奥数培优 第6讲 找规律——图形与数表规律（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

——小学三年级上册奥数培优讲义★★★★★—— 第6讲　找规律——图形与数表规律 适用年级 三 年级 建议课时 1 课时（60 分钟） 专题模块 找规律——图形与数表规律 难度星级 ★★★☆☆ 图0-1　图形会旋转、会变数量，数字会排队、会玩运算——找规律就像解谜！ 🎯 教学目标维度表 维度 具体目标 知识与技能 认识图形变化规律（数量、旋转、周期循环）；掌握圆圈、三角形数阵“外围运算求中心”；掌握数表横行、竖列、上下配对规律；能解决周期图形问题。 过程与方法 经历“观察→猜想→验证→求解→回代”完整流程；图形重点看数量、旋转方向；数表重点看横行、竖列、四周与中心。 思维品质 提升多角度观察推理能力；学会多方向试探；养成结果回代验证的严谨习惯。 情感与应用 感受图形与数表的秩序之美；提升观察力，培养有序思考。 📖 前言 上一讲我们认识了数列找规律——一行数字里藏着加减乘除的秘密。今天难度升级！我们要挑战两类新规律： ① 图形变化规律：图形会变数量、会旋转、会循环出现； ② 数表、数阵规律：数字排成圆圈、三角形、表格，数字之间藏着运算关系。 找图形、数表规律就像解谜：要仔细看数量、方向、位置；横行看完看竖列；找不到就看四周和中心。最重要的是——猜想完规律，一定要拿已知数字验证，验证通过才能用来算问号！ 一、知识导航 图1-1　本讲三大类规律题型 1．图形变化规律 观察角度： ①图形数量的多少； ②旋转（顺时针 / 逆时针旋转 90°、180°）； ③位置移动； ④周期循环（一组图形不断重复出现）。 2．封闭图形数阵（圆圈、三角形） 多个数字分布在圆圈四周或三角形顶点；重点观察：四周数字通过加减乘除运算得到中心数字。 3．表格数表规律 观察方向： ①每一行（横行）； ②每一列（竖列）； ③上下对应位置； ④对角； ⑤每行 / 每列内部数字的运算关系。 🔔 【易错辨析】 ❌ 错误 只看 1 组例子就定规律，不拿后面的已知条件验证。 ✅ 正确 猜想完规律，要拿 2 组及以上已知案例验证，全部符合才成立。 ❌ 错误 图形规律只看形状，忽略数量、旋转的变化。 ✅ 正确 图形要同时观察：数量、旋转方向、位置、周期。 ❌ 错误 数表只盯着横行看，想不到竖列、四周和中心的运算关系。 ✅ 正确 横行找不到，立刻切换：试竖列、试四周与中心运算。 ❌ 错误 周期图形一个一个硬数，数字一大就容易数错。 ✅ 正确 周期问题第一步先找出“重复的一组”，用除法求余数判断位置。 ❌ 错误 算出问号后不代回验证。 ✅ 正确 算出结果后放回原图，检查全部条件是否都满足。 二、典例精讲 【例 1】图形数量 + 旋转规律（两个变化同时发生） 题目：观察下面的图形，小方块个数依次是 3、4、5，并且整幅图每次顺时针旋转 90°（橙色方块表示箭头方向）。你能画出第 4 个图形吗？ 图2-1　例1 图形序列 ▶ 分析：这道题同时藏着两个变化——① 个数：每幅图比前一幅多 1 个小方块；② 方向：整幅图每次顺时针旋转 90°，箭头方向从“上”转到“右”再转到“下”。两个条件要同时满足。 ▶ 详解：个数：3 → 4 → 5 → 6，第 4 个图形应有 6 个小方块；方向：上 → 右 → 下 → 左，第 4 个图形箭头应朝左。所以第 4 个图形是 6 个小方块连成一线、箭头朝左。 图2-2　第 4 个图形（答案） ▶ 验证：6 个小方块 ✓；箭头朝左（再顺时针转 90°）✓。 💡 【方法点睛】 图形题经常同时有两种变化（数量 + 旋转、数量 + 位置），两个条件要同时满足，缺一不可！答题时先找数量规律，再看方向规律。 【例 2】圆形数阵（外围运算得中心） 题目：下面每个圆形数阵中，三个外围小圆圈里的数（上、左、下）通过运算得到中心圆里的数。观察规律，求出问号。 图2-3　例2 圆形数阵 ▶ 分析：先拿两个完整图形试一试，外围三数怎样运算能得到中心数：① 3、2、1 → 7，3×2+1=7；② 5、3、2 → 17，5×3+2=17。发现规律：中心数 = 上面数 × 左面数 + 下面数。 ▶ 详解：③ 4×？+3=15，4×？=12，？=3；④ 6×2+？=20，12+？=20，？=8。 ▶ 验证：③ 4×3+3=15 ✓；④ 6×2+8=20 ✓。 💡 【方法点睛】 圆圈数阵优先想“外围数做加减乘除得到中心数”。先拿两个完整图形把运算公式找出来，再代入求问号。 【例 3】三角形数阵（顶点运算得中心） 题目：三角形三个顶点各有一个数，中心圆里的数由三个顶点的数运算得到。观察规律，求出问号。 图2-4　例3 三角形数阵 ▶ 分析：① (6+3)÷3=3；② (12+8)÷5=4。发现规律：中心数 =（上面数 + 左面数）÷ 右面数。 ▶ 详解：③ (16+？)÷4=5，16+？=20，？=4；④ (18+12)÷？=6，30÷？=6，？=5。 ▶ 验证：③ (16+4)÷4=5 ✓；④ (18+12)÷5=6 ✓。 💡 【方法点睛】 三角形数阵与圆圈数阵思路相同——用两组已知图形“猜出”运算规则，再代入计算。注意：运算里有除法时，要从“得数”反推被除数或除数。 【例 4】周期图形（重复单元 + 除法求余） 题目：图形按“☆ △ ○”三个一组不断重复（见下图），请回答： （1）第 25 个图形是什么？ （2）第 33 个图形是什么？ （3）前 28 个图形中，△ 一共有几个？ 图2-5　例4 周期图形 ▶ 分析：图形“一组一组”重复，每组都是 ☆ △ ○，周期长度是 3。判断第 N 个图形，就用 N÷3 看余数：余 1 → 组内第 1 个（☆）；余 2 → 组内第 2 个（△）；没有余数 → 组内最后 1 个（○）。 ▶ 详解：（1）25÷3=8……1，余 1 → 第 25 个是 ☆； （2）33÷3=11，没有余数 → 第 33 个是 ○； （3）28÷3=9……1，前面 9 个完整周期，每组有 1 个 △，共 9 个； 余下 1 个是 ☆，没有 △，所以 △ 一共 9 个。 ▶ 验证：用“余数判断法”逐一代回原序列，均符合。 💡 【方法点睛】 周期问题三步走——① 圈出“一组重复单元”；② 用除法求余数；③ 根据余数找到对应图形。特别注意：余数是 0 时，代表周期的最后一个图形！ 【例 5】上下配对数表与双行数列 题目（1）（上下配对）：下面数表上排每个数都是下排对应数的 2 倍，请填空。 上排 18 30 24 ? 42 下排 9 15 12 19 ? 题目（2）（双行数列）：下面两行数各自有规律，请填空。 上排 2 6 10 ? 18 下排 3 8 13 ? 23 ▶ 分析：（1）上下成对看倍数：18÷9=2，30÷15=2，24÷12=2，倍数固定为 2；（2）上下两行各自成等差数列：上排每次 +4，下排每次 +5。 ▶ 详解：（1）上排第 4 个 = 19×2 = 38；下排第 5 个 = 42÷2 = 21。 （2）上排第 4 个 = 10+4 = 14；下排第 4 个 = 13+5 = 18。 ▶ 验证：38÷19=2 ✓，42÷21=2 ✓；14=10+4 ✓，18=13+5 ✓。 💡 【方法点睛】 数表可以“上下配对”找差、找倍数；也可以把上下两行看成两套独立的数列分别找规律。 【例 6】方格数表（组内关系 + 行列双规则） 题目（1）（组内等差中项）：每组三个方格，中间数 =（左数 + 右数）÷ 2，请填空。 第①组 6 ? 10 第②组 ? 13 18 第③组 12 15 ? 题目（2）（行列双规则）：观察下面 3×3 数表，每行“左数 + 中数 = 右数”，每列“上数 + 中数 = 下数”，求问号。 1 2 3 3 4 7 4 6 ? ▶ 分析：（1）中间数取左右两数的平均数（也就是等差数列的中项）；（2）横行和竖列两条规则互相印证，答案只有一个。 ▶ 详解： （1）① (6+10)÷2=8； ② (？+18)÷2=13，？+18=26，？=8； ③ (12+？)÷2=15，12+？=30，？=18。 （2）用横行：4+6=10； 用竖列：第三列 3+7=10，结果一致，所以 ？=10。 ▶ 验证：8、8、18 分别代回三个方格组 ✓；10 同时满足横行与竖列两条规则 ✓。 💡 【方法点睛】 方格数表先看“横行”，行不通立刻换“竖列”；如果同一个数能同时被横行、竖列两条规则验证，这个答案一定正确！ 📋 方法总结表 题型 突破口 核心技巧 图形规律（数量 + 旋转） 数个数，看方向 数量变化与旋转方向同时观察 周期循环图形 找重复单元 一组重复单元，除法求余数判断第 N 个 圆圈 / 三角形数阵 外围 → 中心 用两组已知图形推导运算公式 上下配对数表 上下对应位置 看差、和、倍数关系，上下成对分析 方格行列数表 横行 → 竖列 横行不通换竖列，双规则互验 找规律标准解题流程 图2-6　找规律标准解题流程（五步走） 三、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关（图形个数 · 简单数阵 · 简单数表） 【A1】数一数，填一填：下面的图形分别有几个圆点？图 5 有几个圆点？ 图3-1　A1 圆点图形 【A2】圆形数阵：下面圆形数阵中，中心数 = 周围三个数之和。求出问号。 【A3】三角形数阵：中心数 = 上面数 + 左面数 − 右面数。求出问号。 【A4】上下配对：数表上排每个数都比下排对应数大 10，请填空。 上排 15 18 21 ? 30 下排 5 8 11 14 ? 【A5】周期图形：图形按“★ ● ▲”三个一组不断重复，第 13 个图形是什么？ 🟧 B 组｜能力提升（两步运算数阵 · 周期综合 · 双规则数表） 【B1】圆形数阵：中心数 =（上面数 + 下面数）× 左面数。求出问号。 【B2】三角形数阵：中心数 =（上面数 + 左面数）÷ 右面数。求出问号。 【B3】3×3 数表：每行“左数 + 中数 = 右数”，每列“上数 + 中数 = 下数”。求问号。 2 3 5 1 5 6 3 8 ? 【B4】周期图形：图形按“▲ ▲ ○ □”四个一组不断重复（见下图）。 （1）第 26 个图形是什么？ （2）前 26 个图形中 ▲ 一共有几个？ 【B5】上下配对：数表上排每个数都是下排对应数的 3 倍，请填空。 上排 27 24 30 ? 42 下排 9 8 10 13 ? 🟥 C 组｜挑战冲刺（综合图形 · 周期 + 计数 · 阶梯数表 · 开放题） 【C1】图形双变化：小方块个数依次是 3、5、7，并且整体每次逆时针旋转 90°（橙色表示箭头方向）。画出第 4 个图形。 【C2】周期综合：图形按“☆ △ ○”三个一组不断重复（见下图）。 （1）第 35 个图形是什么？ （2）前 35 个图形中 ☆ 一共有几个？ 【C3】阶梯数表：下面的数表每行都比上一行多一个数，请根据规律回答下面三个问题。 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 第4行 7 8 9 10 第5行 11 12 13 14 15 （1）第 5 行第 3 个数是几？ （2）第 8 行一共有几个数？ （3）第 8 行第一个数是几？ 【C4】开放挑战（思考题）：一个圆形数阵，中心数是 24。请你设计一组外围三个数（都是整数），并写出“外围数运算得到中心数”的规则。至少写出 2 种不同的设计。 四、参考答案与详细解析 🟦 A 组答案与解析 【A1】答案：9 个。 【解析】圆点个数依次是 1、3、5、7，每次 +2，所以图 5 = 7 + 2 = 9。 【A2】答案：② = 11；③ = 3。 【解析】中心数 = 三数之和。② 2+4+5 = 11；③ ？+3+4 = 10，？ = 3。 【A3】答案：？ = 6。 【解析】中心数 = 上 + 左 − 右。③ 7 + ？ − 3 = 10，？ = 6。 【A4】答案：上排 ？ = 24；下排 ？ = 20。 【解析】上 − 下 = 10。24 − 14 = 10，30 − 20 = 10。 【A5】答案：★。 【解析】周期长度 3。13 ÷ 3 = 4……1，余 1 对应组内第 1 个图形 ★。 🟧 B 组答案与解析 【B1】答案：？ = 3。 【解析】中心 =（上 + 下）× 左。③ (3+5) × ？ = 24，8 × ？ = 24，？ = 3。 【B2】答案：？ = 9。 【解析】中心 =（上 + 左）÷ 右。③ (21+？) ÷ 5 = 6，21 + ？ = 30，？ = 9。 【B3】答案：？ = 11。 【解析】用横行 3 + 8 = 11；用竖列 5 + 6 = 11，两条规则结果一致。 【B4】答案：（1）第 26 个是 ▲；（2）▲ 有 14 个。 【解析】周期长度 4。26 ÷ 4 = 6……2，余 2 对应组内第 2 个 ▲；前 26 个有 6 个完整周期（每个周期 2 个 ▲）+ 余下 2 个（▲ ▲），6 × 2 + 2 = 14。 【B5】答案：上排 ？ = 39；下排 ？ = 14。 【解析】上 = 下 × 3。39 = 13 × 3，42 = 14 × 3。 🟥 C 组答案与解析 【C1】答案：第 4 个图形有 9 个小方块，箭头朝右（逆时针再转 90°）。 【解析】个数 3、5、7、9，每次 +2；方向 上 → 左 → 下 → 右，每次逆时针旋转 90°，两个条件同时满足。 【C2】答案：（1）第 35 个是 △；（2）☆ 有 12 个。 【解析】周期长度 3。35 ÷ 3 = 11……2，余 2 对应 △；前 35 个有 11 个完整周期（每周期 1 个 ☆）+ 余下 2 个（☆ △）中有 1 个 ☆，11 + 1 = 12。 【C3】答案：（1）13；（2）8 个；（3）29。 【解析】第 n 行有 n 个数。前 4 行共有 1+2+3+4 = 10 个数，第 5 行是 11～15，第 3 个数是 13；前 7 行共有 1+2+…+7 = 28 个数，所以第 8 行从 29 开始，第 8 行有 8 个数，第一个数是 29。 【C4】答案（示例）：① 中心 = 上 × 左 + 下：24 = 4×5+4（上 4、左 5、下 4）；② 中心 =（上 + 下）× 左：24 = (3+5)×3（上 3、下 5、左 3）。 【解析】只要能说明运算规则，并代回验证成立即可，设计方法不唯一。 五、本讲小结 ✦ 本讲三大模块： · ① 图形规律（数量、旋转、周期循环）； · ② 封闭数阵（圆圈、三角形，外围运算求中心）； · ③ 方格数表（横行优先，行不通换竖列，上下配对）。 ✦ 解题流程：观察 → 猜想 → 验证（≥ 2 组）→ 计算问号 → 回代检验。 ✦ 周期问题：先找出一组重复单元，用除法求余数判断第 N 个图形；余数为 0 时取组内最后一个图形。 📢 解题口诀 图形数表找规律，数完数量看旋转； 横行不行看竖列，圈阵外围算中间； 周期问题先分组，除法求余定位置； 猜想规律要验证，算出问号回代验！ ⚠ 易错警示 ❌ 只看一组例子就下结论——至少要用两组已知条件验证猜想！ ❌ 图形只看数量，忽略旋转、位置变化——数量、方向要同时兼顾。 ❌ 数表死磕横行——马上切换竖列、四周与中心。 ❌ 周期图形一个一个硬数——先分组，用除法算余数。 ❌ 算完问号不回代验算——推理出错很难发现。 🧠 学习建议 ✓ 做图形题时用笔标记：数清每个图形的元素个数，标出旋转方向。 ✓ 数表做题顺序：横行 → 竖列 → 四周与中心，按顺序试探，不要瞎猜。 ✓ 周期图形第一步圈出“重复的一组”，再做除法，不要硬数。 ✓ 猜想出运算关系后，拿题目给的 2 组例子验证，成立再求问号。 ✓ 算出结果代回原图，核对全部条件，养成验算的好习惯。 💡 核心试探技巧 拿到题目按顺序试探： ① 图形题：先数个数 → 再看旋转方向 → 最后看是否周期循环。 ② 数表数阵题：先看横行 → 不行试竖列 → 再试“四周运算得到中心数”。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ✨ 大胆猜想，小心验证，图形数表里的规律等你来破解！ ✨ 祝贺你完成了本讲的学习，为努力学习的你点赞！ 学科网（北京）股份有限公司 $