第二十六章 二次函数培优提升专题训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数为核心，构建“概念-推理-应用-拓展”四维训练体系，融合教材母题变式与全国视野真题，突出代数推理与几何直观的综合应用，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象性质|5题（含动态几何）|坐标法求最值、对称轴性质应用|从顶点/交点坐标到动态面积计算| |代数推理|4题（含证明题）|判别式分析、对称性质推理|函数单调性与不等式证明结合| |方程关系|5题（含数形结合）|函数图象解不等式、根的分布判断|二次函数与一元二次方程互化| |实际应用|2题（跳绳/跳水模型）|坐标系建模、最值求解|实际问题抽象为二次函数模型| |教材拓展|2例（母题变式）|难题生长法、变式拓展技巧|从教材基础到综合应用延伸| |全国特训|4题（跨地区模拟）|分类讨论、辅助线构造|多知识点综合与创新题型突破|

第二十六章 二次函数 培优提升专题1：二次函数的图象和性质 1.(2026安庆模拟)关于x 的二次函数 的图象经过点(0，3)，对称轴在y轴的右侧，则二次函数 有( ) A.最大值2 B.最小值2 C.最大值-1 D.最小值-1 2.(2026安徽一模)二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①abc>0;②2a-b =0;③3a+c<0;④对于任意实数m,都有 m(am +b)≤a+b;⑤方程 有两个异号的实数根.其中正确的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3.(2026佛山模拟)如图,点A,B为一次函数y= -x+5的图象与二次函数 的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4.点P 为二次函数y 图象上的动点，且位于直线AB 的下方,连接PA,PB. (1)求b,c的值; (2)求△ABP 的面积的最大值. 4.如图,已知▱ABCD 的顶点A 的坐标为(2,6),点 B在y轴上,且AD∥BC∥x轴,过B,C,D三点的抛物线的顶点坐标为(2，2)，求抛物线的函数解析式. 5.如图，抛物线 与x轴交于A，B 两点,与y轴交于点 C,点A 的坐标为( -1,0),点 B的坐标为(3,0). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)点P 是直线BC 上方抛物线上一个动点，过点 P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P 作y轴的垂线，垂足为点 E，请探究2PD +PE 是否有最大值?若有最大值，请求出最大值及此时点 P 的坐标；若没有最大值，请说明理由； (3)点M 为该抛物线上的点,当∠MCB =45°时,请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标. 培优提升专题2：二次函数与代数推理 1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 (a>0),直线 若抛物线与直线只有一个交点，将直线向上平移t个单位长度，与抛物线两个交点的横坐标分别为 当x<x₁ 时,y₁随x的增大而减小，求t的最小整数值. 2.(2026 浙江模拟)已知二次函数 (1)若函数图象经过点(2,5), ①该二次函数的解析式为 ； ②若将平面内一点A(1，n)向左平移3m(m>0)个单位长度，则到达图象上的点 B；若将点A 向右平移m(m>0)个单位长度，则到达图象上的点 C，求点 C的坐标； (2) 设点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)是该函数图象上的两点，且 求证： 3.(2026 湖北模拟)在平面直角坐标扫码批改+错题本系中，点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物线 上.若对于 都有 ，求a的取值范围. 4.规定：对于二次函数 我们把它的图象与x轴交点的横坐标称为二次函数 + bx+c的零点.已知二次函数 有两个零点 (1)请用含x₁，x₂的代数式表示二次函数 +c的最小值； (2)已知二次函数 的图象经过点(1,m),且 求证:0<m<1. 培优提升专题3：二次函数与一元二次方程 1.已知二次函数y=(x-1)(x-2),若关于x的方程(x-1)(x-2)=m(m<0)的实数根为α，β，且α<β，则下列不等式正确的是( ) A.α<1,β<2 C.1<α<2<β 2.(2026新疆模拟改编)如图，抛物线 =0(a≠0)的顶点为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论中: ①abc>0; ②若抛物线与x轴的另一个交点为(k，0)，则-2<k<-1; ③c-a=n; 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，抛物线 与直线 交于A,B 两点. (1)求A,B两点的坐标; (2)当x取何值时， (3)利用图象解不等式 4.(代数推理)(2026云南模拟)在 扫码批改+错题本平面直角坐标系中，设函数 (a,b是常数). (1)若b=a+4,求证:函数 的图象与x轴总有公共点； (2)若二次函数 的图象和一次函数y=2ax+4b都经过点(3,m),求证: 5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,n),B(5,n)是抛物线 上的两点. (1)m= ; (2)如果该抛物线与x轴交于点 C，D(点 C 在点 D的右侧),且CD=4,四边形ABCD 的面积是25,求这个抛物线的解析式. 培优提升专题4：实际问题与二次函数 1.(2026 遵义一模)综合运用. 为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线 的部分图象.以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为 米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶. 【阅读理解】(1)求图中抛物线的解析式(不需要求自变量取值范围)； 【问题解决】(2)体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗?说明理由； (3)若多人进入跳绳区齐跳(排成1列)，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳. 2.(2026 广西期末)巴黎奥运会跳水 扫码批改+错题本女子10 米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌.如图所示，建立平面直角坐标系xOy.如果她从点A(4，10)起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系式 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x(m) 0 4 h 5 5.5 竖直高度y(m) 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； (2)在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C 动作(向后翻腾三周半抱膝)，从她起跳后到达最高点 B 开始计时，设点 B 到水面的距离为c，则她到水面的距离y(m)与时间t(s)之间近似满足 且她在达到最高点后需要1.5s的时间才能完成207C 动作.若此次跳水她的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足 10(a<0)，求她在达到最高点后能顺利完成207C动作的a的取值范围. 培优提升专题5：教材难题生长题 2025年广东中考省卷中，解答题第18，21，23 题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 【例1】(人教9上P50拓广探索)(运算能力、几何直观、应用意识)画出函数 的图象，利用图象回答： (1)方程: 的解是什么? (2)x取什么值时，函数值大于0? (3)x取什么值时，函数值小于0? 解题思路：(1)根据函数图象与x轴的交点，可确定方程： 的解;(2)(3)当 (或 时，图象在x轴的上方(或在x轴的下方)，由此确定x的取值范围. 难题生长 1.已知抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),其对称轴与x轴交于点D，E为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)作出该函数的图象并回答： ①该抛物线的对称轴为直线 ； ②该函数的最大值为 ； (3)①若 则x= ; 若 无实数根，则t的取值范围是 ； ②若 求x的取值范围； ③若 求x的取值范围. 教材难题 【例2】【人教9上P55拓广探索)(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)一块三角形材料如图所示，∠A=30°,∠C=90°,AB=12 cm.用这块材料剪出一个矩形 CDEF,其中,点D,E,F分别在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形 CDEF 的面积最大.点E 应选在何处? 解题思路：利用30°所对的直角边等于斜边的一半表示出BC，进面利用勾股定理表示出AC，由AC-AF表示出CF，根据CF与EF 的乘积列出二次函数的解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值以及此时AE 的值即可. 难题生长 2.综合运用. 如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,点E,F,G,H分别为各边上的动点,且AE=BF=CG=DH=x. (1)求证:EH=FG; (2)求四边形 EFGH的面积S 的最小值，并求出此时x的值； (3)当点E 从点A 运动到点 B 时，点F 也随之运动，请直接写EF的中点P 的运动路径长. 培优提升专题6：全国视野培优特训 1.(2026 河北模拟)如图1，水平地面 BD上的两根等高立柱AB，CD 之间悬挂一根近似看成抛物线y= 的电缆. (1)写出立柱AB 的高度，并求电缆最低点到地面BD的距离； (2)如图2，为保障用电安全，需要设置一根立柱MN撑起电缆. ①若在离AB 的4m 处设置立柱MN，使立柱左侧的抛物线(A，M之间的部分)的最低点离立柱MN的距离为1m，离地面BD的距离为1.8m，求立柱MN的高度； ②将立柱MN左右来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为 MN在抛物线对称轴右侧.当抛物线最低点到地面 BD 的距离为0.5m时，请直接写出b的值. 2.(2026泉州模拟)已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,其中A(-1,0),B(3,0). (1)二次函数的解析式为 ； (2)若P是二次函数图象上一点，且点 P 在 y轴右侧,直线 PC 与 x 轴交于点 D,△PAC 的面积是△PBC 的面积的2倍,求点 D 的坐标; (3)点F 在二次函数图象的对称轴上，且位于顶点E的上方,直线 AE 与直线 BF 交于点 G,GH∥y轴交二次函数图象于点H，求证： 3.(2026江苏期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 经过点A(3,0),与y轴交于点 B，且关于直线x=1对称. (1)求该抛物线的解析式； (2)当-1≤x≤t时,y的取值范围是0≤y≤2t-1,求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C 作x轴的垂线交直线AB 于点D，在y轴上是否存在点 E，使得以 B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 4.(2026 长沙一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的顶点坐标为(2,-8). (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1,点 E 为线段BC上一点,过点E 作EM∥y轴,交x轴于点 M,当AE平分∠CEM时,求直线AE 的解析式； (3)如图2，点F 是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF 分别与y轴、直线BC交于点D，E，连接CF.若△CAD,△CDE,△CEF 的面积分别为 S₁,S₂,S₃,且满足 求点 F 的坐标. 第二十六章 二次函数 培优提升专题1：二次函数的图象和性质 1. B 2. D 3.解:(1)当x=0时,y=-x+5=5; 当x=4时,y=-x+5=1,则A(0,5),B(4,1), 则有 解得 (2)由(1)可得 如图,作PE∥OA,交AB于点E, 设 则E(m,-m+5), 当m=2时，△ABP的面积最大，最大值为8. 4.解:∵过B,C,D三点的抛物线的顶点坐标为(2,2),∴点C的横坐标为4,∴BC=4. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=4. ∵A(2,6),∴D(6,6). 设抛物线的解析式为 ∵点D在抛物线上， 解得 ∴抛物线的解析式为 5.解:(1)∵抛物线 与x轴交于A，B两点，点A 的坐标为( -1,0),点B 的坐标为(3,0), (2)当x=0时, ∴C(0,2), 设直线 BC 的解析式为y= kx+2, 把点B的坐标代入得3k+2=0，解得 ∴直线BC的解析式为 设 则D(x,), +5x, 当 时,2PD+PE有最大值 此时点 (3)点M 的坐标为(）,或（，-） (提示：如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK=∠BCT=45°,CK,CT与抛物线的另一个交点即为点 M,过点T作x轴的平行线交y轴于点Q，过点B作BG⊥TQ于点G，则OB=GQ=3,设TQ=GB =m,则(CQ=TG=3-m,求解T(m,m-1),进一步求解直线CT的解析式为y=-5x+2,直线CK 的解析式为 再求解函数的交点坐标即可) 培优提升专题2：二次函数与代数推理 1.解：∵抛物线与直线 只有一个交点， ∴方程 有两个相等的实数根， 整理得 由直线 向上平移t个单位长度得到直线 令 整理得 由求根公式可得 ∵4at>0,且a>0,∴t>0, ∵当 时,y₁随x增大而减小,a>0, ∴t的最小整数值是1. 2.(1)解: ②由题意可知点B(1-3m,n),C(1+m,n), ∵点B，C是二次函数 图象上的点， 点B，C关于对称轴直线 对称， 解得m=2,∴点C(3,n), 把x=3代入 得n=9+6-3=12,∴点C(3,12). (2)证明: 是二次函数 图象上的两点， 3.解：抛物线 的对称轴为直线x= ∵点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂);在抛物线 上 .. B(x₂,y₂)在对称轴的右侧, .. B(x₂,y₂)关于对称轴的对称点为(a-3,y₂), 对于 都有 ①当a>0时, 且 ,即0<a≤1; ②当a<0|时， 或 即a≤-5. 综上,a的取值范围是0<a≤1或a≤-5. 4.(1)解：由题意可得 ∴当 时，二次函数 的最小值为 (2)证明:令y=0,则 当x=1时, 即0<m<1. 培优提升专题3：二次函数与一元二次方程 1. B 2. C 3.解：(1)由题意可得 解得 当x=1时,y=4,当x=-3时,y=-12,所以点A 的坐标是(1,4),点B 的坐标是(-3,-12). (2)由图象可知,当-3<x<1时, (3)由 解得 所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),由图象可知不等式 的解集为-1≤x≤3. 4.证明:(1)若b=a+4, 当a=0时，函数为y=4x+2, 此时函数 的图象与x轴的交点为( 当a≠0时，此时函数为 又 ∴此时函数 的图象与x轴有两个交点. 综上，函数 的图象与x轴总有公共点. (2)∵二次函数 的图象和直线y=2ax+4b都经过点(3,m), ∴9a+3b+2=6a+4b,即b=3a+2. 5.解:(1)2 (2)由(1)可得，抛物线的解析式为 对称轴为直线x=2, ∵该抛物线与x轴交于点C，D， ∴点C,D关于直线x=2对称, ∵CD=4,∴D(0,0),C(4,0). ∵A(-1,n),B(5,n)且a>0,∴n>0,AB=6,AB∥CD. ∵四边形ABCD 的面积是25, 解得n=5,∴A(-1,5). 将1D(0,0),A(-1,5)代入 得解得 ∴这个抛物线的解析式为 培优提升专题4：实际问题与二次函数 1.解：(1)∵摇绳的两人之间间距为6米，∴抛物线的对称轴为直线x=3. 由题意得抛物线经过点 解得 ∴图中抛物线的解析式为 (2)∵-0.1<0, ∴二次函数有最大值 ∵1.8<1.82,∴他不适合参加本次运动. (3)当y=1.7时, 解得 ∴4-2=2(米). ∵相邻两人之间间距至少为0.6米， ∴间距个数为 答：最多可供4人齐跳. 2.解：(1)由题意和表格数据可知，抛物线顶点为(h，11.25)，抛物线经过点(4,10),(5,10), ∴抛物线的对称轴是直线 ∴抛物线为 ∵抛物线过点(4,10), 解得a=-5. ∴y与x的函数关系式为 即 则 当t=1.5时, 解得a<-5. 培优提升专题5：教材难题生长题 【例1】解：函数图象略. (1)方程 的解为 (2)当x<-1或x>3时,函数值大于0. (3)当-1<x<3时,函数值小于0. 1.解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,3)代入得3=a×1×(-3),解得a=-1, ∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3),即 (2)如图. ①x=1 ②4 (3)①0或2 t<-4 ②解方程 得 时,x的取值范围是-2<x<4. ③解方程. 得 时，x的取值范围是 或 【例2】解:∵四边形CDEF 是矩形, ∴∠AFE=90°, ∵∠A=30°, 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12, 根据勾股定理得： ∴当AE=6时,矩形CDEF的面积最大, 即当点E为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大. 2.(1)证明:∵四边形ABCD为矩形, ∴BC=AD,∠A=∠C=90°, ∵BF=DH,∴BC-BF=AD-DH,即CF=AH, 在△AEH 和△CGF 中, ∴△AEH≌△CGF(SAS),∴EH=FG. (2)解:由(1)同理可证△GDH≌△EBF, ∵2>0,∴当x=2时,S有最小值,最小值是7. (3)解: 培优提升专题6：全国视野培优特训 1.解:(1)当x=0时,y=3,∴立柱AB的高度为3m, ∴抛物线的顶点坐标为 ∴电缆最低点到地面BD的距离为m. (2)①由题意可知，立柱MN左侧的抛物线的顶点坐标为(3，1.8), ∴设该段抛物线的表达式为 ∵该段抛物线经过点A(0，3)， 解得 ∴该段抛物线的表达式为 当x=4时, ∴立柱MN的高度为 ②b的值为 (2)解:设点 由抛物线的表达式知，点C(0,3),设直线AP交y轴于点 N, 由点A,P的坐标得,直线AP的表达式为y=(3-m)(x+1),则点N(0,3-m),∴CN=m, 同理可得，直线BC的表达式为y=-x+3，直线CP 的表达式为y=(-m+2)x+3, 如图1,过点P作PH∥y轴交BC于点H, 则点H(m,-m+3), ∵△PAC的面积是△PBC 的面积的2倍,即 即 解得 或 或m=0(不合题意，舍去)， ∵直线CP的表达式为y=(-m+2)x+3, 或 令y=0,则x=7或 即点D的坐标为(7，0)或(\frac{5}{3},0). (3)证明：如图2，由抛物线的表达式知，顶点E(1，4)，设点F(1,t)(t>4),则EF=t-4, 由点A，E的坐标得，直线AE的表达式为y=2x+2，同理可得，直线BF的表达式为 联立上述两个函数表达式得 解得 即点 则点 则 则 ∴t>4,则( 即 即 3.解:(1)∵抛物线经过点A(3,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线和x轴的另外一个交点为(-1，0)， ..抛物线的解析式为 解得a=-1, ∴抛物线的解析式为 (2)由题意得-1≤x≤t，结合抛物线图象进行分析： ①当-1<t<1时,在-1≤x≤t上,y随x增大而增大,x=-1时, 取得最小值，x=t时，y取得最大值，有 解得t=-2或2，均不符合题意； ②当1≤t≤3时,在-1≤x≤t上,y随x增大先增大后减小,则在抛物线的顶点处取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(1,4),∴2t-1=4,解得t=2.5,符合题意. 故t的值为2.5. (3)存在. 由抛物线的解析式知，点B(0，3)， ①如图，当BC为菱形对角线时，对应菱形为菱形BDCE'， 由点A，B的坐标得，直线AB 的解析式为y=-x+3,设点 则点D(x,-x+3),则 BC 解得 或x=0(舍去),则 即菱形的边长为 ②如图，当BD 为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE，则CD=BC, 解得x=2或x=0(舍去), 则 即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为 或2. 4.解:(1)由题意得 + bx-6, 则4a-8=-6,则 则抛物线的解析式为 (2)∵ME∥y轴,AE平分∠CEM, 故∠DEC=∠AEM=∠CDE,即DC=CE, 由抛物线的解析式知，点B，C的坐标分别为(6，0)，(0，-6), 由点B，C的坐标得，直线BC 的解析式为y=x-6, 设点E(m,m-6), 由点A，E的坐标得，直线AE 的表达式为 则点 由点 C，D，E的坐标得 解得 则直线AE 的解析式为 则AD+EF=2DE, 则 即 设点 由点A，F的坐标得，直线AF 的解析式为 联立上式和直线BC 的解析式得 解得 即 解得n=4(经检验符合题意)或n=-4(舍去), ..点F(4,-6). 1 学科网（北京）股份有限公司 $