21.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲义，2知识2拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，系统梳理韦达定理的推导过程、内容及使用条件，延伸至特殊形式、六大变形公式，结合判别式、逆定理及根的符号判定，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础到培优），以解题贴士培养推理意识，几何综合题发展应用意识，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与用数学语言表达问题的能力。

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 课标要点 1.理解一元二次方程根与系数关系的推导过程； 2.掌握韦达定理：两根之和与两根之积； 3.能不解方程求两根之和与两根之积； 4.能利用韦达定理求与根相关的代数式的值 学习重难点 重点 韦达定理的内容；韦达定理的推导过程；韦达定理的基本应用；韦达定理与判别式的综合运用。 难点 韦达定理适用前提的理解；含根代数式的变形技巧；已知两根关系求参数的多解与取舍；韦达定理在几何、实际问题中的综合应用。 知识点根与系数的关系 1. 韦达定理（根与系数的关系） 定理内容：如果一元二次方程有两个实数根，那么两根之和与两根之积与方程系数有如下关系： 使用条件： ① 二次项系数不为零（方程为一元二次方程）； ② 判别式 2. 特殊形式的韦达定理 方程形式 两根之和 两根之积 0（必有一根为0） 0（两根互为相反数） 3. 六大常用变形公式 设 序号 代数式 变形结果 ① ② （ ③ ④ ⑤ ⑥ 随学随练 1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ． 【答案】 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． 知识点 韦达定理与判别式的关系 判别式情况 根的情况 韦达定理 Δ > 0 两个不相等的实数根 适用，x₁ ≠ x₂ Δ = 0 两个相等的实数根 x₁=x₂ 适用，x₁+x₂=2x₁，x₁x₂=x₁² 随学随练 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， 解得， 故m的取值范围． （2）解：设是方程的两个实数根， 则，，且， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 故． 拓展韦达定理的逆定理 内容：如果两个数 应用：已知两根，构造以这两个数为根的一元二次方程。 构造方法： ① 若两根为 ② 一般形式：在首一形式两边同乘任意非零常数。 活学活用 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知一元二次方程的根为，，写出一个满足条件的方程___________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当二次项系数为1时，设满足题意的方程为， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴满足题意的方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 拓展根的符号判定 利用韦达定理和判别式，可以不解方程判断两根的符号特征： 条件 根的符号特征 Δ>0，P>0，S>0 两根均为正数 Δ>0，P>0，S<0 两根均为负数 Δ>0，P<0 两根一正一负（与 S 无关） Δ>0，P=0 一根为0，另一根为 Δ=0，S>0 两根相等且为正 Δ=0，S<0 两根相等且为负 关键：P=x₁x₂ 的符号决定两根同号还是异号；S=x₁+x₂ 的符号在同号时决定同为正还是同为负。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； (2)解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ 与是负数． 题型 不解方程，直接求两根之和与两根之积 ▌例1-1 （25-26八年级上·上海杨浦·期末）设、是方程的两根，则_____． 【答案】3 【详解】解：方程 中，，， 则 ． 故答案为：． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 【答案】6 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，常数项，根据根与系数的关系，两根之积． 故答案为：6． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ）解题贴士 ① 先将方程化为标准形式； ② 确认 a≠0 且 ； ③ 直接代入公式 。 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海·期中）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ） A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【详解】解：选项A：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项B：∵ ， ∴，无实数根；不符合题意； 选项C：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项D：∵ ， ∴，有两实数根； ∴ 两根之和为 ，符合题意； 故选：D ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 【答案】 【详解】解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，得，． 所以． 故答案为：． 题型 已知一根，求另一根及参数 ▌例2 （25-26八年级上·上海·期中）已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于方程，设另一个根为， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为， 已知一个根是，则， 解得． 故选：D． 解题贴士 方法一（韦达定理）：已知 方法二（代入法）：将已知根代入方程求参数，再解方程求另一根。 优先选择：韦达定理法更快捷，尤其当参数在一次项或常数项时。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海·期中）若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是__________． 【答案】 【详解】解：设方程的另一个根为，已知一个根为． 对于方程，有，． 根据根与系数的关系，两根之和为， 即， 解得． 故答案为：． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的一个根，那么方程的另一个根是___________． 【答案】 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系，即， 解得． 故答案为：． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海·周测）关于的一元二次方程的一个根为，求的值和另一根． 【答案】另一个根为，的值为 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意得，， 解得， 所以， 可得， 即另一个根为，的值为． 题型 求含两根的代数式的值 ▌例3-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：法一：方程 因式分解，得 ， ∴ ，， ∴ ； 法二：由韦达定理，可得，， ∴， 故选：C． ▌例3-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 【答案】 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： ▌例3-3 （25-26八年级上·上海·期末）若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】2026 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，． ∴ ． 解题贴士 ① 牢记六大变形公式； ② 将所求代数式转化为用 S=x₁+x₂ 和 P=x₁x₂ 表示的形式； ③ 代入韦达定理的结果计算。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海·期末）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【答案】2020 【详解】解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）已知方程的两根分别为、． (1)求与的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【详解】（1）解：由题意，∵方程， ∴． ∴，． （2）解： ； （3）解：； （4）解：由题意， ， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 题型 已知两根关系，求方程中的参数 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海嘉定·期末）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：∵ 方程的两根为、， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故选：B． ▌例4-2 （25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． ▌例4-3 （25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或． 解题贴士 ① 列关系：根据题意列出关于两根的等式； ② 代韦达：将 代入，得到关于参数的方程； ③ 验判别式：求出参数后，代入 检验，舍去不合条件的值。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的方程的两个实数根，若，求的值． 【答案】 【详解】解：∵是关于的方程的两个实数根， ∴，即，解得：， ∴根据韦达定理，，， ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴综上，的值为． ▌对点练4-3 （25-26八年级上·上海·期末）已知是关于x的方程的两个不相等的实数根．且，求m的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 依题意，得，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴不符合条件， ∴， 题型 韦达定理与几何综合（培优/压轴） ▌例5-1 （24-25八年级上·上海·阶段检测）已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为_____． 【答案】或 【详解】解：当腰长为4时，则是方程的一个根，设方程的另一个根为y， ∴， 解得， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为， ∴该等腰三角形的周长为； 当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值， ∴，腰长为， ∵， ∴此时能组成三角形， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为；或． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 【答案】16 【详解】解：∵的长是关于x的方程， ∴． 当时，， ∴的周长为； 当时，， ∴的周长为． 所以这个三角形的周长为16． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 【答案】(1)时，根为；时，根为． (2)，周长为． 【详解】（1）解：当时，方程化为， 解得． 当时，方程化为， ， 解得． 此时方程为，即 ， 解得． 综上，时，根为；时，根为． （2）解：当为腰时， 把代入方程， 得， 解得． 方程为，即， 解得， ． 周长为． 当为底时，方程有两个相等实根，由（1）知，方程根为，但，不满足三角形三边关系，舍去． 综上，，周长为． 解题贴士 ① 将几何条件转化为代数关系（如直角三角形两直角边为两根，则 x₁²+x₂²=斜边平方）； ② 利用韦达定理整体代换； ③ 结合几何图形的性质（如三角形三边关系、面积公式等）。 ▌对点练5-1 （24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是_____． 【答案】4 【详解】解：当腰长为7时，则是方程的一个根， ∴， 解得或， 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，3， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，15， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴由根与系数的关系可得方程的根为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：4． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如图是用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的大正方形，我们用、表示小长方形的两边长（不妨设），以为两根的一元二次方程称为这个大正方形的“伴随方程”． 在这个图形中，大正方形的“伴随方程”是，那么这个图形中小正方形的面积为___________．（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】解：依题意，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为， 则小正方形的面积为， ∵大正方形的“伴随方程”是， ∴，， 则， 即这个图形中小正方形的面积为， 故答案为： ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海·期末）【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)3 (2)17 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ∴； （2）解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长， ∴①或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为， 此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； ②，，解得， 此时方程为，解得， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； 综上，三角形的周长为． 题型 韦达定理与根的判别式综合（培优/压轴） ▌例6-1 （24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． ▌例6-2 （24-25八年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【详解】(1)方程为波浪方程， 理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 解题贴士 ① 判别式 Δ 决定根的"有没有"和"等不等"； ② 韦达定理决定根的"和与积"； ③ 二者结合可以解决"已知根的某种关系求参数范围"类问题； ④ 注意参数的多重约束条件取交集。 ▌对点练6-1 （25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数解 ∴ 则， 故答案为：； （2）①由（1）可知：是一元二次方程的两个实数根 ∴， ∴ 故答案为：1； ②∵ ∴将，代入得 ∵实数为整数，且满足的值也为整数 ∴当为整数即为所求 则或或 ∴ ∵且 ∴ ∴ （3）∵为互不相等的实数，且满足． 即， 设为方程的两个实数根 ∴ ∴ 则. ▌对点练6-2 （25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）是该方程的“友好方程”的一个解， 方程的一个解为3， ， 其“友好方程”为：， 当时， 把代入上式得： 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）解：设方程的解为、， 则 其“友好方程”的解也为、， 则 由题意列方程为：， 解得，或 且 那么原方程为 令或 解得，． 答：的值为以及原方程的根为和． ▌对点练6-3 我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 基础通关 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）下列方程的两个实数根的和为3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴，∴此方程有两个不相等的实数根，且两实数根之和等于，故此选项错误； B．∵，∴，∴此方程有两个不相等的实数根，且两实数根之和等于3，故此选项正确； C．变形为，∴，∴此方程有两个不相等的实数根，且两实数根之和等于2，故此选项错误； D．∵，∴，∴此方程没有实数根，故此选项错误． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2023 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， 又∵ a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2023． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． 【答案】 【详解】解：设方程的两根为和， 由根与系数的关系，得， ∵关于的一元二次方程的两实数根互为相反数， ∴， 解得， ∵， ∴当时，，此时方程无解； 当时，，此时方程有两实数根； ∴ 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：___________． 【答案】 【详解】解：设一元二次方程为， 则两根之和为，两根之积为， 解得，， ∴该方程为：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）构造一个以为未知数的方程，使新方程的两根比方程：的两根都大2． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设原方程两根为和， ， ∴新方程的两根 ， ， 因此当二次项系数为1时，新方程为． 7．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）关于x的方程是一个一元二次方程，方程有两个实根、，这两个实根满足条件，求k的值 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式和根与系数的关系，关键知识点：等价于方程有两个不相等的实数根；等价于方程有两个相等的实数根；等价于方程没有实根；韦达定理：，．根据方程的系数结合根的判别式可得出 ，由此可证出方程总有两个不同的实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，可以得到 ， ，再将它们代入，即可求出k的值． 【详解】解：由方程， 即， 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； ， 又 ， 把代入上式：， ， ， 整理得：， 解得：． 素养提升 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知方程的两个根都是整数，则k的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【详解】解：∵方程的两个根都是整数， ∴， ∴，则， ，则， ，则， ，则， ∴k的值有个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 【答案】 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期中）①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是：________． 【答案】①②③④ 【详解】①若方程两根为和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵， ∴或， ∴， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程一定无实数解，故此选项符合题意； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0，两根之和不为0， 那么，故此选项符合题意； 故所有命题均正确， 故答案为：①②③④． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意； （2）解：分两种情况： ①若， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴此时方程为， 解得， ∴的周长为； ②若，则或，即方程有一根为2， ∵把代入方程，得， 解得， ∴此时方程为， 解得，， ∴方程另一根为4， ∵2、2、4不能构成三角形，此种情况舍去． 综上所述，的周长为7． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）观察求根公式． (1)求出的值； (2)设是方程的两个实数解，用（1）中得到的结果求的值． 【详解】（1）解：由求根公式可得：， ∴； （2）解：∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：， 由（1）知当时，方程才有实数根， ∴． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵，方程的两实数根分别为和， ∴， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 10．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当是偶数时，记方程的两根为和，求的值． 【详解】（1）解：∵方程有实数根，且， ∴，判别式． ∵， ∴， 解得： ∴m的取值范围是． （2）解：∵m是偶数，且， ∴， 当时，方程为， 即， 记方程的两根为和， 则，， ∴，， ∴． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【详解】（1）解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 4．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 方程是“波浪方程”； 故答案为：是； （2）解：是关于的“波浪方程”，它有一个根是， ， 解得， 故答案为：，； （3）解：的两个根分别是，， ，， ，， 是“波浪方程”， ， ， 解得， ，， ， 即的值为7． 5.阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 【详解】（1）解：已知， 则两根之和为， 两根之积为． 答：两根之和为，两根之积为． （2）解：已知，可变形为， 则，， 可得， ， 故两根的平方之和为，倒数之和为． 答：，． （3）解：，是一元二次方程的两根， 则，； ，是的两根， 则，， 可得，， 即， 可得，即，整体代入中， 可得， 则，， 故，． 答：，． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 课标要点 1.理解一元二次方程根与系数关系的推导过程； 2.掌握韦达定理：两根之和与两根之积； 3.能不解方程求两根之和与两根之积； 4.能利用韦达定理求与根相关的代数式的值 学习重难点 重点 韦达定理的内容；韦达定理的推导过程；韦达定理的基本应用；韦达定理与判别式的综合运用。 难点 韦达定理适用前提的理解；含根代数式的变形技巧；已知两根关系求参数的多解与取舍；韦达定理在几何、实际问题中的综合应用。 知识点根与系数的关系 1. 韦达定理（根与系数的关系） 定理内容：如果一元二次方程有两个实数根，那么两根之和与两根之积与方程系数有如下关系： 使用条件： ① 二次项系数不为零（方程为一元二次方程）； ② 判别式 2. 特殊形式的韦达定理 方程形式 两根之和 两根之积 0（必有一根为0） 0（两根互为相反数） 3. 六大常用变形公式 设 序号 代数式 变形结果 ① ② （ ③ ④ ⑤ ⑥ 随学随练 1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ． 知识点 韦达定理与判别式的关系 判别式情况 根的情况 韦达定理 Δ > 0 两个不相等的实数根 适用，x₁ ≠ x₂ Δ = 0 两个相等的实数根 x₁=x₂ 适用，x₁+x₂=2x₁，x₁x₂=x₁² 随学随练 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 拓展韦达定理的逆定理 内容：如果两个数 应用：已知两根，构造以这两个数为根的一元二次方程。 构造方法： ① 若两根为 ② 一般形式：在首一形式两边同乘任意非零常数。 活学活用 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知一元二次方程的根为，，写出一个满足条件的方程___________． 拓展根的符号判定 利用韦达定理和判别式，可以不解方程判断两根的符号特征： 条件 根的符号特征 Δ>0，P>0，S>0 两根均为正数 Δ>0，P>0，S<0 两根均为负数 Δ>0，P<0 两根一正一负（与 S 无关） Δ>0，P=0 一根为0，另一根为 Δ=0，S>0 两根相等且为正 Δ=0，S<0 两根相等且为负 关键：P=x₁x₂ 的符号决定两根同号还是异号；S=x₁+x₂ 的符号在同号时决定同为正还是同为负。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 题型 不解方程，直接求两根之和与两根之积 ▌例1-1 （25-26八年级上·上海杨浦·期末）设、是方程的两根，则_____． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知方程的两个根分别为和，求的值为______ ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ）解题贴士 ① 先将方程化为标准形式； ② 确认 a≠0 且 ； ③ 直接代入公式 。 A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海·期中）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ） A．； B．； C．； D．. ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 题型 已知一根，求另一根及参数 ▌例2 （25-26八年级上·上海·期中）已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 解题贴士 方法一（韦达定理）：已知 方法二（代入法）：将已知根代入方程求参数，再解方程求另一根。 优先选择：韦达定理法更快捷，尤其当参数在一次项或常数项时。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海·期中）若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是__________． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海普陀·期末）已知是关于的方程的一个根，那么方程的另一个根是___________． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海·周测）关于的一元二次方程的一个根为，求的值和另一根． 题型 求含两根的代数式的值 ▌例3-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． ▌例3-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． ▌例3-3 （25-26八年级上·上海·期末）若是方程的两个实数根，则的值为__________． 解题贴士 ① 牢记六大变形公式； ② 将所求代数式转化为用 S=x₁+x₂ 和 P=x₁x₂ 表示的形式； ③ 代入韦达定理的结果计算。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海·期末）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． ▌对点练3-3 （25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）已知方程的两根分别为、． (1)求与的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 题型 已知两根关系，求方程中的参数 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海嘉定·期末）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 ▌例4-2 （25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． ▌例4-3 （25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 解题贴士 ① 列关系：根据题意列出关于两根的等式； ② 代韦达：将 代入，得到关于参数的方程； ③ 验判别式：求出参数后，代入 检验，舍去不合条件的值。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的方程的两个实数根，若，求的值． ▌对点练4-3 （25-26八年级上·上海·期末）已知是关于x的方程的两个不相等的实数根．且，求m的值． 题型 韦达定理与几何综合（培优/压轴） ▌例5-1 （24-25八年级上·上海·阶段检测）已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为_____． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 解题贴士 ① 将几何条件转化为代数关系（如直角三角形两直角边为两根，则 x₁²+x₂²=斜边平方）； ② 利用韦达定理整体代换； ③ 结合几何图形的性质（如三角形三边关系、面积公式等）。 ▌对点练5-1 （24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是_____． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如图是用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的大正方形，我们用、表示小长方形的两边长（不妨设），以为两根的一元二次方程称为这个大正方形的“伴随方程”． 在这个图形中，大正方形的“伴随方程”是，那么这个图形中小正方形的面积为___________．（用含有的代数式表示） ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海·期末）【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 题型 韦达定理与根的判别式综合（培优/压轴） ▌例6-1 （24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． ▌例6-2 （24-25八年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 解题贴士 ① 判别式 Δ 决定根的"有没有"和"等不等"； ② 韦达定理决定根的"和与积"； ③ 二者结合可以解决"已知根的某种关系求参数范围"类问题； ④ 注意参数的多重约束条件取交集。 ▌对点练6-1 （25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． ▌对点练6-2 （25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． ▌对点练6-3 我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 基础通关 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）下列方程的两个实数根的和为3的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若、是方程的两个实数根，则的值为______． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）写一个关于的一元二次方程使其满足：二次项系数为2，两根之和是，两根之积是，这样的方程是：___________． 6．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）构造一个以为未知数的方程，使新方程的两根比方程：的两根都大2． 7． （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）关于x的方程是一个一元二次方程，方程有两个实根、，这两个实根满足条件，求k的值 素养提升 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知方程的两个根都是整数，则k的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程___________． 3．（25-26八年级上·上海·期中）①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是：________． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）观察求根公式． (1)求出的值； (2)设是方程的两个实数解，用（1）中得到的结果求的值． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 8．（25-26八年级上·上海虹口·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 9．（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 10．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当是偶数时，记方程的两根为和，求的值． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 4．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 5.阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：． 两根之积为：， 这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题： (1)求一元二次方程的两根之和与两根之积； (2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____． (3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $