1.1 集合 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以"概念-关系-运算-结论"为逻辑主线，通过三级难度分层训练构建集合知识体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础|19题|聚焦元素性质、集合关系与基本运算|从元素确定性到集合运算律，构建概念网络| |中档|15题|结合新定义与参数讨论|通过集合间关系拓展至逻辑推理应用| |拔高|10题|综合函数、数列与创新情境|实现集合思想在代数体系中的迁移应用|

1.1 集合 基础知识梳理 1.元素与集合 （1）集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性. （2）集合与元素的关系:若属于集合则记作;若b不属于集合则记作. （3）集合的表示方法:列举法、描述法. 2.常见数集及其符号表示 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集   3.集合间的基本关系 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合中任意一个元素都是集合中的元素 或 真子集 如果集合但存在元素且 或 相等 集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素 且 空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 4.集合间的基本运算 自然语言 图形语言 符号语言 并集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 或 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合   补集 若全集为则集合A的补集为   5.集合的运算性质 交集 并集 补集 6.常考结论 1.若有限集中有个元素,则的子集有个,真子集有个, 非空子集有个,非空真子集有个. 2. 基础题 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以， ，所以，则，，且， 所以， 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得，所以. 又因为，所以. 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，则， 由函数有意义，可得，解得，即， 故. 4．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以，解得， 所以. 由，得. 由，得，得，所以. 所以. 5．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集的定义，求解即可. 【详解】 因为，，所以. 6．（26-27高三上·贵州·开学考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解一元二次不等式得集合，求解分式不等式结合整数条件得集合，再计算两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，因为，所以或或， 所以，所以. 7．（25-26高一下·云南丽江·期末）已知集合，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故. 8．（2025高二下·湖北·学业考试）已知集合，，则中元素的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 则， 所以中元素的个数是． 9．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 10．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则 12．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解集合A、集合B的取值范围，再根据交集的定义计算二者的公共部分即可. 【详解】要使根式有意义，需，解得，因此. 不等式，因式分解得，解得，即. 因此. 13．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对不等式因式分解得，解得或， 即得或； 结合，得. 14．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性把集合A具体化，再利用集合的交集运算法则可得答案. 【详解】由，得：， 根据对数函数的性质，底数， 所以函数在上单调递增， 所以， 因此，集合； 由，可得：； 所以，. 15．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式得集合，再由交集的定义可得结果. 【详解】由一元二次不等式 ，得，所以不等式的解集为 . 又因为，所以 . 又因为，所以. 因此. 16．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 二、填空题 17．（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合 ，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 18．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）已知集合，则______，______. 【答案】 【详解】已知集合，即为取的公共部分，则； 为能将覆盖的全部范围，则. 三、解答题 19．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【分析】（1）利用交集和补集的定义可求得集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合. 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 20．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，集合. (1)求，； (2)设，求. 【答案】(1)或，. (2)或. 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解. （2）由（1）及已知，利用补集的定义求解. 【详解】（1）解不等式，即，得，即， 不等式，则，解得或，或， 所以或，. （2）由（1）及，得或. 中档题 一、单选题 1．（贵州省部分学校2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的概念，以及集合补集的计算方法，即可求解. 【详解】因为， 由，解得， 又因为，所以，因为，所以. 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：由条件可得集合只有两个元素，讨论列方程求. 方法二：代入选项依次验证条件即可. 【详解】因为以点，，为元素构成的集合有个子集，则集合只有两个元素， 所以三个点中恰有个相同，另外一个不同， 当与相同时，则， 所以，， 此时或，，满足条件， 当与相同时，则，，解得，， 此时，，满足条件， 当与相同时，则，，满足条件的不存在， 故选项B正确， 方法二： 当时，集合满足条件，故B正确; 当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意； 当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意； 当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意； 综上，可以是. 3．（26-27高三上·北京·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求解集合，，再由集合的交集求解即可. 【详解】因为，由，解得， 因为，所以， 因为，所以或， 所以. 4．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 5．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）设集合中的最大值与最小值分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表达式单调性确定最大值的取值，再利用约束条件将最小值问题转化为基本不等式求最值，最终计算差值即可. 【详解】表达式中，为关于的减函数，为关于的增函数， 结合约束，当、时表达式取最大值： ，满足约束条件，成立. 对固定的，由得，当且仅当时取等号. 又，当且仅当即时，等号成立. 因为，此时，满足约束，故. 所以，. 6．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 二、多选题 7．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．有理数集可表示为 B．所有的素数不都是奇数 C．设a，，，，，则 D．已知，，，则 【答案】BCD 【分析】本题综合考查集合概念、命题真假判断、集合相等性质及不等式性质，需结合对应知识点逐项分析判断. 【详解】选项A中有理数包括正数，负数和0，而集合中不包含负数，故A错. 选项B中素数指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外没有其他因数的自然数，2是素数且2是偶数，所以所有的素数不都是奇数是真命题，故B对. 选项C中即得，所以，故C对. 选项D中，所以，所以，又因为，所以，故D对. 8．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 【答案】BC 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 三、填空题 10．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 11．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，若中有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先因式分解求解三次不等式得到集合，再结合集合的范围，根据交集仅有2个正整数的约束确定的取值范围. 【详解】由分组进行因式分解，可得： ， 利用穿根法可得解集为； 因集合满足中有且仅有2个正整数， 显然，则这两个整数应为1和3， 则需使，， 因，则且，则. 故实数的取值范围是. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 13．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 四、解答题 14．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知方程与方程分别有两个不相等实根，若它们的解集分别为，，且，求，的值及集合，． 【答案】 ，，， 【分析】根据两集合的元素个数及并集元素个数推出两二次方程有唯一公共根，联立方程得到公共根与参数的关系，逐一验证公共根的可能取值，结合韦达定理和判别式求解即可. 【详解】已知两个一元二次方程均有两个不相等的实根，故集合各含2个元素， 又共3个元素，由集合容斥原理， 得，即两方程有且仅有1个公共根. 将代入两个方程得 ， ①②得，即. 下面逐一验证公共根的取值： （i）若，则，将代入①得，解得. 此时第一个方程为，解得或，即； 第二个方程为，解得或， 即，满足. 检验判别式：第一个方程， 第二个方程，均满足有两个不等实根的条件； （ii）若，则，将代入①得， 解得，第一个方程两根之积为，故另一根为，不符合要求，舍去； （iii）若，则，将代入①得， 解得，第一个方程两根之积为，故另一根为，不符合要求，舍去. 综上，. 拔高题 一、单选题 1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可. 【详解】由可知，所以对任意的均有意义， 充分性：若数列是等差数列，设公差为，首项为，且， 则， 因为，所以，所以对于任意正整数，集合都是单元素集， 当时，满足已知条件，但是不满足集合中元素为正数，故充分性不成立， 必要性：若对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数， 则对任意正整数，所有对应的为同一个正数，记为， 取，则， 根据等差数列的定义可知：数列是等差数列，故必要性成立， 所以“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的必要不充分条件. 2．（25-26高二下·北京·期末）已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题是一道函数新定义题，核心在于理解集合 的含义，逐一验证给定的三个函数是否满足“若 ，则 ”即可. 【详解】对于①，在上单调递减， ，若，则， 由于与无关， 故，成立， 因此函数是“势函数”； 对于②，，令，得或， 令，得 ； 故函数在上单调递增，在上单调递减， 取，可得 ，， 又， ， 此时，故函数不是“势函数”； 对于③，易知函数在上单调递增， 当时，要使， 那么，若 ，则需 ，且 ； 若 ，则 ，而 ，不等式不可能成立, 故此时； 当 时，要使 ，那么，若 时，； 若 时，，均不成立，故此时； 当 时，要使 ， 那么，若 ，则左边 ，右边为负数，不等式恒成立，此时 ； 若 ，则需 ， 故此时， 若时，存在三种情况，分别为，，； 当时，，，由于， 故； 当时，,，故； 当时,，, 由于，故. 综上所述，函数①③为“势函数”. 二、多选题 3．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）集合，，记.则下列正确的是（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为511 C．当为奇数时，中有个元素 D．当为偶数时，中的元素之和为 【答案】ACD 【分析】集合中的元素都是3的正整数倍数，集合中的元素都是至之间的整数，所以集合中的元素都是至之间3的正整数倍数，构成一个公差为3的等差数列，结合等差数列的相关知识和自然数的规律即可解决本题. 【详解】选项A：“整数端点区间”中的整数个数为，其中， 所以中的元素个数为； 选项B：， 且，指的是至之间所有的正整数倍数，因为，不是的正整数倍数，所以中的最大元素应为510； 选项C：，指的是至之间所有的正整数倍数，除以3的余数的规律是： 除以3余2，除以3余1，除以3余2，除以3余1，……，据此归纳可知， 当为奇数时，除以3余2，当为偶数时，除以3余1， 所以，当为奇数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为， 所以，，由于这些数都是的倍数， 所以中的元素个数为； 选项D：当为偶数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为， 所以，， 中的元素个数为 因为中的元素成公差为3的等差数列，所以其元素之和为 . 【点睛】本题的关键在于读懂集合中的元素就是至之间3的正整数倍数，它们构成了一个公差为3的等差数列. 4．（25-26高二下·重庆·期末）对于函数，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（   ） A．若，则没有最低点 B．若和都有最小值，则有最低点 C．若有最低点，则和都有最小值 D．若有最低点，则或有最小值 【答案】AD 【分析】可以举反例证明选项B、C的命题均为假命题，对A、D，根据“最低点”的定义分析，再分类讨论即可. 【详解】A选项，因为，定义域，所以， 当，， 所以点集中纵坐标可以任意小，没有下界，因此不存在最低点，故A正确. B选项，取，定义域为；取，定义域为. 两函数都有最小值0，但，，交集为空，空集没有最低点，故B错. C选项，取（无最小值），（有最小值0）； 则，，交集， 存在最低点但无最小值，故C错误. D选项，设的最低点为，则或， 若，则且对任意有，即有最小值， 同理若，则有最小值，故或有最小值，故D正确. 三、填空题 5．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【分析】先因式分解化简不等式，再讨论的大小解出不等式即可. 【详解】可化简为， 当时，不等式不成立； 当时，不等式可化简为， 若，则不等式解得，无两个实数解， 若，则不等式解得，要使得整数解恰有2个，那么， 若，则不等式变为，无实数解； 当时，则不等式可化简为， 解得或，整数解有无穷多个，不符合题意， 综上所述，的取值范围为，即的一个取值为4. 四、解答题 6．（26-27高三上·北京·开学考试）给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． (1)当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． (2)当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； (3)若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 【答案】(1)不是列，是列. (2)不存在满足条件的列. (3)满足条件的列个数为. 【分析】（1）紧扣列定义，逐条核对起点、终点、差分合法性与元素互异性即可. （2）存在性否定，利用每步移动均改变奇偶性这一不变量，由步数与终点奇偶性矛盾导出不存在. （3）按列拆解路径，将列一一对应为纵坐标序列，把“取遍 1 到”转化为“序列最大值为 ”，用补集计数求解. 【详解】（1）对序列：末步差分，不属于，不满足条件②，故不是列. 对序列：各步差分依次为，均合法；起点为，终点横坐标，且五个元素互不相同，故是列. （2）不存在. 考察每个格点的的奇偶性．由于每步移动的差分只能为，均使的奇偶性发生改变， 因此列中相邻两点的横、纵坐标之和必一奇一偶． 若列由的全部16个元素组成，则，共15步． 起点满足为偶数，经过奇数步后，终点的必为奇数． 但满足为偶数，矛盾． 故不存在满足条件的列． （3）由于每步移动中坐标只能不变或增加 1，从到必然依次经过每一列． 在固定一列内，每次只能沿竖直方向移动． 若竖直移动方向发生改变，就会重复经过某个格点，与序列中的元素互不相同矛盾， 因此在该列内只能单调移动． 所以从入口纵坐标到出口纵坐标的路径唯一，且恰好覆盖区间内的所有整数． 记各列的出口纵坐标依次为，其中，并记（起点纵坐标）． 则第列覆盖的值区间为． 反过来，任取一组上述出口纵坐标，在每一列内从入口到出口单调移动， 并在最后一列之前的各列出口处向右移动一格，就能唯一得到一个符合定义的序列． 因此上述对应是一一对应． 由于，且每个新区间均包含从而与前一并集相交， 归纳可知所有区间的并集为包含1的连续区间： ． 因此条件等价于． 序列的每个分量均有种取法，共个；其中最大值不超过的有个． 由补集思想，满足条件的列个数为． 7．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2) 【分析】（1）根据三分集合的定义直接判断. （2）根据三分集合及完美三分数的概念举例说明. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 8．（25-26高一下·北京东城·期末）已知集合，．对于集合中的任意元素，记，并将，，…，重新排序为，，…，，且，设，记， ，． (1)若，求； (2)证明：对任意，存在，使得时，； (3)已知，且，是否存在常数，使得时，的最小值为202？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)略。 (3)存在，符合条件的有103，305，709，911 【分析】（1）根据题中定义依次求得，从而求得； （2）先证得，再利用反证法，证明存在，使得时，都有满足，，…，的最小值为0，此时，所以 （3）设，记，，的最大公约数为，先证明，，并记为，则的最小值为，由的最小值为，得.结合，，即，，分别讨论和时的取值可得. 【详解】（1）因为，将重新排列后为， 所以，将重新排列后为， 所以， 同理，． 所以. （2）因为， 所以为，，，…，的最大值，且． 假设存在无穷个满足，，…，的最小值大于0． 把这些的依次设为，，那么显然有． 因为，，所以． 所以与矛盾，假设不成立． 所以不存在无穷个满足，，…，的最小值大于0． 所以存在，使得时，都有满足，，…，的最小值为0，此时，所以 （3）设，记，，的最大公约数为，． 因为，所以时，都有， 所以或，， 显然能整除，，，，即能整除． 同理能整除，，，即能整除，所以，． 由（2）知存在，使得时都有，此时． 所以为，，的最大公约数． 因为当时都有，即， 所以的最小值为，所以当，，的最大公约数时，． 因为，，即，， 所以当时，，不符合题意；当时，，不符合题意； 当时，， 所以要使，当且仅当，的最大公约数为101． 又因为，且， 所以当且仅当或303或707或909时满足题意． 综上所述，存在常数，使得时，的最小值为202， 符合条件的有103，305，709，911. 9．（25-26高一下·北京·期末）给定正整数，定义集合.对任意，定义和的内积为：.若的非空子集满足：对任意互不相同的，都有，则称为“的子集”. (1)当时，设 ，记集合. （i）分别判断和是否为“的子集”，并说明理由； （ii）若集合是的子集，且的元素个数为4，当时，求. (2)当时，若为的子集，证明：中至多有两个元素. 【答案】(1)（i）是 “的子集”， 不是“的子集”； （ii）或者 (2)略 【详解】（1）（i） ， 所以，，， 所以是 “的子集”； 因为所以不是“的子集”. （ii）由（i）得，是 “的子集”， 因为，的元素个数为4， 设，， 所以，，， 所以，， 所以，或者， 所以或者 （2）证明：假设中有三个元素， 记为， 且， 构造一个新元素，， 所以可能为3，1，-1，-3，记， 所以为奇数，所以每个除以8都会余1，（例如，除以8都余1） 所以， 即； 同时， 所以， 所以，即， 即，不成立，与假设矛盾， 所以中至多有两个元素. 【点睛】运用题目所给的条件将问题中的元素代入计算可直接验证是否为的子集，同样，通过设变量可以由的子集找元素. 10．（25-26高一下·北京石景山·期末）设集合 ，定义变换：对任意有序数组，经过变换得到，其中 ，其中表示，中的最小者．记为数组所有元素之和． (1)若，求与； (2)当时，有序数组经过变换得到，再经过变换得到，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据变换的定义可得； （2）分析可知要使最小，须使最小，即在一次变换后，尽可能取到数组中较小的数，由此分析可得. 【详解】（1）根据变换的定义， 若，则， . （2）当时，有序数组由依不同顺序组成， 要使最小，须使最小，即在一次变换后，尽可能取到数组中较小的数， 因此最大的两个数不相邻，也不能排在和中间. 由于每个数最多被取到两次，所以最小时，中含两个1，两个2，一个3， 且两个1相邻，两个2相邻（首项与尾项看作相邻）； 此时，中包含3个1，两个2，且3个1相邻，两个2相邻. 所以的最小值为. 例时，，，. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 基础知识梳理 1.元素与集合 （1）集合中元素的性质:确定性、互异性、无序性. （2）集合与元素的关系:若属于集合则记作;若b不属于集合则记作. （3）集合的表示方法:列举法、描述法. 2.常见数集及其符号表示 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集   3.集合间的基本关系 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合中任意一个元素都是集合中的元素 或 真子集 如果集合但存在元素且 或 相等 集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素 且 空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 4.集合间的基本运算 自然语言 图形语言 符号语言 并集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 或 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合   补集 若全集为则集合A的补集为   5.集合的运算性质 交集 并集 补集 6.常考结论 1.若有限集中有个元素,则的子集有个,真子集有个, 非空子集有个,非空真子集有个. 2. 基础题 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·贵州·开学考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·云南丽江·期末）已知集合，则=（    ） A． B． C． D． 8．（2025高二下·湖北·学业考试）已知集合，，则中元素的个数是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，则（） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合 ，，则__________． 18．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）已知集合，则______，______. 三、解答题 19．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 20．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，集合. (1)求，； (2)设，求. 中档题 一、单选题 1．（贵州省部分学校2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）设集合中的最大值与最小值分别为，，则（    ） A． B． C． D． 6．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．有理数集可表示为 B．所有的素数不都是奇数 C．设a，，，，，则 D．已知，，，则 8．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 11．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，若中有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是______. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 13．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 四、解答题 14．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知方程与方程分别有两个不相等实根，若它们的解集分别为，，且，求，的值及集合，． 拔高题 一、单选题 1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（25-26高二下·北京·期末）已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 3．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）集合，，记.则下列正确的是（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为511 C．当为奇数时，中有个元素 D．当为偶数时，中的元素之和为 4．（25-26高二下·重庆·期末）对于函数，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（   ） A．若，则没有最低点 B．若和都有最小值，则有最低点 C．若有最低点，则和都有最小值 D．若有最低点，则或有最小值 三、填空题 5．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 四、解答题 6．（26-27高三上·北京·开学考试）给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． (1)当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． (2)当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； (3)若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 7．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 8．（25-26高一下·北京东城·期末）已知集合，．对于集合中的任意元素，记，并将，，…，重新排序为，，…，，且，设，记， ，． (1)若，求； (2)证明：对任意，存在，使得时，； (3)已知，且，是否存在常数，使得时，的最小值为202？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，说明理由． 9．（25-26高一下·北京·期末）给定正整数，定义集合.对任意，定义和的内积为：.若的非空子集满足：对任意互不相同的，都有，则称为“的子集”. (1)当时，设 ，记集合. （i）分别判断和是否为“的子集”，并说明理由； （ii）若集合是的子集，且的元素个数为4，当时，求. (2)当时，若为的子集，证明：中至多有两个元素. 10．（25-26高一下·北京石景山·期末）设集合 ，定义变换：对任意有序数组，经过变换得到，其中 ，其中表示，中的最小者．记为数组所有元素之和． (1)若，求与； (2)当时，有序数组经过变换得到，再经过变换得到，求的最小值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $