精品解析：云南曲靖市会泽县金钟镇第二中学校2026年秋季学期八年级数学开学学情检测卷

金钟二中2026年秋季学期八年级数学开学学情检测卷 （8月31日 例会试卷） 一、单选题（共30分） 1. 2025年12月某学校组织了以“冬启活力，运动向阳”为主题的冬季运动会，运动会上同学们积极报名参加各项体育项目，在运动场上奋勇拼搏．下面几幅图片是运动会上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2. 如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组数中，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 1，1，3 C. 1，2，3 D. 3，4，5 5. 数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（ ） A. B. C. D. 6. 下列各图中，过直线外的点P画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 1的立方根是 B. 点在x轴上 C. 内错角相等，两直线平行 D. 相等的角是对顶角 9. 在“白昼时长规律探究”的综合实践活动中，某同学绘制了某地八个节气的白昼时长折线统计图，其中白昼时长在12小时及以上的节气有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 12. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 13. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 14. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 若等腰三角形的一个外角是，则底角是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（共8分） 16. 点在轴上，则________． 17. 当x______时,分式有意义. 18. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 19. 以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个二元一次方程的图象．在同一个平面直角坐标系中，画出和的图象．如图，这两个二元一次方程的图象交于点，由图象可知，方程组的解是________． 三、解答题（共62分） 20. 计算： 21. 解答下列各题： （1）解方程组：； （2）解不等式：． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°． (1)求∠DAC的度数； (2)求证：DC＝AB． 23. 某校七年级共有500名学生参加航空航天知识闯关打卡活动，活动采用积分制，积分达到90分及以上的学生可获评“航天小达人”荣誉勋章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对积分成绩进行整理和分析，积分成绩（用整数x表示）共分五组：A．，B．，C．，D．，E．．并绘制了不完整的统计图（如图所示）． （1）直接写出________，这一组对应的扇形圆心角的大小是________度；并补全频数分布直方图． （2）这一组的学生积分是：83，85，86，92，93，95，96，请估计七年级学生获评“航天小达人”勋章的总人数． 24. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中，． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若比的2倍少，求的度数． 25. 某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一 买1台A型机器人，2台B型机器人，共需50万元；买3台A型机器人，4台B型机器人，共需120万元． 素材二 A型机器人每台每天可分拣快递2万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件． 素材三 公司计划购买A、B两种型号智能机器人共15台．要求：购买总费用不超过270万元，每天至少完成22万件快递分拣任务． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答： （1）任务一：求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）任务二：该公司有哪几种购买方案？请写出所有可能的方案． 26. 【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）已知方程组：，则________； 【应用思想】 （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 27. 平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． （1）请直接写出________，________，________； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． （3）如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 附加题． 28. 已知实数x，y满足． （1）因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； （2）已知实数z，k，满足，且．求证：； （3）在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金钟二中2026年秋季学期八年级数学开学学情检测卷 （8月31日 例会试卷） 一、单选题（共30分） 1. 2025年12月某学校组织了以“冬启活力，运动向阳”为主题的冬季运动会，运动会上同学们积极报名参加各项体育项目，在运动场上奋勇拼搏．下面几幅图片是运动会上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图案盖住的点在第二象限，第二象限的点的符号特征为，进行判断即可． 【详解】解：∵图案盖住的点在第二象限，且第二象限的点的符号特征为， ∴“云形”图案盖住的点的坐标可能是． 3. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，先化简各选项，再根据无理数是无限不循环小数的定义判断即可． 【详解】解：选项A，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 选项B，，是整数，属于有理数． 选项C，，是整数，属于有理数． 选项D，是整数，属于有理数． 故选：A． 4. 下列四组数中，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，4 B. 1，1，3 C. 1，2，3 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系．利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小，即两个较小边的和较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．利用三角形三边关系判断即可． 【详解】解：A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； D、，能够组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 6. 下列各图中，过直线外的点P画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外的点P画直线的垂线，三角尺操作正确的只有选项符合题意． 7. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 1的立方根是 B. 点在x轴上 C. 内错角相等，两直线平行 D. 相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立方根概念，平面直角坐标系内点的坐标特征，平行线判定定理和对顶角的概念，只需逐个判断各命题的真假即可求解． 【详解】解：选项A，， 的立方根是，不是，A是假命题； 选项B，轴上点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点在轴上，B是假命题； 选项C，“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，是真命题； 选项D，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等，不是对顶角， D是假命题 故选：C． 9. 在“白昼时长规律探究”的综合实践活动中，某同学绘制了某地八个节气的白昼时长折线统计图，其中白昼时长在12小时及以上的节气有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【详解】 解：由统计图可得，白昼时长在12小时及以上的节气有小暑，大暑，处暑，白露共4个． 10. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂除法，整数指数幂的运算等，关键是熟练运用各运算公式，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，运算错误． 选项B：与不是同类项，不能合并，运算错误． 选项C：()，运算错误． 选项D：，运算正确． 故选：D． 11. 数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 12. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】， 解得， 所以解集为． 故选：D 【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点． 13. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：直线外一点与这条直线上所有点连接的所有线段中，垂线段最短． 14. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】观察方程组系数特点，将两个方程相加后整理即可得到的值，不需要分别求解． 【详解】解：原方程组为， 得 ， 两边同除以得 ． 15. 若等腰三角形的一个外角是，则底角是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的定义和性质，以及等腰三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：若这个是等腰三角形底角的外角，则两个底角都是，这和三角形内角和矛盾，此种情况舍去；所以角是顶角的外角， ∵等腰三角形的两个底角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和， ∴两个底角都是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，注意分类讨论． 二、填空题（共8分） 16. 点在轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，即纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， 可得： ， 解得：． 17. 当x______时,分式有意义. 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x-1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：x-1≠0，解得：x≠1，故答案为x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是通过条件列出不等式求解. 18. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 19. 以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个二元一次方程的图象．在同一个平面直角坐标系中，画出和的图象．如图，这两个二元一次方程的图象交于点，由图象可知，方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程组和对应图象的关系，方程组的解就是两个方程图象的交点坐标，直接可得到方程组的解． 【详解】解：∵和的图象交点为， ∴方程组的解是． 三、解答题（共62分） 20. 计算： 【答案】 ． 【解析】 【分析】先分别依据、立方根定义、绝对值化简法则、乘方符号规则逐项化简原式中的每一项，再计算加减法，最终算出化简结果． 【详解】解：原式， ． 21. 解答下列各题： （1）解方程组：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组； （2）根据不等式的基本性质解一元一次不等式． 【小问1详解】 解， 把①代入②，可得：， 解得：， 把代入①， 可得：， 原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°． (1)求∠DAC的度数； (2)求证：DC＝AB． 【答案】（1）75° （2）∵∠ADC=∠B+∠DAB=30° +45°=75°， ∴∠ADC=∠DAC， ∴AC=DC， ∵AB=AC， ∴AB=CD． 【解析】 【分析】（1）由AB=AC可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC，再利用角的和差可求得∠DAC； （2）由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，从而有AC=DC，即可得到结论． 【详解】（1）∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=30°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠DAB=45°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°； （2）略 【点睛】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的外角性质． 23. 某校七年级共有500名学生参加航空航天知识闯关打卡活动，活动采用积分制，积分达到90分及以上的学生可获评“航天小达人”荣誉勋章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对积分成绩进行整理和分析，积分成绩（用整数x表示）共分五组：A．，B．，C．，D．，E．．并绘制了不完整的统计图（如图所示）． （1）直接写出________，这一组对应的扇形圆心角的大小是________度；并补全频数分布直方图． （2）这一组的学生积分是：83，85，86，92，93，95，96，请估计七年级学生获评“航天小达人”勋章的总人数． 【答案】（1）40，108， （2）175人． 【解析】 【分析】（1）用4除以即可求出m，根据B组的人数占样本的百分比乘以即可求出这一组对应的扇形圆心角的大小，先用样本的总人数减去A,B,C,D各组的人数，然后在图中E组画出小长方形即可求解； （2）用500乘以样本中“航天小达人”所占的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：； ， E组的频数为：， 图形略； 【小问2详解】 解：人 答：七年级学生获评“航天小达人”勋章的总人数约为175人． 24. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中，． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若比的2倍少，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据，得出，最后根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据平行线的性质得出，设，则．从而得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 设，则． 则， 解：， ． 25. 某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一 买1台A型机器人，2台B型机器人，共需50万元；买3台A型机器人，4台B型机器人，共需120万元． 素材二 A型机器人每台每天可分拣快递2万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件． 素材三 公司计划购买A、B两种型号智能机器人共15台．要求：购买总费用不超过270万元，每天至少完成22万件快递分拣任务． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答： （1）任务一：求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）任务二：该公司有哪几种购买方案？请写出所有可能的方案． 【答案】（1）A型号智能机器人的单价为20万元，B型号智能机器人的单价为15万元； （2）一共有3种方案，分别为： 方案1：A型号智能机器人7台，B型号智能机器人8台； 方案2：A型号智能机器人8台，B型号智能机器人7台； 方案3：A型号智能机器人9台，B型号智能机器人6台． 【解析】 【分析】（1）根据素材一列二元一次方程组，解二元一次方程组即可； （2）根据素材二和素材三列一元一次不等式组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A型号智能机器人的单价为x万元，B型号智能机器人的单价为y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A型号智能机器人的单价为20万元，B型号智能机器人的单价为15万元； 【小问2详解】 设购买A型号智能机器人a台，则购买B型号智能机器人台， 根据题意得：， 解得， 为正整数， ，8，9， ∴一共有3种方案，分别为： 方案1：A型号智能机器人7台，B型号智能机器人8台； 方案2：A型号智能机器人8台，B型号智能机器人7台； 方案3：A型号智能机器人9台，B型号智能机器人6台． 【点睛】解二元一次方程组用消元法，一元一次不等式组的解集为一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，熟记不等式的基本性质是解不等式的关键． 26. 【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）已知方程组：，则________； 【应用思想】 （3）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 【答案】（1）， （2） （3）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元 【解析】 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【小问1详解】 解：， 得 ， 得 ， 解得. 【小问2详解】 解：， ①+②+③得， ， 即； 【小问3详解】 解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,根据题意列方程组得， ． ①②得， ， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元． 27. 平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． （1）请直接写出________，________，________； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． （3）如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）8，6，3 （2）存在，秒 （3）， 理由：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点F作，交x轴于点H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴关系为：． 【解析】 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b，c的值，即可得出结论； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）利用平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理及角度的等量代换即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴，，． 【小问2详解】 解：由（1）知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴t的值为2秒． 【小问3详解】 略 附加题． 28. 已知实数x，y满足． （1）因为，所以，在不等式两边同时乘以正数，得________（填“”或“”）； （2）已知实数z，k，满足，且．求证：； （3）在（2）的条件下，当x，y，z，k均为整数时，求x，y，z的值． 【答案】（1） （2）证明：， ， ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得． ， ， 两边同乘正数x，不等号方向不变，得， ； （3），， 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行证明即可； （3）由（2）得，且k，x均为整数，从而得出，即可得出，或，，然后分两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ 在不等式两边同时乘以正数得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得，且k，x均为整数， 为整数， ． ，；，． ①当，时， ， ，即， ，且z，y都是整数， ， ，故此种情况不成立，舍去； ②当，时， ， ，即， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $