第二十四讲 双曲线的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线的简单几何性质，通过类比椭圆的学习方法构建知识支架，引导学生从标准方程、图形、焦点坐标等基础要素入手，系统探究对称性、渐近线、离心率等核心内容，建立圆锥曲线知识的内在联系。 资料以表格形式清晰呈现性质对比，汇总8类易错点强化理解，设计九类必考题型覆盖基础与综合应用，助力学生通过类比迁移发展抽象能力，通过题型归纳提升推理意识，通过实际问题培养模型观念，有效提升学习效率与数学核心素养。

第二十四讲 双曲线的简单几何性质 【学习目标】类比椭圆，探究双曲线的简单几何性质． 【学习重点】双曲线的简单几何性质． 【学习难点】双曲线的渐近线和离心率． 必掌握知识点： 一 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 二 解题常用结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 三 易错点汇总 1.公式区分 椭圆：； 双曲线：；做题算出直接舍去。 2.参数审题大坑 题目问实轴长、虚轴长、焦距：答案是，不是。 3.渐近线 焦点在轴双曲线渐近线为，不要死记； 焦点到任意一条渐近线距离恒等于。 4.焦点三角形 双曲线不能用椭圆的； 只能用 5.共渐近线双曲线 一定要设，正负决定焦点坐标轴。 6.直线和双曲线一个交点两种情况 ①：切线； ②二次项系数等于 0：直线平行渐近线，相交一个点，不是切线。 7.求值域、二次函数最值 双曲线上点满足，不能直接取二次函数顶点，必须限制定义域。 8.椭圆与双曲线共焦点 相等，但是椭圆满足，双曲线，不要搞混。 必考题型全归纳 题型一、双曲线基本参数、标准方程 1．已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型二、双曲线渐近线专题（高频考点） 5．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 6．已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 题型三、离心率求值、范围问题 9．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B．C．D． 10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，且，两点为，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 12．已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 题型四、共焦点、共渐近线、共离心率双曲线 13．双曲线=1与有相同的（   ） A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 14．已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 16（多选）．已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 题型五、焦点三角形、双曲线定义综合 17．函数与的图象在第一象限的公共点为，则（    ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 19（多选）．已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（     ） A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 题型六、双曲线的最值问题（距离、向量、范围） 20．已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 21．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 23．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七、双曲线与圆综合题型 24．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 25．已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C．3 D． 26．已知双曲线的渐近线与圆相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 27（多选）．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于点（均与点不重合），若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的离心率 D．若的焦距为2，则 题型八、双曲线实际应用、旋转变换 28．将双曲线绕原点O逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 29．某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 题型九、直线与双曲线位置关系 30．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31（多选）．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 32（多选）．已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（   ） A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上 C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个 巩固提升： 1．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 2．已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（    ） A． B． C． D． 3．若焦点在轴上的双曲线，其焦距为虚轴长的倍，则下列选项中各点在双曲线的渐近线上的是（   ） A．B．C． D． 4．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B．C． D． 5．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A．B．C．D． 7．已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 8（多选）．已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 9（多选）．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 10（多选）．已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．的范围为 B．时，该双曲线的离心率为 C．时，该双曲线的渐近线方程为 D．使该双曲线的焦距最小 11（多选）．已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 12（多选）．设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 13（多选）．双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．焦点到双曲线C渐近线的距离为2 C．双曲线与C的渐近线相同 D．双曲线与C的焦点相同 14（多选）．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 15（多选）．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4 C．离心率为2 D．渐近线方程为 16（多选）．已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 17（多选）．已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 18（多选）．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 19（多选）．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 20（多选）．已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 21．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 22．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 23．双曲线的焦距为________． 24．已知双曲线的焦距为6，则此双曲线的离心率为_________． 25．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 26．若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________ 27．已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为______；离心率为______． 28．已知双曲线，则它的焦距为_______． 29．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 30．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 31．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为______. 32．已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 33．若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 34．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是______． 35．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四讲 双曲线的简单几何性质 【学习目标】类比椭圆，探究双曲线的简单几何性质． 【学习重点】双曲线的简单几何性质． 【学习难点】双曲线的渐近线和离心率． 必掌握知识点： 一 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 二 解题常用结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 三 易错点汇总 1.公式区分 椭圆：； 双曲线：；做题算出直接舍去。 2.参数审题大坑 题目问实轴长、虚轴长、焦距：答案是，不是。 3.渐近线 焦点在轴双曲线渐近线为，不要死记； 焦点到任意一条渐近线距离恒等于。 4.焦点三角形 双曲线不能用椭圆的； 只能用 5.共渐近线双曲线 一定要设，正负决定焦点坐标轴。 6.直线和双曲线一个交点两种情况 ①：切线； ②二次项系数等于 0：直线平行渐近线，相交一个点，不是切线。 7.求值域、二次函数最值 双曲线上点满足，不能直接取二次函数顶点，必须限制定义域。 8.椭圆与双曲线共焦点 相等，但是椭圆满足，双曲线，不要搞混。 必考题型全归纳 题型一、双曲线基本参数、标准方程 1.标准方程 焦点在轴：，焦点 焦点在轴：，焦点 2.核心关系式： 实轴长：；虚轴长：；焦距： 3.一般式：化为标准形式再判断焦点位置；异号才是双曲线。 4.等轴双曲线：，，离心率，渐近线，两条渐近线互相垂直。 易错点 1.拿到一般式不化成标准方程，直接判断焦点、，造成计算错误； 2.分不清实半轴、虚半轴：是正项下面的分母开根号，不是下面一定是；焦点在轴时项为正； 3.混淆：实轴长是，不是；焦距是，不是；题目问 “实轴长” 容易直接写； 4.等轴双曲线只记住，忘记渐近线垂直这个推论。 1．已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准形式，确定双曲线中的，然后利用确定，进而根据双曲线标准方程得到双曲线的渐近线方程. 【详解】将转化为标准形式，显然，由，所以，解得.所以双曲线标准方程为.所以该双曲线的渐近线方程为. 2．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 3．已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率，满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 4．已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过渐近线方程确定，进而可求解. 【详解】 由题可知该双曲线中，解得，又双曲线的一条渐近线为，因此，又，得，所以实轴长为. 题型二、双曲线渐近线专题（高频考点） 1.求渐近线 ，渐近线： ，渐近线： 快速技巧：把标准方程右边的改为，直接因式分解得到渐近线。 2.共渐近线双曲线系：与共渐近线，可设； 焦点在轴；焦点在轴。 3.焦点到渐近线的距离恒等于。 4.渐近线夹角：根据求倾斜角，注意夹角取锐角或直角。 5.直线与渐近线平行：和双曲线只会有一个交点。 易错点 1.焦点在轴的双曲线渐近线记成，搞反； 2.共渐近线双曲线，忘记可正可负，默认焦点和原双曲线相同； 3.渐近线夹角：把倾斜角直接当成夹角，忘记夹角取锐角； 4.焦点到渐近线距离记错，误以为等于或者，实际恒等于； 5.直线和渐近线平行，误认为是切线（切线斜率不等于渐近线斜率）。 5．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】首先求双曲线方程，再根据条件求圆心，即可求解距离. 【详解】设双曲线方程为，代入点，得，，所以双曲线方程为，程为与双曲线没有交点，所以应过右顶点， 所以圆心所在的直线方程为，代入，得， 所以圆心到双曲线中心的距离为. 6．已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（），则它的渐近线方程为，已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即，由，代入， 得 ，即，虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为.故选项C正确. 7．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线斜率得到的值，再结合双曲线中的关系计算离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为. 由题意可知一条渐近线斜率为，因此，即. 根据双曲线参数的基本关系，将代入得： ， 即. 由离心率定义，代入得 8．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【分析】根据双曲线方程可得答案. 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误.故选：C. 题型三、离心率求值、范围问题 1.离心率定义：，双曲线；越大，双曲线开口越开阔。 2.求离心率两类题型： ① 求值：找等量关系，消去得到关于方程，两边除以得到关于的方程求解； ② 求范围：利用题目几何条件（角度、边长、位置、三角形边角）构造不等式，结合得到范围。 3.常见转化：，可以通过渐近线斜率直接算离心率。 易错点 1.混淆椭圆与双曲线离心率范围：双曲线必须，算出结果小于等于 1 直接舍去； 2.求范围最后忘记带上约束； 3.不会用，硬算增大计算量； 4.角度、三角形条件转化等式 / 不等式出错。 9．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又且,由基本不等式得 ,当且仅当时等号成立，又，所以,化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即,解得,综上所述，. 10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，且，两点为，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设 ，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得的离心率. 【详解】设，因为点A为椭圆上的点， 则，所以，即，① 又四边形为矩形，所以，即，② 由①②解得，则，即，， 所以双曲线的离心率.故选：D． 11．已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，然后结合双曲线的定义，利用勾股定理得，即可求解离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨为右焦点，在第一象限， 设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为， 所以，所以，在中， ，即，所以，所以双曲线的离心率为.    12．已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由双曲线和椭圆的对称性可得垂直于轴，故为椭圆和双曲线的通径. 设，由椭圆可得， 在椭圆方程中令，则，在双曲线方程中令，则，由题意且，故即， 故或（舍），故. 题型四、共焦点、共渐近线、共离心率双曲线 1.共焦点：焦点相同相等；椭圆与双曲线共焦点，两者相同，注意椭圆，双曲线。 2.共渐近线：使用双曲线系；正负改变焦点所在坐标轴。 3.共离心率：比值不变；成比例缩放。 易错点 1.椭圆双曲线共焦点，混淆椭圆、双曲线大小关系：椭圆，双曲线； 2.共渐近线双曲线系，直接照搬原方程，不引入参数； 3.共离心率题目，不会利用比例简化运算。 13．双曲线=1与有相同的（   ） A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据双曲线的几何性质即可得到答案. 【详解】当时，容易判断与的实轴和焦点均不同，即A,B错误. 下面判断渐近线.易知，现在仅讨论时的情况，其它情况同理. 的渐近线为：， 若，则，则渐近线方程为：， 若，则，则渐近线方程为：. 于是，C正确，同时D错误.故选：C. 14．已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的顶点为，依题意，椭圆的焦点为，则椭圆的半焦距为，半短轴长为， 因，则椭圆的离心率为． 15．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.  故选：C. 16（多选）．已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误.故选：BD 题型五、焦点三角形、双曲线定义综合 1.双曲线第一定义：； 右支：；左支：。 2.焦点三角形： 余弦定理：； 面积，不能套用椭圆。 3.几何模型：原点是两焦点中点，经常使用中位线； 4.椭圆 + 双曲线公共点：联立解焦半径。 易错点 1.左右支搞反，定义的加减号写反； 2.直接照搬椭圆焦点三角形面积公式，双曲线无此公式； 3.椭圆双曲线联立，把 “和”“差” 写反。 17．函数与的图象在第一象限的公共点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数分别是双曲线和椭圆的上半部分，结合双曲线和椭圆的定义可得. 【详解】由函数，得，函数是双曲线的上半部分， 双曲线的焦点为，实半轴长为. 由函数，得，函数是椭圆的上半部分， 椭圆的焦点为，长半轴为. 因为公共点在第一象限， 由双曲线的定义得，由椭圆的定义得， 联立两式解得，所以.因此. 18．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即，双曲线的渐近线方程为. 19（多选）．已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（     ） A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 【答案】ACD 【分析】根据求出的关系，根据题意求出直线的方程，利用，求出的坐标.将的坐标代入双曲线方程求解选项B.根据的关系以及双曲线方程求出，进而得到双曲线的渐近线方程.根据双曲线的定义求解选项D. 【详解】双曲线中，右顶点，左焦点. 因为，所以. 结合双曲线关系，得. 选项A.由，顶点在，在第一象限， 可得直线斜率，直线方程为. 设，结合， 所以. 因在右支，则，得，即，，故，正确. 选项B.将代入双曲线方程， 化简得，错误. 选项C.将代入，得， 解得（，舍去负根），则，. 渐近线方程为，正确. 选项D.设右焦点为，由双曲线定义，，则，正确. 题型六、双曲线的最值问题（距离、向量、范围） 1.双曲线上动点到定点距离：设点坐标，代入双曲线方程，转化一元二次 / 二次函数求值域；注意双曲线定义域限制。 2.利用定义转化距离（第二定义）：双曲线上点到焦点距离与到对应准线距离之比等于离心率；，用于距离最值转化。 3.向量数量积最值：坐标代入，消元得到二次函数，注意变量范围。 4.圆与双曲线综合：点在圆上（向量垂直转化直径圆），求两点距离最值。 易错点 1.二次函数求最值，忽略双曲线定义域，直接取顶点； 2.第二定义分不清左、右准线； 3.向量条件不会翻译成圆的轨迹。 20．已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点，因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点，以为直径的圆的圆心为，半径，所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以，所以的最小值为. 21．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中，设直线的方程为，联立，消去得，因，则，即得，则，解得：. 22．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，，所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点，所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为，故选：A. 23．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得，，又，. 设点， 则且. . 的最小值为.故选： 题型七、双曲线与圆综合题型 1.焦点为直径的圆：以为直径的圆方程； 2.圆心在双曲线，圆过顶点、焦点：利用垂直平分线求圆心； 3.圆与渐近线相交：点到直线距离公式，弦长公式； 4.双曲线与圆交点：联立方程，结合双曲线取舍解。 易错点 1.弦长计算，忘记，直接写； 2.联立圆与双曲线方程，得到解不检验，保留增根。 24．已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知求解到渐近线的距离，进而求出弦的长度，再利用已知条件推出的关系，然后求解离心率即可. 【详解】 的右顶点坐标，不妨设渐近线方程为：， 点到直线的距离为：， 因为为圆上两点，所以弦长， 因为，，所以为等边三角形，所以，即，双曲线中，联立，所以离心率. 25．已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由双曲线的渐近线方程得出，，进而得出，再由的周长列出方程即可求解离心率． 【详解】根据题意可得，双曲线的渐近线方程为，则，设， 则， 所以，， 设，则， 则，因为的周长为， 所以， 解得或（舍去），所以的离心率． 26．已知双曲线的渐近线与圆相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径可求出双曲线的离心率的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为，解得， 故双曲线的离心率为. 27（多选）．已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于点（均与点不重合），若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的离心率 D．若的焦距为2，则 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的定义分析选项A.根据圆的性质以及点到直线的距离公式求解选项B.根据三角函数的定义以及范围求解选项C.根据向量数量积以及二次函数的最值求解选项D. 【详解】对于A，若，则应在的右支上，而已知中不在上，故A错误； 对于B，因为为直径，所以，直线的方程为，故，故B正确； 对于C，设的半焦距为，由题可知，在中，，解得，故C正确； 对于D，若焦距为2，因为，，所以. 则， 当时取等号，故D正确. 题型八、双曲线实际应用、旋转变换 1.旋转得到双曲线模型：反比例函数图像是等轴双曲线旋转； 2.单叶双曲面（花瓶、冷却塔）：双曲线绕虚轴旋转；横截面圆半径对应双曲线上；代入坐标求高度。 易错点 1.实物建系，实轴虚轴搞反； 2.旋转双曲线分不清实轴虚轴。 28．将双曲线绕原点O逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得双曲线旋转后的实轴所在直线方程，结合函数的解析式，利用双曲线的性质求的值即可． 【详解】 如图所示，易知直线的倾斜角为，则直线的斜率， 则直线，由，得， 则．由题意可知，函数图象的另一条渐近线为直线， 过点和点分别作直线的垂线分别交直线于点N，M，Q，P， ， ． 29．某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 题型九、直线与双曲线位置关系 1.联立直线与双曲线，得到一元二次方程： 二次项系数为 0：直线与渐近线平行，只有一个交点，不是切线； 二次项不为 0，判别式两个交点；相切；无交点。 2.点差法：处理中点弦；要检验直线是否和双曲线相交。 3.切线性质：双曲线在点切线平分（光学性质）。 易错点 1.看到只有一个交点就判定切线，忽略和渐近线平行的情况； 2.点差法算完中点弦，忘记检验，得到不存在的直线； 3.光学性质看不懂，不会转化角平分线条件。 30．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，过点的直线与y轴交于点M，与E的右支交于点N（异于点A），若，E的渐近线斜率为k，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，即可表示出点的坐标，再根据，从而得到，再利用两点间的斜率公式得到点N横坐标，再根据N在双曲线右支即可得到a，b间的关系，再根据双曲线的渐近线斜率为，进而即可求得的取值范围． 【详解】设，，， 由，则直线的方程为，令，得，所以．因为，所以，即． 又，所以．因为点N在E的右支上，所以，即，又，所以，即．因为E的渐近线斜率，所以，即，解得， 所以的取值范围是．故选：D． 31（多选）．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕.故选：ABD 32（多选）．已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（   ） A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上 C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个 【答案】BCD 【分析】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，对A、B，写出直线方程代入求解即可；对C，求出是的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即可 【详解】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，因此直线即为双曲线在点处的切线 对A，当轴时，不妨设点坐标为 双曲线在点的切线（即角平分线）方程为：， 将原点代入方程得，因此点不在直线l上，故A错误 对B，求得的方程为，，，的方程为， 联立得交点，横坐标为0，故在轴上，B正确 对C，延长交于，因为是角平分线且， 所以是等腰三角形，，是中点， 又是中点，是的中位线， 因此： 即， 故在圆上，C正确 对D，因为直线 即为双曲线在点处的切线，所以直线与双曲线的公共点只有1个，D正确 巩固提升： 1．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.故选：C. 2．已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 该双曲线右焦点为，依题意，点为线段的中点， 取双曲线的一条渐近线，所以. 3．若焦点在轴上的双曲线，其焦距为虚轴长的倍，则下列选项中各点在双曲线的渐近线上的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及双曲线的参数关系得到，进而确定渐近线方程，即可判断. 【详解】由题意，得，所以，即，故， 所以，解得，所以，故渐近线的斜率为，渐近线方程为，所以渐近线经过点.故选：A 4．已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 5．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线即为，则，， 可得，则，又因为双曲线离心率，则． 6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由离心率，求出，可得渐近线方程. 【详解】由题知，，解得，又双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：C. 7．已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线，即，， 由该双曲线的离心率为，得，所以. 8（多选）．已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 【答案】AB 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由A知，，故，，故焦点在x轴上，B正确； C选项，因为，所以，故C的焦距为，C错误； D选项，当，即时，C的渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，D错误. 9（多选）．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】先根据双曲线的焦点坐标结合双曲线基本关系求出参数的值，再逐一验证各选项对应性质是否正确． 【详解】由双曲线的方程，可得，已知一个焦点为，故， 根据双曲线性质，代入得，即， 对于A，双曲线焦距为，A正确； 对于B，双曲线实轴长为，B错误； 对于C，离心率，C正确； 对于D，渐近线方程为，整理得，D正确． 10（多选）．已知双曲线，则下列说法正确的是（   ） A．的范围为 B．时，该双曲线的离心率为 C．时，该双曲线的渐近线方程为 D．使该双曲线的焦距最小 【答案】ABD 【分析】先根据双曲线定义确定参数范围，再代入特定值计算几何性质，最后利用导数研究焦距函数的最值问题. 【详解】方程表示双曲线，需满足与项系数异号，即.解得,因此，选项A正确. 将代入原方程得，整理为标准形式. 此时焦点在轴上，实半轴长，虚半轴长. 半焦距，离心率.因此，选项B正确. 由双曲线标准方程可知，渐近线方程为，即. 这与选项C中的不符.因此，选项C错误. 当时，方程可化为.此时. 设，对求导得. 令，即，因，开方得，解得. 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.故在处取得最小值，即有最小值，焦距也有最小值.因此，选项D正确. 11（多选）．已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由双曲线，得，解得，A正确； 对于B，由，得双曲线的焦距为，为定值，B正确； 对于C，由双曲线为等轴双曲线，得，解得，C正确； 对于D，由双曲线的渐近线方程为，得，解得，D错误. 12（多选）．设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 13（多选）．双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．焦点到双曲线C渐近线的距离为2 C．双曲线与C的渐近线相同 D．双曲线与C的焦点相同 【答案】ACD 【分析】A直接法求离心率；B由双曲线方程写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离；C根据渐近线方程即可判断；D根据双曲线方程确定焦点的位置即可. 【详解】A：因为，，所以，则离心率为，正确； B：因为，一条渐近线为，所以到渐近线的距离，错误； C：它们的渐近线都是，渐近线相同，正确； D：对于双曲线有，双曲线，即与C的焦点都在x轴上，又，所以双曲线与C的焦点相同，正确． 故选：ACD． 14（多选）．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据对称性、直线与曲线的交点、判别式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，曲线，点都满足方程，所以曲线关于原点对称，A选项正确 由消去并化简得， 解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项错误. 由整理得， 令，则有非负根，而其对称轴， 所以，，解得，所以C选项错误.令，则，代入， 化简得，设. 由于的开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， 由解得（负根舍去），所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.故选：AD 15（多选）．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于y轴的直线交双曲线C于A，B两点，若则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．虚半轴长为4 C．离心率为2 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【详解】A选项，由题意得， 又，由双曲线定义可知，故，顶点坐标为，A正确； B选项，中，令得， 故，又，解得，，故虚轴长为，B错误； C选项，，所以，离心率为，C正确； D选项，渐近线方程为，D正确. 16（多选）．已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，可得，则，，，可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确；离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 17（多选）．已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即，所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率，渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 18（多选）．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 【答案】BD 【分析】结合椭圆和双曲线的定义及其性质，根据曲线方程的形式对每一个选项进行逐一判断即可. 【详解】若曲线是椭圆，则满足，此时解得且，或且，故选项A错误． 若曲线是双曲线，则满足时，此时解得，故选项B正确． 当曲线是椭圆时，记该椭圆的离心率为，若，即4，则，当越大，即越大时，越小，椭圆越圆； 若，即，则，当越大，即越大时，越大，椭圆越扁，故选项C错误． 当曲线是双曲线时，记该双曲线的离心率为，则，即，， 当越小，即越小时，越大，所以双曲线的开口越大，故选项D正确．故选：BD． 19（多选）．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】如图， 由题意可知，可得，，，∴，故A正确．由渐近线方程，可得，故B正确． 点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误． ∵，∴，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 20（多选）．已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【答案】ACD 【详解】双曲线，则需满足， 解得，故A正确； 双曲线的标准方程为，则， 故，焦距为，与无关，故B错误； 若点存在，则代入双曲线方程得：，解得，， 存在这样的实数，故C正确；由题意知，即，解得，，，故D正确． 21．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线焦点相同建立方程求出参数即可. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上， 设半焦距为，由双曲线性质得：， 因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即， 由椭圆的性质得：，所以，即，由，解得：. 22．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中，双曲线的一个焦点为可知，则，所以双曲线的渐近线方程为，即. 23．双曲线的焦距为________． 【答案】 【详解】由题可得， ，则，故，因此焦距为. 24．已知双曲线的焦距为6，则此双曲线的离心率为_________． 【答案】 【详解】由题意，，即，则，即，所以双曲线的离心率为. 25．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为，则，得， 则，故该双曲线的焦距为. 26．若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________ 【答案】 【详解】由双曲线方程化为标准方程得：，其中， 则实轴长，虚轴长，焦距， 由焦距是虚轴长的倍，则，平方得：， 即，因为，所以. 27．已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为______；离心率为______． 【答案】 【分析】先由方程表示双曲线可得，再根据焦距可得，进而由双曲线的方程可得渐近线方程及离心率. 【详解】由双曲线：，得，所以. 因为双曲线的焦距为，所以，得，所以双曲线的方程为，因此双曲线的离心率，双曲线的渐近线方程为. 28．已知双曲线，则它的焦距为_______． 【答案】 【详解】双曲线方程，化为标准方程得， 则双曲线为焦点位于x轴的双曲线，且，故双曲线的焦距为. 29．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以，所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为，则有，解得， 所以所求双曲线方程为.故答案为： 30．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为，故答案为：. 31．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即，故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为.故答案为:. 32．已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意得，再结合距离公式，二次函数最值求解即可. 【详解】由题意知，， 令，则，令由于函数在均为单调递增函数，所以函数在上单调递增， 因为，所以的根为，即，所以曲线的方程为， 所以曲线上的点到距离满足： ， 当且仅当时等号成立，所以，即曲线上的点到距离的最小值为 33．若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】对于双曲线，有，，， 所以，设，则，所以，， 故，因为，所以，所以，即的最小值为.    故答案为：. 34．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，则，数形结合分析得，即可得. 【详解】设，则，则或为锐角，如下图， 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意知，，则，解得.故答案为： 35．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 【答案】 【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案. 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点，设，则， 所以，解得，所以，即, 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $