第二十七章 反比例函数培优提升专题训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以反比例函数为核心，通过“性质应用-实际建模-教材生长-全国视野”四模块，系统整合函数与几何综合、跨学科应用，提炼待定系数法、数形结合等解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，发展抽象能力与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象和性质|8题|数形结合/面积计算|性质与一次函数/几何综合| |实际问题|3题|建模分析/跨学科应用|实际问题函数建模| |教材难题生长|2母题+2生长题|母题变式/分类讨论|教材母题拓展延伸| |全国视野培优特训|4题|几何综合/方程思想|全国考向综合应用|

第二十七章 反比例函数 培优提升专题1：反比例函数的图象和性质 1.(2026 内蒙古模拟)一次函数y=x-2n+4,.二次函数 反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则n的取值范围是( ) A. n>-1 B. n>2 C. - 1<n<1 D.1<n<2 2.如图，矩形ABCD 的边AD 落在y轴的正半轴上，顶点B 与对角线 BD 的中点 E 均在反比例函数 (x>0)的图象上,则矩形ABCD 的面积为 . 3.(2026榆林期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A,C分别在y轴,x轴上,D 为边AB 的中点，反比例函数 (k为常数,且k≠0,x<0)的图象经过点 D,交边 BC 于点 E,连接 DE.若△BDE 的面积为2,则k的值为 . 4.如图,四边形ABCO 是平行四边形,OA =2,AB =6,点A 在第一象限，点C 在 x 轴的负半轴上，将▱ABCO 绕点A 逆时针旋转得到▱ADEF.点 D 在反比例函数 的图象上，且AD 经过点O，点 F 恰好落在x轴的正半轴上，求k的值. 5.(2026湖北模拟)如图，反比例函数 的图象与一次函数y= mx+n的图象相交于A(a,-1),B(-1,3)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线AB交y轴于点C,点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点 N 作 NM⊥x轴交反比例函数 的图象于点 M,连接CN,OM.若 S四边形COMN>3，求t的取值范围. 6.(2026 河北期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=2x+b分别与x轴、y轴交于点A,B(0,1),且直线l经过双曲线CD: 的左端点 C. (1)求点A 的坐标和m的值； (2)平移直线l到直线l'的位置，使其经过双曲线的右端点 D,交x轴于点 E,求AE 的长. 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B 的坐标为(2 ,2 ),反比例函数 的图象经过AB上的点 D，已知AD=2. (1)求k的值; (2)连接OD,以点O为圆心,OD 长为半径画弧，求图中阴影部分的面积. 8.(2026辽宁期末)如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 P(a，2),与y轴交于点 Q. (1)求a,k的值; (2)直线AB 过点P，与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点 B,AP=PB,连接AQ. ①求△APQ 的面积; ②点M 在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点 M 的坐标. 培优提升专题2：实际问题与反比例函数 1.(2026深圳期末)某空调生产厂的装配车间计划在一段时间内组装一批空调，已知每天组装的数量y(台)与组装的时间x(天)之间的关系如下表： 组装的时间x(天) 30 40 45 50 60 每天组装的数量y(台) 300 225 200 180 150 (1)求y关于x的函数关系式； (2)某商场以每台2 400 元的进货价购进这批空调.调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台.设商场每台空调降价x元. ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元；(用含x的代数式表示) ②该商场平均每天的盈利可能是4 000 元吗?为什么? 2.综合与实践. 问题背景：同学们一定都熟悉这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”它道出了“杠杆原理”的意义和价值.如图1，杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂. 解决问题：如图2，小伟用撬棍撬动一块大石头，已知平衡时,阻力 F₁和阻力臂L₁分别为1600 N和0.5m . (1)①求动力 F 和动力臂L的函数关系式； ②当动力臂为2m时，撬动这块石扫码批改+错题本头高于平衡位置，至少需要的力为 N； (2)若想动力 F 不超过②中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多少? 3.(跨学科融合)(2026 绵阳开学)国家规定，如果驾驶人员血液中每100 毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车；如果血液中每100 毫升的酒精含量大于或等于80 毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤.实验数据显示，一般成人饮用低度白酒0.25 kg后，1.5 小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用正比例函数y=100x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用函数 刻画(如图所示). (1)k= ; (2)求饮用低度白酒0.25 kg后，肝部被严重损伤持续多少时间； (3)假设某驾驶员晚上20：00 在家饮用完低度白酒0.25 kg，第二天早上7：00能否驾车去上班?请通过计算说明理由. 培优提升专题3：教材难题生长题 2025年广东中考省卷中，解答题第18，21，23题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我 扫码批改+错题本们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 教材难题 【例1】【人教9上P73拓广探索】(抽象能力、几何直观、应用意识)已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限. (1)图象的另一支位于哪个象限?常数a的取值范围是什么? (2)在这个函数图象上任取点. 和 如果 ，那么x₁与x₂有怎样的大小关系? 解题思路：(1)根据反比例函数图象的对称性和图象性质求解；(2)未确定点所在象限，因此要分类讨论：分A，B在同一象限和不在同一象限. 难题生长 1.如图，一次函数y=x+1与反比例函数 的图象相交于点A(2，3)和点 B. (1)求k的值及反比例函数的解析式； (2)过点B作 BC⊥x轴于 C,连接AC,求 (3)若点 在反比例函数的图象上，且 试比较y₁与y₂的大小. 教材难题 【例2】【人教9上P81综合运用】(运算能力、模型观念、应用意识)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示. (1)写出电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围?解题思路：(1)利用待定系数法求解析式；(2)将I≤10代入解析式即可确定电阻的取值范围. 难题生长 2.(2026宁夏一模)【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值 亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间的关系式为 通过实验得出如下数据： R/Ω 1 2 a 4 6 I/A b 3 2.4 2 1.5 (1)【计算】a= ,b= ; (2)【探究】根据以上实验，构建出函数 结合表格信息，探究函数 的图象与性质. ①在平面直角坐标系中画出函数 的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ； (3)【拓展】结合(2)中的函数图象分析，当x≥0时， 的解集为 . 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.(2026 阜阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=x+m与反比例函数 的图象交于A，B两点，与x轴相交于点 C，已知点A，B的坐标分别为(3,1)和(-1,n). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式 的解集； (3)点P 为反比例函数 图象上的任意一点，若 求点 P 的坐标. 2.(2026 汕尾期末改编)综合与实践.扫码批改+错题本根据以下素材，探索并完成任务. 素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为36m的墙，用篱笆围成一个面积为 的矩形种植基地ABCD，边 AD 的长不超过墙的长度.设AB =x m,AD=ym. 素材2 现有80 m长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围(其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计). 任务1 (1)求y关于x的函数解析式； 任务2 (2)若塑料薄膜用了74 m,求AB 的长; 任务3 (3)若x，y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案. 3.(2026北京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB 为直角三角形,AB⊥OB,点A 在第一象限,点B在x轴上,C 为斜边OA上一点且OB =BC,过点C 作 DC⊥BC(点D 在直线AB 的右侧),已知AB=CD，点D 在反比例函数 的图象上，反比例函数 的图象过点A. (1)四边形AOBD 的形状是 ; (2)求k的值; (3)取BD的中点E，求证：直线AE 与反比例函数 的图象仅有一个交点A. 4.(2026 贵州模拟)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图1)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O 点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆 B 处固定300 N 的物体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A 与点O 的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F 与l有一定的关系，记录了拉力的大小F 与l的变化，如表： 点A 与点O 的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a (1)表格中a的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图2 所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当OA 的长增大时，判断拉力 F 是增大还是减小?请说明理由. 第二十七章 反比例函数 培优提升专题1：反比例函数的图象和性质 1. C 2.8 3.-8 4.解:由题意得OA=AF=2,∴∠AFO=∠AOF, ∵AB∥OF,∠BAO=∠OAF, ∴∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF, ∴∠BAO=∠AOF=60°,..∠DOC=60°, ··OA=2,AD=AB=6,∴OD=4, 如图,过点D作DM⊥x轴于点 M, ∴OM=2,. ∵点D在反比例函数 的图象上， 解得 5.解:(1)∵反比例函数 的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,-1),B(-1,3)两点, ∴k=-1×3=a×(-1),∴k=-3,a=3, ∴点A(3，-1)，反比例函数的解析式为 由题意得 解得 ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB交y轴于点 C,∴点C(0,2), 6.解:(1)∵点B(0,1)在直线y=2x+b的图象上,∴1=0+b,即b=1,∴直线l的解析式为y=2x+1,当y=0时,2x+1=0,解得 ∵直线l经过双曲线 的左端点C， ∴当x=1时,y=2x+1=2x1+1=3, ∴C(1,3), 即m=3. (2)∵m=3，∴反比例函数的解析式为 当x=3时,,y=\frac{3}{x}=\frac{3}{3}=1,∴D(3,1), ∵平移直线y=2x+1到直线l', ∴设直线l'的解析式为y=2x+t, ∵直线l'经过点D(3,1), ∴当x=3时,y=2×3+t=1,∴t=-5, ∴直线l'的解析式为y=2x-5, ∴当y=0时,2x-5=0,解得x=,∴E(,0), 7.解:(1)∵B(2\sqrt{3},2\sqrt{2}),点D在AB上,AD=2, (2)如图，设圆弧与CB交于点E，连接OE，作EF⊥x轴于点F,则EF=AB=2\sqrt{2},CE=OF, ∴∠DOA=30°. OE=OD=4, ∴EF=OF,∴∠EOF=45°, ∴∠EOD=∠EOF-∠DOA=15°, 又 ∴图中阴影部分的面积： 8.解:(1)把点P(a,2)代入 得a= -2,把点 P(-2,2)代入 得k=-4. (2)①∵k=-4, 设B的坐标为(b,0),点A 的坐标为(t,h), ∵AP=PB,P(-2,2),∴h=4, 把A(t,4)代入 得t=-1,∴点A(-1,4),∵一次函数 的图象与y轴交于点Q，∴点Q 的坐标为(0,1), 如图,过点A 作AH∥y轴,交PQ 于点H, 则点H 的坐标为 ②设点 ∵P(-2,2),Q(0,1),点M,N,P,Q构成平行四边形，当MN和PQ 为对角线时 ∴点M 的坐标为 当MP 和NQ为对角线时， ∴m=4,又x<0,∴m=4不符合题意,舍去; 当MQ和NP 为对角线时， ∴m=-4,∴点M 的坐标为( -4,1). 综上所述，点M 的坐标为 或(-4,1). 培优提升专题2：实际问题与反比例函数 1.解:(1)∵30×300=40×225=45×200=50×180=60×150=9000, ∴y是x的反比例函数.设y= kx(k≠0), 把x=30,y=300代入得 解得k=9000, ∴y关于x的函数关系式为 ②该商场平均每天的盈利不可能是4000元.理由如下： 依题意得 整理得 ∴该方程没有实数根， ∴该商场平均每天的盈利不可能是4000元. 2.解:(1)①由题意得F·L=1600×0.5,即 ②400 (2)当F=200 N时,即 解得L=4(m),4-2=2(m). 答：动力臂L至少要加长2m. 3.解:(1)225 (2)1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用正比例函数y=100x刻画， 则100x=80,，解得 1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用函数 (k>0)刻画,则 解得 ∴肝部被严重损伤持续 小时. (3)当x=11时, ∴第二天不能驾车去上班. 培优提升专题3：教材难题生长题 【例1】解:(1)∵反比例函数 的图象的一支位于第一象限， ∴图象的另一支位于第三象限，且 解得 ∴a的取值范围为 (2)由(1)可知该反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， 当A，B两点在同一象限内时， 或 当A，B两点不在同一象限内时， 点A 在第一象限，点B 在第三象限， 1.解:(1)∵反比例函数 的图象经过点A(2,3), 解得k=-1,∴反比例函数的解析式为 (2)联立方程得解得 或 ∴点B的坐标为(-3,-2),∴BC=2, (3)当 时， 当 时， 当 时， 【例2】解：(1)由电流I是电阻R的反比例函数，设 ∵图象经过((9,4), 解得k=36, (2)∵1≤10,, ∴R≥3.6, 即用电器可变电阻应控制在3.6Ω及以上的范围. 2.(1)3 4 (2)①图略 ②不断减小 (3)x≥4或x=0 培优提升专题4：全国视野培优特训 1.解:(1)∵直线AB:y=x+m过点A(3,1), ∴1=3+m,∴m=-2, ∴一次函数的解析式为y=x-2， ··反比例函数 的图象过点A(3,1),. k=3×1=3, ∴反比例函数的解析式为 (2)把B(-1,n)代入y=x-2,得n=-1-2=-3,∴点B的坐标为(-1,-3), 观察图象，不等式 的解集为-1<x<0或x>3. (3)把y=0代入y=x-2得x=2, 即点C的坐标为C(2,0),∴ 当点 P 的纵坐标为3时，则 解得x=1,当点P 的纵坐标为-3时，则 解得x=-1,.点P的坐标为(1,3)或(-1,-3). 2.解:(1)依题意得 y≤36,∴ 解得 故y关于x的函数解析式为 (2)由题意得2x+y=74,即2x+600x=74,解得 经检验， 是原分式方程的解， x₁=12时,BC=74-12×2=50m>36m,不符合题意,舍去;x₂=25时,BC=74-25×2=24m<36m,符合题意,故AB的长为25m. (3)∵x,y都是整数,,x≥16且y=600,∴x可以为20,24,25,30,40,50,60,75,100,120,150,200,300,600, 又∵2x+y≤80,即 ∴x可以为20,24,25,30,∴共有四种围建方案, 方案一:AB=20m,BC=30m,此时塑料薄膜用料为70m,方案二:AB=24m,BC=25m,此时塑料薄膜用料为73m,方案三:AB=25m,BC=24m,此时塑料薄膜用料为74m,方案四:AB=30m,BC=20m,此时塑料薄膜用料为80m,∴塑料薄膜用料最省的围建方案为AB=20m,BC=30 m. 3.(1)平行四边形 (2)解:∵四边形AOBD 是平行四边形, ∴AD=OB,AD∥OB, 如图，过点D作DF⊥x轴于点 F，延长DA交y轴于点G， ∵AD∥OB,∴∠OGD=180°-∠FOG=90°, ∵∠DFO=90°,∠FOG=90°,∠OGD=90°, ∴四边形OFDG是矩形， 同理,可证四边形OBAG是矩形,∴AG=OB, ∵点D 在反比例函数 的图象上， ∴矩形OFDG的面积是2, ∵GD=OF,AD=OB,∴AG=BF,∴OB=BF, ∴矩形OBAG的面积是1. ∵反比例函数 的图象过点A,∴k=1. (3)证明：依题意，反比例函数 的图象过点A. 设:A(a,),则B(a,0), ∵四边形AOBD 是平行四边形， ∴AD=OB,AD∥OB,∴点D 的纵坐标为∵点D在反比例函数 的图象上， 把 代入 得 解得 ∵点E是BD的中点， 设直线AE的解析式为y= mx+b(m≠0),代入点A,E 的坐标得 解得 ∴ 直线AE 的解析式为 联立方程得 整理得 ∴直线AE与反比例函数 的图象仅有一个交点， ∵反比例函数 的图象过点A， ∴直线AE与反比例函数 的图象仅有一个交点A. 4.解:(1)100 (2)画出F与l的函数图象如图所示， (3)当OA 的长增大时，拉力F减小，理由如下： ∵F，l都是正数，∴这条曲线是反比例函数的一支， ∵FL=300,∴其函数表达式为 ∵k>0，∴在第一象限内，F随l的增大而减小，即当OA 的长增大时，拉力 F 减小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $