21.3 一元二次方程的判别式（讲义，2知识2拓展5题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式核心知识点，系统阐述判别式定义（Δ = b² - 4ac）、与根的三种关系（Δ > 0、=0、<0）及逆向应用，承接求根公式学习，为二次函数图像交点等综合问题搭建学习支架。 资料通过分层题型设计（基础到压轴）、思维导图辅助分类讨论，以完全平方型判别式培养抽象能力，结合几何综合题发展模型意识。课中助力教师精准教学，课后帮助学生强化练习，有效弥补知识盲点。

第21章 一元二次方程 21.3 一元二次方程的判别式 课标要点 理解一元二次方程根的判别式的概念，记住 Δ = b² − 4ac；会用判别式判断一元二次方程根的情况 学习重难点 重点 判别式的定义：Δ = b² − 4ac 的含义与符号意义 判别式与根的关系：三种情况的准确判定（Δ > 0 / Δ = 0 / Δ < 0） 逆向应用：已知根的情况求字母系数的取值范围 难点 含字母系数方程的分类讨论：二次项系数含字母时，需先讨论是否为一元二次方程（a ≠ 0），再用判别式 判别式的恒正/恒负证明：涉及配方法与完全平方的非负性综合 判别式与其他知识的综合：与二次函数图像交点、三角形边长、整数根等问题的融合 知识点 判别式的定义 把 b² − 4ac 叫做一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的判别式，通常用希腊字母 Δ（读作"德尔塔"）表示，记作 Δ = b² − 4ac。 随学随练 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程根的判别式的值为________． 【答案】32 【详解】解：方程， 根的判别式为：， 故答案为：． 知识点判别式与根的关系 判别式符号 根的情况 求根公式表现 Δ > 0 有两个不相等的实数根 x₁ = ，x₂ = Δ = 0 有两个相等的实数根 x₁ = x₂ = Δ < 0 没有实数根 根号内为负数，在实数范围内无意义 教材延伸 上述关系反过来也成立（充要条件），即： 方程有两个不相等的实数根 ⟺ Δ > 0 方程有两个相等的实数根 ⟺ Δ = 0 方程没有实数根 ⟺ Δ < 0 方程有实数根 ⟺ Δ ≥ 0 随学随练 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知、、是常数，且，关于的方程有实数根的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵、、是常数，且， ∴关于x的方程有实数根的条件是：， 故选：C． 拓展 完全平方型判别式 当 Δ 是一个完全平方式时，方程的根为有理数。这是判别式的一个重要性质： 对于整系数一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当且仅当 Δ = b² − 4ac 是一个完全平方数时，方程有两个有理数根。 典型结论： 若 a、b、c 为整数且 Δ 为完全平方数 → 根为有理数 若 Δ > 0 但不是完全平方数 → 根为无理数（共轭根式） 活学活用 3.已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 拓展 常见判别式恒正/恒负模型 模型 判别式变形 结论 Δ = (m − 1)² + 4 完全平方 + 正数 Δ > 0 恒成立 Δ = −(m + 2)² − 1 负的完全平方 − 正数 Δ < 0 恒成立 Δ = m² − 2m + 5 = (m − 1)² + 4 配方后恒正 方程恒有两个不等实根 技巧：证明含字母的判别式恒正/恒负，核心方法是配方法，将 Δ 化为"完全平方 ± 正数"的形式。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 题型 直接判断根的情况（基础） ▌例1-1 （25-26八年级上·上海·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，有实数根； 选项B：，有实数根； 选项C：，没有实数根； 选项D：，有实数根； 故选C． ▌例1-2 （24-25八年级上·上海普陀·阶段检测）下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、方程，判别式，方程无实数根，故本选项不符合题意； B、方程，判别式，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； C、方程，判别式．因，故，方程恒有两个不相等实数根，故本选项符合题意； D、方程，判别式．当时，，方程有两个相等实数根，不满足“一定不相等”，故本选项不符合题意； 故选：C． ▌例1-3 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 【答案】方程有两个实数根 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列关于的方程中，没有实数根的是（    ）解题贴士 方法：化为一般式 → 确定 a、b、c → 计算 Δ → 判断符号。 速算口诀：先看系数再算差，正负零号定根况。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：方程化为， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B：方程， ∵， ∴， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； C：方程， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； D：方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 故选：B. ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 题型 已知根的情况求参数（高频） ▌例2-1 （25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． ▌例2-2 （24-25八年级下·上海·阶段检测）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解， 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． ▌例2-3 （24-25八年级上·上海·期中）已知关于的二次方程有两个相等的实数根，试求的值． 【答案】 【详解】解：关于的二次方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ， ， ， ． 解题贴士 方法：根据根的情况列出 Δ 的不等式 → 解不等式 → 检验 a ≠ 0。 关键提醒：题目说"方程"而非"一元二次方程"时，必须分类讨论二次项系数是否为零！ ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 故选：B． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 故答案为：且． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当时，则，解得且； 当时，则， ∵， ∴， 又∵， ∴恒成立， ∴此时； 综上所述，， 故答案为：． 题型 证明方程恒有/恒无实数根（培优） ▌例3-1 （24-25九年级上·山西晋城·阶段检测）已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． ▌例3-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）求证：关于的方程总有实数根． 证明：当时，方程为一元二次方程， ， ∵， ∴ ， ∴ 方程有实数根； 当时，即，方程化为， 解得， ∴方程有实数根； 综上，方程总有实数根． ▌例3-3 若a、b、c互不相等，求证：方程无实数根． 证明： ． 即． 故方程无实数根． 解题贴士 方法：计算 Δ → 配方化为"完全平方 ± 正数" → 利用非负性判断。 配方要点：一次项系数一半的平方，常数项凑出完全平方后剩余正数。 ▌对点练3-1 已知关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：∵， 而， 故． 所以方程有两个不相等的实数根． ▌对点练3-2 （24-25八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 解：有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程有两个不相等的实数根， ， ， 对于关于的方程， ， ， ∴，即， ∴方程一定有两个不相等的实数根． ▌对点练3-3 （24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程的根的情况． 【答案】方程无实数根 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； ∴ ∴关于的方程是一元二次方程， ， ∴方程无实数根． ▌对点练3-4 （25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】(1) 证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 题型 判别式与新定义（压轴） ▌例4-1 对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． ▌例4-2 （25-26八年级上·上海·期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.若关于的一元二次方程和是“同伴方程”，则__________. 【答案】 【详解】设公共根为， 则①， ②， ①式减去②式得：． ∴． ∴． ∴． ∴或． 若， 则． 此时方程①为， 判别式，无实数根，不符合题意． 若， 则． 代入方程①得， 即． ∴． 当时， 方程①为， 根为和； 方程②为， 根为和． 公共根只有． 符合“同伴方程”定义． ▌例4-3 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【答案】 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． ▌对点练4-1 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 _______． 【答案】 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． ▌对点练4-2 对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是______：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意知，， ∴是最大的“快乐数”， ∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴， ∴k的值为， 故答案为：；． ▌对点练4-3 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 题型 判别式与几何综合（压轴） ▌例5-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【详解】解： ∵和分别平分和， ∴，，     ∵，     ∴，     ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 且 ， 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． ▌例5-2 已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是______________． 【答案】1或2 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15． 解题贴士 方法：利用几何条件建立方程 → 用判别式判定存在性 → 结合几何约束取舍。 ▌对点练5-1 已知：设三角形的三边a，b，c为方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足 (1)求证：是等边三角形． (2)若a，b为方程的两根，求k的值． 【答案】(1)方程有两个相等的实数根， △，即， ， ，即， 将代入得：， ， 是等边三角形； （2）、为方程两根，且， △，即， 解得：或， 当时，方程为，解得：（舍）； 当时，方程为，解得：，（符合题意）； 故． ▌对点练5-2 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． ▌对点练5-3 （24-25八年级上·上海·期中）等腰直角的直角边，，点、分别从、两点同时出发，均以/秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上时，用含有的代数式表示的面积； (2)当点运动几秒时，？ (3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 当点在边上时，， ； （2）由（1）知，当时，， 当时，， 此时， 等腰直角的直角边， ， ， 当时，， 整理可得：， ， 方程无实数根据； 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）； 综上所述，当点运动秒时，； （3）线段的长度不会改变，理由如下： 当点在线段上时，如图，过作，交直线于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，同理可得：， 综上所述，线段的长度不会改变，． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 2.（25-26八年级上·上海宝山·期末）关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________． 【答案】 【详解】解：当时，方程化为， 解得，有实数根； 当时，方程为二次方程，有实数根时， 判别式， 解得 ； 综上，时方程有实数根． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海·期中）若非负整数，且关于的方程有两个实数根，求的值和这时方程的根． 【答案】，方程的根为 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：且 ∵非负整数， ∴ ∴原方程为 ∴ ∴ ∴ 解得： 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程无实数根．求关于y的一元二次方程根的情况． 【答案】一元二次方程有两个不相等的实数根 【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根， ，即， 解得：； 在关于y的一元二次方程中， ， ∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【答案】变为一般形式：， ，，， ， ∵， ∴， ∴关于的方程有实数根， ∴． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设等腰三角形的三条边长分别为．已知，、是关于的方程的两个根，求的值以及另两边的长． 【答案】，另外两边为4，4 【详解】解：当以为腰时，将代入方程，得 ， 解得， ∴一元二次方程， 解得， 所以这个三角形的三边长为2，2，8， ∵， ∴2，2，8不能构成三角形，不符合题意，舍去； 当以为底时，，则方程有两个相等的实数根， 即， 解得. 当时，一元二次方程的两个根是，舍去； 当时，一元二次方程的两个根是， 即， 此时三边长为4，4，2， ∵，满足三角形三边关系，符合题意， ∴当时，另外两边长为4，4. 素养提升 1．（25-26八年级上·上海·期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 【答案】B 【详解】解：A选项：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； B选项：∵， ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， 则无法得到方程的根的个数，故本选项错误，符合题意； C选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________． 【答案】且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴ 由， 得， 由， 得 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程有实数根，化简___________． 【答案】 【详解】解：关于的方程有实数根， ∴ ， ， ， ，， 原式． 故答案为：2． 6．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）关于的方程，为实数． (1)此方程一定有实数根吗？为什么？ (2)当时，方程有两个相等的实数根，求这两个根． 【答案】(1)此方程一定有实数根，理由如下： ∵， ∴ ∴此方程一定有实数根 （2）解：把代入， 得， ∵当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【详解】（1）解：要使方程有实数根，必须， ． 即． 解得． 当时，此方程有实数根． （2）解：当时，（答案不唯一）． 原方程变为． 解得． 即∶，． 8．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)试取一个的值代入方程，并求出此方程的两个实数根． 【详解】（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， （2）解：当时，原方程为， ， ， ， ∴，． 9．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·上海·期中）已知：关于的方程有两个相等的实数根 (1)求的值 (2)求此时方程的根 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时， ∴； （2）解：由（1）得原方程为，即， ∴， ∴． 11.已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由（1）及题意可得：， 由可得：， ∵都是整数， ∴为开方数， ∴或41或46或53或62或73或86， ∴k的最大值为86， 此时方程为， 解得：． 迁移创新 1.新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：根的情况________． 【答案】无解 【详解】解：由题意可得： 即， 整理得：， ． ∴方程无解， 故答案为：无解． 2.定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【详解】由新定义的运算法则可得出：． ∵， ∴． ∵该方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 3．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知 若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数） (1)求a、 b、 c的值； (2)对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以同时求其差再除以 剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数，再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论． 【详解】（1）解：设（k为非负整数），则有， ∵m为整数， ∴方程的判别式为完全平方数，即（p为非负整数）， ∴，即， ∴，显然， ∴或， 解得或， ∴或1， ∴或 ∴， ∴． (2)解：所得三个数的平方和不等于2012，证明如下： 三个数，任意两个求其和，再除以，求其差，再除以，剩下的一个数不变，经此种操作后，三数平方和不变， 即， ∵． ∴对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2012． 4.阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 21.3 一元二次方程的判别式 课标要点 理解一元二次方程根的判别式的概念，记住 Δ = b² − 4ac；会用判别式判断一元二次方程根的情况 学习重难点 重点 判别式的定义：Δ = b² − 4ac 的含义与符号意义 判别式与根的关系：三种情况的准确判定（Δ > 0 / Δ = 0 / Δ < 0） 逆向应用：已知根的情况求字母系数的取值范围 难点 含字母系数方程的分类讨论：二次项系数含字母时，需先讨论是否为一元二次方程（a ≠ 0），再用判别式 判别式的恒正/恒负证明：涉及配方法与完全平方的非负性综合 判别式与其他知识的综合：与二次函数图像交点、三角形边长、整数根等问题的融合 知识点 判别式的定义 把 b² − 4ac 叫做一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的判别式，通常用希腊字母 Δ（读作"德尔塔"）表示，记作 Δ = b² − 4ac。 随学随练 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程根的判别式的值为________． 知识点判别式与根的关系 判别式符号 根的情况 求根公式表现 Δ > 0 有两个不相等的实数根 x₁ = ，x₂ = Δ = 0 有两个相等的实数根 x₁ = x₂ = Δ < 0 没有实数根 根号内为负数，在实数范围内无意义 教材延伸 上述关系反过来也成立（充要条件），即： 方程有两个不相等的实数根 ⟺ Δ > 0 方程有两个相等的实数根 ⟺ Δ = 0 方程没有实数根 ⟺ Δ < 0 方程有实数根 ⟺ Δ ≥ 0 随学随练 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知、、是常数，且，关于的方程有实数根的条件是（   ） A． B． C． D． 拓展 完全平方型判别式 当 Δ 是一个完全平方式时，方程的根为有理数。这是判别式的一个重要性质： 对于整系数一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当且仅当 Δ = b² − 4ac 是一个完全平方数时，方程有两个有理数根。 典型结论： 若 a、b、c 为整数且 Δ 为完全平方数 → 根为有理数 若 Δ > 0 但不是完全平方数 → 根为无理数（共轭根式） 活学活用 3.已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 拓展 常见判别式恒正/恒负模型 模型 判别式变形 结论 Δ = (m − 1)² + 4 完全平方 + 正数 Δ > 0 恒成立 Δ = −(m + 2)² − 1 负的完全平方 − 正数 Δ < 0 恒成立 Δ = m² − 2m + 5 = (m − 1)² + 4 配方后恒正 方程恒有两个不等实根 技巧：证明含字母的判别式恒正/恒负，核心方法是配方法，将 Δ 化为"完全平方 ± 正数"的形式。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 题型 直接判断根的情况（基础） ▌例1-1 （25-26八年级上·上海·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． ▌例1-2 （24-25八年级上·上海普陀·阶段检测）下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． ▌例1-3 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列关于的方程中，没有实数根的是（    ）解题贴士 方法：化为一般式 → 确定 a、b、c → 计算 Δ → 判断符号。 速算口诀：先看系数再算差，正负零号定根况。 A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 题型 已知根的情况求参数（高频） ▌例2-1 （25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． ▌例2-2 （24-25八年级下·上海·阶段检测）若关于的方程无实根，则的取值范围是______． ▌例2-3 （24-25八年级上·上海·期中）已知关于的二次方程有两个相等的实数根，试求的值． 解题贴士 方法：根据根的情况列出 Δ 的不等式 → 解不等式 → 检验 a ≠ 0。 关键提醒：题目说"方程"而非"一元二次方程"时，必须分类讨论二次项系数是否为零！ ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 题型 证明方程恒有/恒无实数根（培优） ▌例3-1 （24-25九年级上·山西晋城·阶段检测）已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． ▌例3-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）求证：关于的方程总有实数根． ▌例3-3 若a、b、c互不相等，求证：方程无实数根． 解题贴士 方法：计算 Δ → 配方化为"完全平方 ± 正数" → 利用非负性判断。 配方要点：一次项系数一半的平方，常数项凑出完全平方后剩余正数。 ▌对点练3-1 已知关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根． ▌对点练3-2 （24-25八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． ▌对点练3-3 （24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程的根的情况． ▌对点练3-4 （25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 题型 判别式与新定义（压轴） ▌例4-1 对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． ▌例4-2 （25-26八年级上·上海·期中）若两个一元二次方程有且只有一个公共的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.若关于的一元二次方程和是“同伴方程”，则__________. ▌例4-3 （24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． ▌对点练4-1 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 _______． ▌对点练4-2 对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是______：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为______． ▌对点练4-3 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 题型 判别式与几何综合（压轴） ▌例5-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：是三条角平分线的交点，过点作，分别交，于、，设，，，则关于的方程的说法正确的是（   ） A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 ▌例5-2 已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是______________． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 解题贴士 方法：利用几何条件建立方程 → 用判别式判定存在性 → 结合几何约束取舍。 ▌对点练5-1 已知：设三角形的三边a，b，c为方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足 (1)求证：是等边三角形． (2)若a，b为方程的两根，求k的值． ▌对点练5-2 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． ▌对点练5-3 （24-25八年级上·上海·期中）等腰直角的直角边，，点、分别从、两点同时出发，均以/秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上时，用含有的代数式表示的面积； (2)当点运动几秒时，？ (3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·上海宝山·期末）关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________． 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是______． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 5．（24-25八年级上·上海·期中）若非负整数，且关于的方程有两个实数根，求的值和这时方程的根． 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程无实数根．求关于y的一元二次方程根的情况． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设等腰三角形的三条边长分别为．已知，、是关于的方程的两个根，求的值以及另两边的长． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海·期末）小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（    ） A．若，则方程一定有两个实数根； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程一定有两个实数根； D．若，则方程一定有两个实数根． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程有实数根，化简___________． 6．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）关于的方程，为实数． (1)此方程一定有实数根吗？为什么？ (2)当时，方程有两个相等的实数根，求这两个根． 7．（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)当为何值时，此方程有实数根； (2)选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 8．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)试取一个的值代入方程，并求出此方程的两个实数根． 9．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 10．（24-25八年级上·上海·期中）已知：关于的方程有两个相等的实数根 (1)求的值 (2)求此时方程的根 11.已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解． 迁移创新 1.新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：根的情况________． 2.定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 3．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知 若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数） (1)求a、 b、 c的值； (2)对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以同时求其差再除以 剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数，再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论． 4.阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $