专题01 知识点1：集合的概念与基本关系 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-表示-关系-应用”为逻辑链，系统整合集合核心知识，提炼“三性辨析+空集讨论+符号规范”解题方法，适配一轮复习基础巩固与易错突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念与关系|19题（含8单选+3多选+3填空+5解答）|元素三性（确定性/互异性/无序性）应用、空集优先讨论策略、数集与点集辨析技巧|从元素特性（概念生成）到集合表示（方法构建），再到子集关系（逻辑推导），形成完整知识链|

知识点1：集合的概念与基本关系 一、集合的基本概念 1. 集合与元素 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体，构成集合的这些对象称为该集合的元素 。通常用大写字母如 表示集合，而用小写字母如 表示集合的元素 。 2. 集合中元素的三个特性 特性 含义 说明 确定性 给定一个集合，任给一个元素，该元素要么属于要么不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况 。 例如“漂亮的花”不能构成集合，因为标准不明确。 互异性 一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次 。 方程 的解集为 ，而非 。 无序性 集合中的元素没有固定的顺序，元素之间是无序的 。 。 高考易错点：解决含参问题时，要注意检验互异性。求解参数后，务必代入检验是否满足互异性。 3. 元素与集合的关系 · 属于：若 是集合 的元素，则称 属于 ，记为 。 · 不属于：若 不是集合 的元素，则称 不属于 ，记为 。 4. 常见数集符号（必背） 数集 符号 说明 自然数集 全体非负整数，含 ，即 正整数集 或 不含 ，即 整数集 有理数集 实数集 包含有理数和无理数 空集 不含任何元素的集合 5. 空集 空集是不包含任何元素的集合，如 ，记为 。 空集的两个重要性质： 1. 空集是任何集合的子集： 。 1. 空集是任何非空集合的真子集： 。 二、集合的表示方法 1. 列举法 将集合的元素逐一列举出来，用花括号括起 。例如：，。 2. 描述法 形式为 ，表示“使 为真的全体 组成的集合” 。例如：，。 易错提醒：描述法中的代表元素是区分集合类型的关键。例如：（定义域）、（值域）、（图象上的点）是三个完全不同的集合。 3. 图像法（Venn图） 用封闭曲线（通常用矩形表示全集，用圆表示子集）直观表示集合的方法 。作用在于直观形象地说明集合间的关系及运算结果，但不能用于证明。 三、集合间的基本关系 1. 子集、真子集、相等 关系 定义 记法 子集 集合 的任意一个元素都是集合 的元素 或 真子集 ，且 中至少有一个元素不属于 或 相等 且 ，即元素完全相同 课标要求：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2. 重要性质与常用结论 · 空集是任何集合的子集，在涉及集合间的基本关系时需优先考虑空集的情况，以防漏解。 · 任何集合都是它本身的子集：。 · 子集关系具有传递性：若 且 ，则 。 · 无理数集用 表示。 3. 子集个数公式 若有限集合 中含有 （）个元素，则： 类型 个数 子集个数 真子集个数 非空子集个数 非空真子集个数 四、高考考情与易错提醒 高考高频考法 考法 说明 数集 vs 点集 看代表元素： 是数， 是点 互异性陷阱 含参问题求解后必须代入检验 空集漏解 含参问题中优先考虑空集情况 符号区分 与 不能混淆 易错提醒 易错点 对策 忽视互异性 求解参数后，代入检验元素是否重复 忽视空集 含参问题中优先讨论空集 混淆数集与点集 明确代表元素含义 符号乱用 表示元素与集合关系， 表示集合与集合关系 本考点一句话总结：抓三性（确定、互异、无序），辨两集（数集与点集），防一坑（空集漏解与参数致重复），记符号（ 与 不混淆）。 实战演练 一、单选题 1.下面关于集合的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明。群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设 是一个非空集合，""是 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ① 对任意的 ，有 ； ② 对任意的 ，有 ； ③ 存在 ，使得对任意的 ，有 ，称为单位元； ④ 对任意的 ，存在 ，使 ，称 与 互为逆元。 则称 关于""构成一个群。则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集 关于数的加法构成群 C. 实数集 关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 3.若 为单元素集合，则 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4.已知 为实数，集合 ，，且 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.当一个非空数集 满足：如果 ，那么 且当 时， 时，我们称 就是一个数域。有以下关于数域的说法：① 0 是任何数域的元素；② 若数域 有非零元素，则 ；③ 集合 是一个数域；④ 有理数集是一个数域。其中正确的说法是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 6.集合 的元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7.集合 的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8.已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 二、多选题 9.下列说法正确的是（ ） A. 由1,2,3组成的集合可表示为 或 B. 与 是同一个集合 C. 集合 与集合 是同一个集合 D. 集合 与集合 是同一个集合 10.若集合 ，且 ，则 的值可能是（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 4 11.当一个非空数集 满足"如果 ，则 ，且 时，"时，我们称 是一个数域。以下四个关于数域的命题中真命题的是（ ） A. 0是任何数域中的元素； B. 若数域 中有非零元素，则 ； C. 集合 是一个数域； D. 有理数集 是一个数域。 三、填空题 12.已知集合 ，且 ，则 ______. 13.已知集合 ，，，设 ，令 表示集合 所含元素的个数，则 ______. 14.已知集合 ，，集合 中所有元素的乘积称为集合 的"累积值"，且规定：当集合 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为 0。设集合 的累积值为 。 (1) 若 ，则这样的集合 共有 ______ 个； (2) 若 为偶数，则这样的集合 共有 ______ 个。 四、解答题 15.已知集合 （ 且 ），，且 。若对任意 ，（），当 时，存在 （）使得 ，则称 是 的 元好子集。 (1) 判断下列集合是否是 的 3 元好子集：① ；② ；（直接写出结果，不需要说明理由） (2) 若 是 的4元好子集，求 的最小值； (3) 若 是 （ 且 ）的 元好子集，求证：，并指出等号成立的条件。 16.已知集合 。 (1) 求 满足的条件； (2) 若 ，求 的值。 17.用列举法表示下列集合： (1) 方程 的解组成的集合； (2) 函数 的图象与坐标轴的交点组成的集合。 18.已知 ，，若 ，，求实数 组成的集合 的真子集。 19.设集合 满足 ，若由 个元素组成的 的子集族满足：任意5个子集的交集非空，任意6个子集的交集为空集。求 的最大值。 参考答案 一、单选题 1. 答案：C 解析： A错误：根据集合的无序性，，故A不正确。 B错误：左边是点集，表示直线上的所有点；右边是空集，二者不相等。 C正确：集合与均表示大于1的实数，代表元素名称不影响集合本质，因此两集合相等 。 D错误：表示不含任何元素的空集，而含有一个元素0，两者不是同一个集合 。 2. 答案：D 解析： 根据群的定义逐项验证： A错误：关于数的乘法不封闭，如；且0无逆元，不满足群的定义。 B错误：自然数集关于加法无逆元，如1的逆元，不构成群。 C错误：实数集关于乘法，0无逆元，不构成群。 D正确：关于加法满足： 封闭性： 结合律：加法自然满足 单位元： 逆元：的逆元为 故D正确。 3. 答案：B 解析： 由题意，当取和时，的值相等，即 化简得： 检验互异性：当时，和，代入均得0，集合为，是单元素集，符合题意。故选B。 4. 答案：A 解析： 由，，，分两种情况讨论： 情况一： 则或，或，结合互异性，与不能相等，且不能等于2，故得或，此时。 情况二： 代入得，即，解得或。同理可得或，。 综上，。故选A。 5. 答案：A 解析： ①正确：取，由，得 。 ②正确：若有非零元素，则，通过反复加法可得任意正整数，故 。 ③错误：是偶数集，但，不满足除法封闭性，故不是数域 。 ④正确：有理数集对加减乘除（除数非零）均封闭，是数域 。 6. 答案：A 解析： 常包含0，故，共5个元素。故选A。 7. 答案：D 解析： 解不等式，，得，故，共3个元素。 子集个数为。故选D 。 8. 答案：B 解析： 因为所以 因为是整数，所以A = { -1, 0, 1, 2 }，故集合A共有个子集. 故选：B 二、多选题 9. 答案：AD 解析： A正确：集合具有无序性， 。 B错误：不含元素，含一个元素0，两者不同 。 C错误：是定义域，是值域，不是同一个集合 。 D正确：方程的两根为和，故集合 。 10. 答案：BC 解析： 由，，分情况讨论： 1.若，则或。 时，（重复），不满足互异性。 时，，满足互异性，符合题意。 2.若，则，同1，不满足互异性。 3.若，即，解得或。 时，，满足互异性，符合题意。 时，（重复），不满足互异性。 综上，或，故选BC。 11. 答案：ABD 解析： A正确：取，则，故0是任何数域中的元素 。 B正确：若有非零元素，则，反复加法得 。 C错误：集合是偶数集，但，不满足除法封闭性 。 D正确：有理数集对加减乘除（除数非零）均封闭，是数域 。 三、填空题 12. 答案： 解析： 由，，分两种情况： 若，则，，违反互异性，舍去。 若，则或。（舍），时，，满足互异性。 故 。 13. 答案：3720 解析： 因为表示集合所含元素的个数，其中 (i) 整除的有(1,1), (2,1), (3,1), (2,2), (3,3)共5个. (ii) 整除的有：①1整除的有2028个；②2整除的有2028/2=1014个；③3整除的有2028/3=676个. 其中重复的有(1,1), (2,2), (3,3)共3个. 所以 14. 答案：(1) 2 (2) 13 解析： (1) 乘积为3的子集有：（累积值3）、（累积值），共2个。 (2) 集合的所有子集共个。 空集累积值为0（偶数），计1个。 累积值为奇数的子集只有（1）、（3）、（3），共3个。 故累积值为偶数的子集个数为个。 四、解答题 15. 解： (1) ① 是的3元好子集；② 是的3元好子集。 (2) 设是的4元好子集，且。 由好子集定义，对任意，若，则。 考察最小的两个元素，则，且，故为中某一元素。 为使和最小，应取尽可能小的元素。经分析，满足条件，其和为，且可验证为好子集。 故的最小值为14。 (3) 证明：设是的元好子集，且。 由好子集定义，对任意，若，则。 考虑中的最小元素和最大元素，则或。 若，则，与为最大元素矛盾（除非，但正整数集不含0），故。 同理可证，，…… 将上述个不等式相加，得，即。 由于均为正整数，故。 等号成立当且仅当（）且时取到。 16. 解： (1) 由集合元素的互异性，得， 即， 整理得， 即， 故。 又为实数，故满足的条件为。 (2) 若，则或。 ，解得，但由(1)知，舍去。 若，即，解得或。 （舍），时，，满足互异性。 故。 17. 解： (1) 方程的解为（重根）和， 由集合元素的互异性，解组成的集合为。 (2) 函数的图象与坐标轴的交点： 与轴交点：令，得，交点坐标为。 轴交点：令，得，解得，交点坐标为。 故交点组成的集合为。 18.解： 由，得，故或。 无实数解。 ，解得或。 由，得，故或或。 ，解得。 ，解得。 ，解得。 同时满足两个条件的为或。 当时，，，满足条件。 当时，，，满足条件。 故。 的真子集为：，，，共3个。 19. 解： 由题意，任意5个子集有公共元素，任意6个子集的交集为空集。 考虑集合的每个元素，设其出现在个子集中（），则。 由"任意6个交集为空"，知每个元素最多出现在5个子集中（否则若某元素出现在6个及以上子集中，这6个子集的交集非空，矛盾），故。 由"任意5个交集非空"，知任意5个子集必有公共元素，即子集族中任意5个子集的交集不为空，这要求子集族中元素分布足够集中。 由组合极值理论，的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $