第二十七章《反比例函数》单元检测提高卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心内容，通过蓄电池电阻、饮水机水温等实际情境与双曲线冷却塔、平行四边形面积等几何综合题，考查抽象能力、模型意识与创新思维，适配九年级单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|定义、图象性质、实际应用|第4题结合投影仪使用时间与天数考查反比例关系判断，基础与辨析并重| |填空题|4/8|函数平移、面积计算|第17题双曲线上两点与x轴构成三角形面积，融合几何直观与运算能力| |解答题|8/62|函数与几何综合、新定义|第27题“反点”概念探究，第26题饮水机水温周期变化模型，突出创新应用与逻辑推理|

人教版九年级上册数学第二十七章单元检测卷 反比例函数（提高卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A.         B. C.            D.（为任意实数） 2.反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ） A.             B.图象位于第二、四象限 C.当时，随的增大而增大   D.当时，随的增大而减小 3.若反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A.           B. C.           D. 4.下列问题中的两个量x、y成反比例的是（　　） A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元） C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y 5.已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A.         B. C.         D. 6.在同一直角坐标系中，函数与（）的图象大致是（ ） A.   B.   C.   D. 7.对于反比例函数（），下列说法： ①若，则随的增大而减小； ②若点和都在图象上，且，则； ③若，则图象关于直线对称； ④图象与坐标轴没有交点． 其中正确说法的个数是（ ） A.          B. C.          D. 8.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A.        B. C.且     D.且 9.已知点在反比例函数的图象上，且、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A.           B. C.         D. 10.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，BC⊥x轴于点C，则四边形AOCB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 第10题图 第12题图 11.已知函数的图象为曲线，将曲线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到新曲线，则新曲线的函数解析式为（ ） A.       B. C.       D. 12.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．I与R的关系式为 B．当R＝24时， C．当I＞6时，R可能为6.5 D．当R＞12时，0＜I＜3 13.已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，且、满足，则的值为（ ） A.           B. C.或         D.无法确定 14.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形．四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB＝88m，BC＝20m，上口宽EF＝16m，则整个冷却塔高度为（　　）米． A．100 B．110 C．115 D．120 第14题图 第15题图 15.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A在函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝7，则k的值为（　　） A．4 B．8 C．10 D．14 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.若函数是反比例函数，则k的值为 　 　． 17.如图，点A，B分别在和的图象上，且AB∥x轴，点P在x轴上，若△PAB的面积为7，则k＝　 　． 第17题图 第19题图 18.已知、是反比例函数图象上的两点，且，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点F，与BC相交于点E，若点B的坐标为（﹣3，2），四边形BEOF的面积是4，则k的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题6分）已知反比例函数（）的图象经过点和． （1）求和的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 21.（本题7分）已知y＝y1+y2，y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数．且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣2时，．求y关于x的函数关系式． 22.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求和的值； （2）点是反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 23.（本题7分）如图，点A在函数（）的图象上，点B在函数（）的图象上，ABx轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为4，求k的值． 24.（本题8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）若点N为y轴上一点，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标． 25.（本题8分）某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图象，回答下列问题： （1）当时，求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； （2）如果某人睡眠了t（1＜t＜3）小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值． 26.（本题8分）如图是某饮水机通电开机后，水温y（℃）与开机时间x（分）之间的关系图象，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间x（分）成反比例，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述过程． （1）当时，求水温y（℃）关于开机时间x（分）的一次函数解析式． （2）求t的值． （3）上午8：00（水温20℃），饮水机通电后到中午12：30，水温共有几次达到100℃？ 27.（本题10分）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数y＝x﹣2图象的“反点”．可以看成是函数y＝x﹣2图象与函数y＝﹣x图象的交点坐标，联立方程组，即可求解． （1）若一次函数y＝2x+b的图象上“反点”坐标为（﹣3，3），则b的值为　 　 ． （2）设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段AB的长度，求k的值． （3）若二次函数y＝x2﹣5x+c的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若M（t﹣1，y1），N（t，y2）是二次函数y＝x2﹣5x+c的图象上的两点，求y1+y2的最小值． 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.【答案】C 解析：反比例函数的定义是（，）. A选项分母不是，是复合函数，不是反比例函数； B选项分母是，不是反比例函数； C选项符合的形式，，是反比例函数； D选项即，但题目说“为任意实数”，包含的情况，此时不是反比例函数，故表述不严谨，不是反比例函数. 易错点：反比例函数必须满足. 2.【答案】D 解析：反比例函数经过点，则，故A正确. ，图象位于第二、四象限，故B正确. 当时，图象在第四象限，随的增大而增大，故C正确. 当时，图象在第二象限，随的增大而增大（而不是减小），故D错误. 易错点：时，在每个象限内随的增大而增大. 3.【答案】A 解析：反比例函数的图象在第一、三象限，则，解得. 易错点：图象在第一、三象限. 4.【答案】A 解析：判断两个量是否成反比例，关键看它们的乘积是否为定值. A选项：（定值），，成反比例关系，正确. B选项：单价一定，，成正比例，不是反比例. C选项：（和为定值），是一次函数关系，不是反比例. D选项：周长，是一次函数关系，不是反比例. 5.【答案】A 解析：，，图象在第二、四象限. 点：； 点：； 点：. 所以，，，即，选A. 技巧：也可利用图象法——时，点在一、三象限的值大于点在二、四象限的值. 6.【答案】B 解析：分情况讨论和： 当时，与轴交于即负半轴，与轴交于，图象过一、三、四象限；图象在一、三象限.B选项符合. 当时，与轴交于即正半轴，图象在二、四象限.可排除其他选项. 7.【答案】B 解析：逐项判断： ①错误：当时，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，但跨象限时不成立，未说明“在每个象限内”，说法错误. ②错误：若，在第二象限（），在第四象限（），则，即，与矛盾.若，在第三象限（），在第一象限（），则，即，成立，故.所以说法②错误. ③正确：当时，的图象关于直线和对称. ④正确：反比例函数图象与坐标轴无限接近但永不相交. 综上，正确说法的个数是2（③④），选B. 8.【答案】C 解析：方程化为（）. 有两个不相等的实数根，则，解得. 又因为，代入原方程检验：当时方程无意义，无需额外排除. 同时（反比例函数要求），所以且，选C. 9.【答案】B 解析：点在上，则. 是方程的两个根，由韦达定理：，. 所以，选B. 10.【答案】D 利用的几何意义求解. 延长交轴于点，则, . 选D. D 11.【答案】A 解析：函数平移遵循"左加右减，上加下减". 向右平移1个单位→； 再向上平移2个单位→，选A. 12.【答案】C 解析：由图象可知，点在反比例函数图象上，则，，故，A正确. 当时，，B正确. 当时，，即，不可能为，C错误. 当时，，且，故，D正确. 13.【答案】B 解析：联立，交点满足，且. 由，代入： . 解得或. 当时，，； 当时，，. 两个交点算出的均为，故，选B. 14.【答案】B 解析：建立坐标系，m，中点为原点，则，. m，则，. 上口宽m，则，（对称性）. 设所在反比例函数为（），在图象上，则. 所以，在图象上，. 故冷却塔高度为m，选B. 15.【答案】B 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB＝CD， ∴S△AOB＝S▱ABCD， 设S△ABE＝a， ∵若S△BOE＝3，S四边形AECD＝7， ∴， ∴a＝1， ∴， ∴k＝8． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.【答案】 解析：反比例函数的一般形式为（）. 由是反比例函数，得且. ，，又，即，故. 17.【答案】 解析：设与轴交于点，轴，设（），（），且. ，在轴上，的面积. 由得，代入可解得. 18.【答案】①③ 解析：，，图象在第一、三象限. ，两点都在第三象限，随的增大而减小，故，①正确，②错误. ，，故，③正确. ④错误，举反例，取，取所以，，④错误. 故正确结论的序号为①③. 19.【答案】 解析：由题知， ∵四边形OABC是矩形且点E和点F在反比例函数的图象上， ∴S△COE＝S△AOF＝， ∵点B坐标为（﹣3，2）， ∴矩形OABC的面积为3×2＝6， ∴四边形BEOF的面积可表示为：， 则6+k＝4， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题6分） 解：（1）反比例函数经过点， 则，反比例函数解析式为. 又经过点，则，解得. ，. （2）点不在该反比例函数图象上. 理由：当时，，故点不在图象上. 21.（本题7分） 解：设（），（）， 则. 由题意得： 由①得，代入②： 两边乘以2：，，. 则. . 22.（本题8分） 解：（1）直线经过点，则. 在反比例函数上，则. ，. （2）令，则，得，故. 设（）. 过点作轴，交直线于点， 点纵坐标为，代入得， 所以. 情况1： 两边同乘： 解得正根：， 此时， 对应. 情况2： 两边同乘： 解得正根：， 此时， 对应. ∴点的坐标为和. 23.（本题7分） 解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OCAB， ∴S△OAB＝S△ABC＝4， ∴4． ∴k＝±6． ∵k＜0， ∴k＝﹣6． 故答案为：k＝﹣6． 24.（本题8分） 解：（1）反比例函数经过点，则. 反比例函数解析式为. 点在上，，. 一次函数经过、， ，解得，. 一次函数解析式为. （2）即. 由图象可得，的取值范围为或. （3）一次函数与轴交于点，则. 设，则. . ，或. 点坐标为或. 25.（本题8分） 解：（1）当时，设，图象过点，则，. 当时，设，图象过点和， ，解得，，. （2）某人先睡眠小时（），此时在范围内，疲劳系数. 再连续睡眠3小时，总睡眠时间为小时. ，则，在范围内，疲劳系数. 疲劳系数减少了3，即， ，，. 两边乘以：. 解得. 不符合题意，舍去. ∴的值是2. 26.（本题8分） 解：（1）当时，水温从C加热到C，是一次函数. 设，过点和， ，解得，. （）. （2）当时，水温开始下降，与成反比例，设. 经过点，则，. 当水温降至C时，，. . （3）一个完整周期：从C加热到C需8分钟，再从C降至C需分钟，共分钟. 上午8:00到中午12:30共小时=分钟. 第1次达到C在分钟时（8:08）； 之后每分钟一个周期，第次达到C的时间为分钟. 由，得，. 共有7次达到C（分别在8:08、8:48、9:28、10:08、10:48、11:28、12:08）. 27.（本题10分） 解：（1）【答案】9 反点坐标为，代入： ，，. （2）反比例函数（）图象上的“反点”满足且. 联立得，，. 两个反点分别为，. . 由题意，则，，，. （3）①二次函数的“反点”满足且. 联立得，. 有且只有一个“反点”，则方程有两个相等实数根： ，. ②由①得，二次函数为. ，： ， . . 当时，取得最小值. 第页 共页 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $