四 3.圆的面积-【教材笔记】2026-2027学年六年级上册数学（人教版·新教材）

教材笔记数学六年级上册RJ 33 圆的面积 一个圆的半径为10cm。怎样求这个圆的面积呢？ (1)用边长为1cm的小方格数一数。 “数方格法”估测圆的面积： 先教子圆内的小方格的个数，从而 得出它的面积，乘4就是圆的面积。 满格的有69个： 不满一格的算 不满一格的算半格： 69×4=276 格，有17个： 17÷2=8.5 69+17=86 69+8.5=77.5 86×4=344 77.5×4=310 可以得出，圆的面积大约是310个小方格的面积，即310cm2,也就是圆半径平方 的3.1倍。 想一想：如果用边长为1mm的小方格来数，得到的结果会更精确吗？如果小方格 分得越来越小呢？ 用1mm的小方格数面积会更精确，因为小方格越小，对圆的“贴 合度”越高，误差越小；如果小方格分得越来越小，那么数方格 的结果会无限接近圆的实际面积。 划重点 “数方格估面积”的逼近思想：通过不断缩小方格的边长，细化分割，让估算结 果一步步靠近圆的实际面积。 60 四圆 (2)我们以前把三角形转化成平行四边形来计算面积。能不能把圆也转化成学过 的图形来计算面积？找一个圆，通过剪、拼的方法试一试。 转化 8等分： 16等分： -M 32等分： 提示拼剪的过程中，图形的形状发生了变化，但面积大小没有变化。 想一想：圆等分的份数越来越多，拼出的图形会越来越接近什么形状？长方形 长方形的长近似于圆的周长的一半。 从上图可以看出：当圆的半径是r时，长方形的长近似于πr,宽近似于r。 因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=T。 如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是： S=TP2 决定圆的面积大小的因素是圆的半 径的大小。 信息技术应用 利用信息技术工具还可以把圆等分为48份、96份、192份，甚至更多份。随着等 分份数的不断增加，可以更加直观、清楚地看到：分的份数越多，每一份就越小，拼 出的图形就越来越接近长方形。 份数越多，拼接图形 等分份数n=48 等分份数n=96 的边越平滑，越能清 晰地展现“曲线句直 线逼近”的变化趋势。 等分份数n=192 等分份数n=384 6 教材笔记数学六年级上册RJ 1 2026年1月，全球首台20兆瓦海上风电机组在我国福建海域完成吊装。如图所 示，风电机组的叶轮半径为150，风起时叶轮转动形成一个圆，这个圆的面积就 是叶轮的扫风面积。这个叶轮的扫风面积大约是多少？一个标准足球场长105， 宽68，这个叶轮的扫风面积大约相当于几个足球场？（得数保留整数，可借 助计算器。)先根据圆的面积公式算出叶轮的扫风面积，再用“叶轮的扫风面积 ÷足球场面积”得到对应足球场的数量 S=Tr2 3.14×1502=70650(m2) 105×68=7140(m2) 70650÷7140≈10（个） 答：这个叶轮的扫风面积大约是70650m2,大约相当于10个足球场。 做一做三 1.一个圆形茶几桌面的直径是1m,它的面积是多少平方米？ 提示先求半径，再求面积。 2.一个圆形蓄水池的周长约是31.4m,它的占地面积约是多少？ 提示先根据圆的周长公式求出半径，再求面积。 你知道吗？ 你知道我国古代怎样求圆的面积吗？刘徽是我国魏晋时期 的数学家，他在为《九章算术》作注时，提出了求圆面积的方 法一割圆术。 从圆内接正六边形开始，将边数逐次加倍，得到的圆内接 正多边形就逐步逼近圆。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣。” 刘徽的“割圆术”体现了逼近思想：通过增加圆内接正多边形的边数，让多边 形面积逐步逼近圆的面积，与“等分圆拼长方形”的推导思想一致。 四 圆 2 馆藏于故宫博物院的“青玉御题蚕纹璧”（如右图）， 其形状是一个圆环。外圆直径为26.3cm,内圆直径为 5.4cm。这个圆环的面积约是多少？（可借助计算器， 得数保留一位小数。) 圆环是轴对称图形，对 先算半径：26.3÷2=13.15（cm) 5.4÷2=2.7(cm) 称轴是通过圆心的直 线，它有无数条对称轴。 小丽这样算： 小明这样算： 圆环的面积=外 3.14×13.152-3.14×2.72 3.14×(13.152-2.72)圆的面积-内圆 =542.97665-22.8906 =3.14×165.6325 的面积 ≈520.1(cm2) 520.1(cm2） 用R表示外圆半径，「表示内圆半径，S国环表示圆环面积，圆环的面积计 算公式是S国环=mR-m=T(R=)。 3 求下面图形的面积。 E 5 cm 5 cm 3 cm 这个图形是由一个大半圆挖 这个图形是由…可 去一个小半圆，再加一个小半 以把上面的半圆平移 圆拼接而成的。可以将小半圆 到下面： 绕着大半圆的圆心旋转。 转化成一个长6cm、 宽3cm 1800 的长方形。 3.14×52÷2= 39.25(cm2) 3 6 =18(cm2) 求不规则图形面积的常用思路：先通过平移、旋转、割 补等将不规则图形转化为规则图形（圆、长方形等）， 做一做三引 再利用规则图形的面积计算公式计算。 求下面各图形中涂色部分的面积。（单位：cm)】 平移 旋转 63 教材笔记数学六年级上册RJ 4 许多建筑和物品上都可以见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。 你能研究一下这两种设计中正方形和圆面积之间的关系吗？ 外方内圆 外圆内方 阅读理解 这里的“外方内圆”指的是正方形和它内部最大的圆； “外圆内方”指的是圆和它内部最大的正方形。 要研究的是… 正方形和圆面积之间的关系。 分析解答 我们先研究“外方内圆”。圆的半径和正方形的边长都不知道，可以假设 圆的半径分别是1cm、2cm、3cm、…、acm。列表研究圆和正方形的面积。 “外方内圆”中正方形的边长与圆的直径长度相等。 圆的半径/cm 1 2 3 ………… e 圆的面积/cm2 π 4T 9π Ta2 正方形的面积1cm2 4 16 36 。4.4 4a2 圆面积是正方形面积的 T π 几分之几（用π表示） 4 4 4 “外方内圆”中，正方形的面积是4a2,圆的面积是ma2, 国的面积占正方形面积的：。 “外圆内方”中的正方形可以看作两个三角 形，它们的底和高分别是…2r和r 64 四 圆 还可以继续假设圆的半径分别是1cm、2cm、 3cm、…、acmo 圆的半径lcm 2 3 ………… a 圆的面积1cm2 T 4T 9π Ta2 正方形的面积/cm 2 8 18 果甲8年 2a2 圆面积是正方形面积的 。。w。。 几分之几（用π表示） 2 2 2 2 我发现“外方内圆”和“外圆内方”中，无论图形 有多大，正方形和圆的面积之间倍数关系是一定的。 “外圆内方”中，正方 答：“外方内圆”中，圆面积是正方形面积的云 形的面积是2a2;圆的面 “外圆内方”中，圆面积是正方形面积的 。 积是ma,圆的面积是正 方形面积的2。 回顾反思 如果把这两个图形叠在一起，你能发现什么？ 从表中可以知道，大正方形的面积是小 正方形的2倍。 把里面的小正方形旋转一下，就能更明显地 看出两个正方形面积之间的倍数关系了。 做一做目 己知图中正方形的面积是20c,圆的面积是多少平方厘米？涂色部分的面积是 多少 提示圆的面积=正方形的面积×牙 外方内圆 65 教材笔记数学六年级上册RJ 练习十二 复习巩固 1.把表格补充完整。 提示国的面积=m入m(号)。 圆 半径 直径 面积 A 4cm B 9 cm C 6cm D 20 cm 2.计算下面各圆的周长和面积。提示C=2mr=md,S=m2-m(号)2。 2 d=10cm r=3 cm 3.公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m,它能喷灌的面积是多少？ 提示喷灌的面积可以 看成一个圆的面积。 4.小刚量得一棵树的树干横截面的周长是125.6cm。树干的横截面近似于圆，它的面 积大约是多少？ 提示先求出圆的半径，再算圆的面积。 5.一个圆形环岛的直径为50m,中间是一个直径为10m的圆形花坛， 其他地方是草坪。求草坪的占地面积。 10m 提示草坪的占地面积=圆形环岛 的面积-圆形花坛的面积 50m 66 四圆 6.下面两个图中，大圆的半径均等于小圆的直径，你能分别求出涂色部分的面积吗？ 你发现了什么？ 提示涂色部分的面积=大圆的面积-小圆的面积 6cm 6 cm 7.一枚铜钱形状如右图，圆的直径为28mm,中间正方形的边长为 6mm。这枚铜钱的面积是多少？ 提示铜钱的面积=圆 的面积-正方形的面积 综合运用 8.在生活中找找圆环形物体，测量所需数据，计算出它的面积。 圆筒形卫生纸的横 工件中的金属垫片 截面是个圆环。 基本是圆环形的。 9.如右图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。这 100m 个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 提示这个运动场的面积可以看成一个圆和 一个长方形的面积之和。 032 10.右图中的花瓣状门洞的边是由4个直径都是1m的半圆组成的。 这个门洞的周长和面积分别是多少？ 提示4个相同直径的半圆，可以拼成两个圆。 67 教材笔记数学六年级上册RJ 11.土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形 状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆 环形的土楼，其中一座的底面圆环外直径34m, 内直径14m;另一座外直径26m,内直径也是 14m。两座土楼的房屋占地面积相差多少？ 提示土楼的房屋占地面积是圆环的面积。 12.一个圆的周长是62.8m,半径增加2m后，面积增加多少？ 提示先求出圆的半径，再分别求出半径增加 前后圆的面积，最后求增加的面积。 13.如右图，公园有两块一样大的半圆形草坪，它们的周长都是128.5m, 这两块草坪的总面积是多少？ 提示半圆形的周长=圆的 直径+圆周长的一半 拓展提升 14.图中涂色部分的面积是多少？（单位：cm) 提示通过割补可以将涂 色部分拼成一个三角形。 15.你在生活中见过下面这些物体吗？ 像下面这样从圆环上截取的部分叫作扇环。你能求出下面各扇环的面积吗？ 提示扇环是圆环 r=4 dm 的一部分。 0 r=5dm 68 四圆 16.右图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知三角形ABC是一A 个等腰直角三角形，AB=BC=10dm。图中涂色部分的面积 是多少平方分米？ D 提示通过割补可以把涂色部分的面积看成两 个半圆减去等腰直角三角形后的面积。 17.有一栋底面呈长方形的建筑物（如下图），墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。 拴狗的绳子长4m,这条狗活动区域的面积有多大？ 提示注意狗绳的长 度是否超过长方形 建筑物单边的长度。 12m 18.（1)一根绳子长31.4m,用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？请 你画一画，算一算。提示尝试围成三角形、四边形、五边形、圆等。 (2)为什么草原上蒙古包的底面是圆形的？为什么绝大多数植物的根和茎的横截 面是圆形的？根据上面的研究，请你试着从数学的角度解释一下。 提示相同周长的情况下，比较图形面积的大小。 69 教材笔记数学六年级上册RJ 利用圆设计图案 用圆可以设计许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 第2步：过 第1步：画一个大小 圆心画两 适中的圆。 条互相垂 直的直线。 第4步：以正 方形的一条 第3步：顺次连接 边为直径， 直线与圆的四个 该边的中点 交点，得到一个 为圆心，在 正方形。 正方形内部 画一个半圆。 第5步：分别以正 方形的另外三条边 为直径，重复上一 步的操作画出另外 第6步：涂色。 三个半圆，并去掉 多余线条。 在画的过程中，你对“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”有了更深的感受 吗？请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形。 画图时最关键的是要确定圆或半圆 的圆心和半径，圆心决定圆的位置， 半径决定圆的大小。 70