 求距离用间隔数 × 间隔 排队 / 车队长度 ① 两端都有“点” 间隔数 = 人数 / 车辆数 - 1 总长 = 身体 / 车身长 + 间隔长 圆环连接 ③ 两端都没有“点” 重叠处数 = 物体数 - 1 总长 = 各物体长 - 重叠总长 车队过桥 / 过场地 综合 行驶距离 = 车队长 + 桥长 车头进到车尾出 重复间隔问题 公倍数 重复数 = 总长 ÷ 最小公倍数 用容斥原理去重 五、解题口诀 植树问题并不难，先画图来再判断； 两端都栽段加一，两端不栽段减一； 只有一端或封闭，棵数段数两相等； 爬楼梯时楼层数，先减一变成段数； 锯木头求锯次数，段数也要减个一； 车队过桥算路程，车身桥长加起来； 圆环连接算重叠，个数减一别数错； 重复间隔找公倍，容斥原理去重复。 六、习题分层训练 A 组 ｜ 基础过关 【A1】基础模型（三问） 校园有一条长 48 米的长廊，计划在长廊一侧摆花，每隔 4 米摆一盆。 （1）如果两端都各摆一盆，一共需要多少盆花？ （2）如果两端都不摆花，一共需要多少盆花？ （3）如果只有一端摆花，一共需要多少盆花？ 【A2】锯木头 一根 72 厘米长的木条，要锯成每段 8 厘米长的小段，一共要锯几次？ 【A3】立标杆 测量队测量一条公路的长度，从起点立第一根标尺，以后每隔 30 米立一根。当立到第 12 根标尺时，第 1 根与第 12 根标尺相距多少米？ B 组 ｜ 能力提升 【B1】封闭图形植树 一块正方形花坛，边长 40 米，沿花坛四周每隔 4 米栽一棵月季花，四个角各栽一棵。一共要栽多少棵月季花？ 【B2】队伍长度 学校举行队列比赛，三年级共有 144 人参加，每 12 人排成一行，前后两行相隔 2 米。这个方队从第一行到最后一行共长多少米？ 【B3】车队过桥（逆向求车辆数） 一支车队以每秒 4 米的速度缓缓通过一座 200 米长的大桥，共用时 100 秒。已知每辆车长 5 米，相邻两车相隔 10 米，这支车队共有多少辆车？ C 组 ｜ 挑战冲刺 【C1】重复间隔·改间距 公园里有一条长 1800 米的小路，沿路等距离种树（两端都种）。原计划每隔 9 米种一棵，现改为每隔 6 米种一棵。需要新挖多少个树坑？原来的树坑需要填掉多少个？ 【C2】封闭图形逆向 在边长 48 米的正方形池塘四周栽树，四个角各栽一棵，共栽了 48 棵。相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【C3】锯木头逆向 一根木料锯成 4 段要用 12 分钟，照这样计算，锯成 9 段要用多少分钟？ 七、参考答案与详细解析 A 组 ｜ 答案与解析 【A1】答案：（1）13 盆；（2）11 盆；（3）12 盆。 解析： 段数 = 48 ÷ 4 = 12（段） （1）两端都摆：盆数 = 段数 + 1 = 12 + 1 = 13（盆） （2）两端都不摆：盆数 = 段数 - 1 = 12 - 1 = 11（盆） （3）只有一端摆：盆数 = 段数 = 12（盆） 【A2】答案：8 次。 解析： 段数 = 72 ÷ 8 = 9（段）； 锯的次数 = 段数 - 1 = 9 - 1 = 8（次）。 （锯 1 次得 2 段，锯 8 次得 9 段） 【A3】答案：330 米。 解析： 间隔数 = 12 - 1 = 11（个）； 距离 = 11 × 30 = 330（米）。 B 组 ｜ 答案与解析 【B1】答案：40 棵。 解析： 正方形周长 = 40 × 4 = 160（米）； 封闭图形棵数 = 段数 = 周长 ÷ 间隔 = 160 ÷ 4 = 40（棵）。 【B2】答案：22 米。 解析： 行数 = 144 ÷ 12 = 12（行）； 间隔数 = 12 - 1 = 11（个）；队伍长度 = 11 × 2 = 22（米）。 【B3】答案：14 辆。 解析： 行驶总距离 = 4 × 100 = 400（米）； 车队长 = 400 - 200 = 200（米）。 设有 n 辆车，车队长 = 5n + 10(n - 1) = 15n - 10；15n - 10 = 200 → 15n = 210 → n = 14（辆）。 综合算式：(200 - 5) ÷ (5 + 10) + 1 = 195 ÷ 15 + 1 = 13 + 1 = 14（辆） C 组 ｜ 答案与解析 【C1】答案：需要新挖 200 个树坑，填掉 100 个树坑。 解析： 原坑（每隔 9 米，两端都种）：1800 ÷ 9 + 1 = 201（个） 新坑（每隔 6 米，两端都种）：1800 ÷ 6 + 1 = 301（个） 9 和 6 的最小公倍数是 18，重复位置（不用新挖也不填）：1800 ÷ 18 + 1 = 101（个） 需要新挖的坑 = 新坑 - 重复坑 = 301 - 101 = 200（个） 需要填掉的坑 = 原坑 - 重复坑 = 201 - 101 = 100（个） 【C2】答案：4 米。 解析： 正方形周长 = 48 × 4 = 192（米）； 封闭图形棵数 = 段数 = 48（段）； 相邻距离 = 周长 ÷ 段数 = 192 ÷ 48 = 4（米）。 【C3】答案：32 分钟。 解析： 锯成 4 段需要锯 4 - 1 = 3（次）；锯 1 次用时：12 ÷ 3 = 4（分钟）；锯成 9 段需要锯 9 - 1 = 8（次）；总用时：4 × 8 = 32（分钟）。 八、本讲小结 ✦ 核心本质：植树问题研究的是一条线上“点数”与“段数”的关系。 ✦ 四类基本模型： 两端都栽：棵数 = 段数 + 1 一端栽一端不栽：棵数 = 段数 两端都不栽：棵数 = 段数 - 1 封闭图形：棵数 = 段数 ✦ 常见变形：爬楼梯（楼层 - 1 = 段数）、锯木头（段数 - 1 = 次数）、车队过桥（车队长 + 桥长 = 行驶距离）、圆环连接（物体数 - 1 = 重叠处数）、重复间隔（公倍数 + 容斥）。 ✦ 解题流程：读题 → 判断模型 → 画示意图 → 找段数 → 套公式 → 检验。 ✦ 重要习惯：植树问题一定要画图，标清楚点数和段数，不要凭感觉算。 九、易错警示 易错警示 ❌ 不分类型乱套公式：所有题都用“总长 ÷ 间隔 + 1”，不区分两端是否栽树。 → 正确：先判断是四类模型中的哪一类，再选对应公式。 ❌ 爬楼梯直接乘楼层数：认为走到 3 楼走了 3 段楼梯。 → 正确：楼层数 - 1 = 楼梯段数，1 楼不用走楼梯。 ❌ 锯木头直接除得次数：认为 72 ÷ 8 = 9 就是锯的次数。 → 正确：段数 - 1 = 锯的次数，锯 1 次得 2 段。 ❌ 车队过桥只算桥长：认为通过大桥只行驶了桥的长度。 → 正确：行驶距离 = 车队长 + 桥长，从车头进到车尾出。 ❌ 封闭图形也加 1：圆形水池放花也用“周长 ÷ 间隔 + 1”。 → 正确：封闭图形棵数 = 段数，不加 1。 ❌ 圆环连接把重叠处数当成圆环数：8 个圆环以为有 8 处重叠。 → 正确：n 个物体连接，重叠处数 = n - 1。 ❌ 不画图凭感觉算：间隔问题不画图，点数段数搞混。 → 正确：一定要画示意图，用点表示树 / 人 / 车，用线段表示间隔，一目了然。 十、学习建议 学习建议 ✓ 养成画图习惯：每道植树问题都先画示意图，标清楚哪些位置有“点”、有几段。 ✓ 熟记四类模型：把四类基本模型的公式和图形特征记牢，看到题目先判断属于哪一类。 ✓ 多做变形题：爬楼梯、锯木头、排队、车队过桥、圆环连接都是植树问题的变形，多练习才能快速识别模型。 ✓ 单位先统一：涉及不同单位（厘米 / 毫米、米 / 千米）的题目，计算前先统一单位。 ✓ 做完画图检验：算出答案后，把结果标在图上，反向验证是否符合题目条件。 ✓ 理解本质不死记：理解“点数”和“段数”的关系，画图推一推，公式自然就记住了。 ✦ 植树问题的本质就是“点”和“段”的关系，遇到间隔问题先画图，点数段数看清楚！ ———————————————————————————————————————————— 祝贺你完成了本讲的学习，为努力学习的你点赞！👍 学科网（北京）股份有限公司 $