17.2 用公式法分解因式 课时作业 2026-2027学年人教版数学 八年级 上册

**基本信息** 人教版数学八年级上册17.2用公式法分解因式同步练，分3课时（平方差公式、完全平方公式、综合运用），以“基础巩固—灵活应用—综合提升”分层设计，强化公式逆用能力与“一提二套三检查”步骤，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用|选择填空聚焦概念辨析（如公式条件判断）、基础运算（如4a²-25b²分解），强化符号意识与运算能力| |提升层|公式灵活应用|解答题含整体代换（如(x+y)²-4）、几何解释（面积验证公式），发展几何直观与推理意识| |综合层|公式综合应用|综合课时整合提公因式与公式法（如3x²-12分解），设置错误诊断题（如分解不彻底案例），培养模型观念与批判性思维|

人教版数学八年级上册 第十七章　因式分解 17.2　用公式法分解因式　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【作业说明】本作业依据人教版数学八年级上册第十七章 17.2「用公式法分解因式」编写，共设三个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　用平方差公式分解因式； 第 2 课时　用完全平方公式分解因式； 第 3 课时　因式分解的综合运用。 说明：本节的两个公式都是 16.3 中乘法公式的逆用；分解因式时要坚持「一提二套三检查」，本节不涉及十字相乘法与分组分解法的复杂情形。 因式分解的一般步骤 因式分解的三步走 17.2　用公式法分解因式 第 1 课时　用平方差公式分解因式 一、知识梳理 1. 平方差公式（因式分解形式）： a² - b² = (a + b)(a - b)，即「两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积」。 2. 它是乘法公式的逆用： 乘法：(a + b)(a - b) = a² - b²（由积到和）； 分解：a² - b² = (a + b)(a - b)（由和到积）。 3. 几何解释： 分解因式与整式乘法互为逆过程 平方差公式的几何解释 4. 能用平方差公式的两个条件（缺一不可）： ① 多项式恰好是两项； ② 这两项都能写成平方的形式，且符号一正一负（是平方差）。 5. 公式中的 a、b 可以是数、单项式，也可以是多项式。 例如：4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x + 3)(2x - 3)； 　　　(x + y)² - 1 = [(x + y) + 1][(x + y) - 1] = (x + y + 1)(x + y - 1)。 【易错警示】 ① a² + b² 不能分解！只有平方差才能用这个公式。 ② 先看有没有公因式：4x² - 16 应先提 4，得 4(x² - 4)，再分解为 4(x + 2)(x - 2)。 ③ 开平方时系数也要开：4x² = (2x)²，不是 (4x)²。 ④ 分解要彻底：x⁴ - 1 = (x² + 1)(x² - 1) 还没完，要继续分解成 (x² + 1)(x + 1)(x - 1)。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 把 x² - 9 分解因式，结果是（　　） A. (x + 3)(x - 3)　　B. (x - 3)²　　C. (x + 9)(x - 9)　　D. (x + 3)² 2. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A. x² + 4　　B. x² - 4　　C. -x² - 4　　D. x² + 4x 3. 把 4a² - 25b² 分解因式，结果是（　　） A. (4a + 25b)(4a - 25b)　　　　　　　B. (2a + 5b)(2a - 5b) C. (2a - 5b)²　　　　　　　　　　　　D. (4a + 5b)(a - 5b) 4. 把 2x² - 8 分解因式，结果是（　　） A. 2(x² - 4)　　　　　　　　　　　　 B. (2x + 4)(x - 2) C. 2(x + 2)(x - 2)　　　　　　　　　 D. 2(x + 4)(x - 4) 5. 把 x⁴ - 1 分解因式，结果是（　　） A. (x² + 1)(x² - 1)　　　　　　　　　B. (x² + 1)(x + 1)(x - 1) C. (x + 1)²(x - 1)²　　　　　　　　　D. (x² - 1)² （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 平方差公式的因式分解形式是 ____________________，它是 ____________ 的逆用。 7. 分解因式：a² - 16 = ____________________。 8. 分解因式：9m² - n² = ____________________。 9. 分解因式：3x² - 27 = ____________________。 10. 用简便方法计算：51² - 49² = ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（20 分）把下列各式分解因式。 (1) x² - 25；　　　　　　　　　(2) 16a² - 9b²； (3) 4 - 25y²；　　　　　　　　 (4) 2m² - 18； (5) x⁴ - 16。 12.（14 分）把下列各式分解因式（把整体看作公式中的 a 或 b）。 (1) (x + y)² - 4； (2) (2a + b)² - (a - b)²； (3) 9(m - n)² - 4。 13.（12 分）用简便方法计算。 (1) 102² - 98²； (2) 2025² - 2024²； (3) 1.2² - 0.8²。 14.（14 分）如图，从边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（a > b），再把剩下的部分剪拼成一个长方形。 第 14 题图 (1) 分别用含 a、b 的式子表示剪拼前后图形的面积； (2) 由面积相等写出一个等式，它就是哪一个公式？ (3) 若 a = 10 cm，b = 4 cm，用这个公式求剩下部分的面积。 17.2　用公式法分解因式 第 2 课时　用完全平方公式分解因式 一、知识梳理 1. 完全平方公式（因式分解形式）： a² + 2ab + b² = (a + b)²；　a² - 2ab + b² = (a - b)²。 可以合起来记作 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。 2. 完全平方式：能写成 (a ± b)² 的多项式，叫做完全平方式。 3. 识别完全平方式的方法： 完全平方式的三项结构 ① 多项式恰好是三项； ② 其中两项能写成平方的形式，且符号都是正； ③ 第三项恰好是这两个数积的 2 倍（符号可正可负）。 4. 几何解释： a² + 2ab + b² = (a + b)² 的几何解释 5. 中间项符号决定结果的符号： 中间是「+」→ (a + b)²；　中间是「-」→ (a - b)²。 6. 公式中的 a、b 同样可以是单项式或多项式。 例如：4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = (2x + 3)²。 【易错警示】 ① 中间项必须是两倍：x² + 3x + 9 不是完全平方式，因为 2 × x × 3 = 6x ≠ 3x。 ② 两个平方项的符号必须都是正：x² - 2x - 1 不是完全平方式。 ③ 结果写成 (a - b)² 而不是 (b - a)² 都可以，两者相等；但不能写成 a² - b²。 ④ 同样要先提公因式：2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)²。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 把 x² + 6x + 9 分解因式，结果是（　　） A. (x + 3)²　　B. (x - 3)²　　C. (x + 9)²　　D. (x + 3)(x - 3) 2. 把 a² - 4a + 4 分解因式，结果是（　　） A. (a + 2)²　　B. (a - 2)²　　C. (a - 4)²　　D. (a + 2)(a - 2) 3. 下列各式中，是完全平方式的是（　　） A. x² + 2x + 4　　B. x² + 4x + 4　　C. x² - 2x - 1　　D. x² + x + 1 4. 把 4x² - 12x + 9 分解因式，结果是（　　） A. (2x - 3)²　　B. (2x + 3)²　　C. (4x - 3)²　　D. (2x - 9)² 5. 若 x² + mx + 16 是完全平方式，则 m 的值是（　　） A. 4　　B. 8　　C. ±8　　D. ±4 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 完全平方公式的因式分解形式是 ____________________ 与 ____________________。 7. 分解因式：x² + 10x + 25 = ____________。 8. 分解因式：m² - 8m + 16 = ____________。 9. 分解因式：3a² + 6a + 3 = ____________________。 10. 若 4x² + kx + 9 是完全平方式，则 k = ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（20 分）把下列各式分解因式。 (1) x² + 8x + 16；　　　　　　　(2) y² - 6y + 9； (3) 9a² + 12ab + 4b²；　　　　　(4) 2x² - 8x + 8； (5) -x² + 4x - 4。 12.（14 分）如图，把一个边长为 (a + b) 的正方形分成四块。 第 12 题图 (1) 用两种方法表示这个大正方形的面积； (2) 由面积相等写出一个等式，从右到左看它是哪一个公式？ (3) 利用这个公式把 x² + 14x + 49 分解因式。 13.（12 分）已知 a + b = 6，ab = 5。 (1) 求 a² + 2ab + b² 的值（先分解因式再代入）； (2) 求 a² + b² 的值； (3) 求 (a - b)² 的值。 14.（14 分）小明在分解因式 x² + 4x + 4 时写成 (x + 2)(x + 2)，小华写成 (x + 2)²，小丽写成 (x + 4)²。 (1) 谁的结果是错的？请说明理由； (2) 小明与小华的结果本质上相同吗？通常写成哪一种更规范？ (3) 请说出识别完全平方式的三个要点。 17.2　用公式法分解因式 第 3 课时　因式分解的综合运用 一、知识梳理 1. 因式分解的一般步骤（本章总纲）： 一提、二套、三查 ① 一提：先看各项有没有公因式，有就先提出来； ② 二套：再看剩下的部分能不能套用平方差公式或完全平方公式； ③ 三查：检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分为止。 2. 两个公式的选用： 多项式的项数 优先考虑 判断依据 两项 平方差公式 两项都是平方，且一正一负 三项 完全平方公式 两项是平方且为正，第三项是它们积的 2 倍 三项以上 先提公因式 提完后再看项数 3. 因式分解的常见应用： ① 简便计算：把算式化成积的形式再算； ② 化简求值：先分解因式，再整体代入； ③ 几何应用：用面积或体积关系解释公式。 4. 常见错误对照： 因式分解的常见错误 5. 检验的方法：把分解的结果用整式乘法乘回去，看是否等于原多项式。 【易错警示】 ① 最容易忘的就是「一提」：3x² - 3 要先提 3，再用平方差，得 3(x + 1)(x - 1)。 ② 分解不彻底：x⁴ - y⁴ = (x² + y²)(x² - y²) 还要继续分解。 ③ a² + b² 与 a² + 2ab - b² 都不能用本节公式分解。 ④ 首项为负时，先把负号提出：-x² + 6x - 9 = -(x² - 6x + 9) = -(x - 3)²。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 把 3x² - 12 分解因式，结果是（　　） A. 3(x² - 4)　　　　　　　　　　　　 B. 3(x + 2)(x - 2) C. (3x + 6)(x - 2)　　　　　　　　　 D. 3(x + 4)(x - 4) 2. 把 ax² + 2ax + a 分解因式，结果是（　　） A. a(x² + 2x + 1)　　B. a(x + 1)²　　C. (ax + 1)²　　D. a(x + 1)(x - 1) 3. 下列因式分解不彻底的是（　　） A. x² - 4 = (x + 2)(x - 2)　　　　　　B. 2x² - 8 = 2(x² - 4) C. x² + 2x + 1 = (x + 1)²　　　　　　 D. 3x - 3 = 3(x - 1) 4. 把 -2x² + 12x - 18 分解因式，结果是（　　） A. -2(x - 3)²　　B. 2(x - 3)²　　C. -2(x + 3)²　　D. -2(x² - 6x + 9) 5. 把 x⁴ - y⁴ 分解因式，结果是（　　） A. (x² + y²)(x² - y²)　　　　　　　　 B. (x² + y²)(x + y)(x - y) C. (x² - y²)²　　　　　　　　　　　　 D. (x + y)²(x - y)² （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 因式分解的一般步骤可以概括为：一 ________、二 ________、三 ________。 7. 分解因式：2a² - 8 = ____________________。 8. 分解因式：3x² - 6x + 3 = ____________________。 9. 分解因式：a³ - a = ____________________。 10. 已知 x + y = 4，x - y = 2，则 x² - y² = ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（20 分）把下列各式分解因式（注意分解彻底）。 (1) 4x² - 36；　　　　　　　　　(2) 3a² - 12a + 12； (3) x³ - 4x；　　　　　　　　　 (4) m⁴ - 16； (5) -3y² + 6y - 3。 12.（14 分）用简便方法计算。 (1) 99² - 1； (2) 34² + 34 × 32 + 16²； (3) 2025² - 2 × 2025 × 2024 + 2024²。 13.（12 分）先分解因式，再求值。 (1) x² - 9，其中 x = 13； (2) a² - 2ab + b²，其中 a = 105，b = 95； (3) 2m² - 8，其中 m = 12。 14.（14 分）阅读与探究。 小明在分解因式 x⁴ - 16 时，是这样做的： x⁴ - 16 = (x²)² - 4² = (x² + 4)(x² - 4)。 (1) 小明的分解彻底了吗？为什么？ (2) 请写出完整、彻底的分解过程； (3) 说明为什么 (x² + 4) 不能再分解。 参考答案与解析 第 1 课时　用平方差公式分解因式 一、选择题 1. A　【解析】x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)。 2. B　【解析】用平方差公式要求是两项的平方差。 A 是平方和，不能分解；C 两项都是负的，也不是平方差；D 只能提公因式。 3. B　【解析】4a² = (2a)²，25b² = (5b)²，所以原式 = (2a)² - (5b)² = (2a + 5b)(2a - 5b)。 A 的错误在于开平方时系数没有开。 4. C　【解析】先提公因式 2：2x² - 8 = 2(x² - 4)； 再用平方差公式：= 2(x + 2)(x - 2)。A 分解不彻底。 5. B　【解析】x⁴ - 1 = (x²)² - 1² = (x² + 1)(x² - 1)， 其中 x² - 1 还能继续分解为 (x + 1)(x - 1)，所以结果是 (x² + 1)(x + 1)(x - 1)。 二、填空题 6. a² - b² = (a + b)(a - b)；乘法公式（整式乘法） 7. (a + 4)(a - 4) 8. (3m + n)(3m - n) 9. 3(x + 3)(x - 3) 【解析】先提公因式 3 得 3(x² - 9)，再用平方差公式。 10. 200 【解析】51² - 49² = (51 + 49)(51 - 49) = 100 × 2 = 200。 三、解答题 11.（1）x² - 25 = (x + 5)(x - 5)。 （2）16a² - 9b² = (4a)² - (3b)² = (4a + 3b)(4a - 3b)。 （3）4 - 25y² = 2² - (5y)² = (2 + 5y)(2 - 5y)。 （4）2m² - 18 = 2(m² - 9) = 2(m + 3)(m - 3)。 （5）x⁴ - 16 = (x² + 4)(x² - 4) = (x² + 4)(x + 2)(x - 2)。 12.（1）把 (x + y) 看作整体： (x + y)² - 2² = (x + y + 2)(x + y - 2)。 （2）(2a + b)² - (a - b)² = [(2a + b) + (a - b)][(2a + b) - (a - b)] = (2a + b + a - b)(2a + b - a + b) = 3a(a + 2b)。 （3）9(m - n)² - 4 = [3(m - n)]² - 2² = [3(m - n) + 2][3(m - n) - 2] = (3m - 3n + 2)(3m - 3n - 2)。 13.（1）102² - 98² = (102 + 98)(102 - 98) = 200 × 4 = 800。 （2）2025² - 2024² = (2025 + 2024)(2025 - 2024) = 4049 × 1 = 4049。 （3）1.2² - 0.8² = (1.2 + 0.8)(1.2 - 0.8) = 2 × 0.4 = 0.8。 14.（1）剪拼前剩下部分的面积是 a² - b²； 剪拼后是长为 (a + b)、宽为 (a - b) 的长方形，面积是 (a + b)(a - b)。 （2）等式：a² - b² = (a + b)(a - b)，它就是平方差公式（因式分解形式）。 （3）当 a = 10，b = 4 时， 剩下部分的面积 = (10 + 4)(10 - 4) = 14 × 6 = 84（cm²）。 （直接算 10² - 4² = 100 - 16 = 84，结果一致，但用公式更便于口算。） 第 2 课时　用完全平方公式分解因式 一、选择题 1. A　【解析】x² + 6x + 9 = x² + 2 × x × 3 + 3² = (x + 3)²。 2. B　【解析】a² - 4a + 4 = a² - 2 × a × 2 + 2² = (a - 2)²，中间是负号，结果取 (a - 2)²。 3. B　【解析】A 中 2 × x × 2 = 4x ≠ 2x；C 中最后一项是 -1，不是正的平方项； D 中 2 × x × 1 = 2x ≠ x。只有 B：x² + 2 × x × 2 + 2² = (x + 2)²。 4. A　【解析】4x² = (2x)²，9 = 3²，中间项 2 × 2x × 3 = 12x，符号为负，所以是 (2x - 3)²。 5. C　【解析】x² + mx + 16 中 16 = 4²，要成为完全平方式需 mx = ±2 × x × 4 = ±8x， 所以 m = 8 或 m = -8，即 m = ±8。（漏掉负值是本题最常见的错误。） 二、填空题 6. a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)² 7. (x + 5)² 8. (m - 4)² 9. 3(a + 1)² 【解析】先提公因式 3 得 3(a² + 2a + 1)，再套完全平方公式。 10. ±12 【解析】4x² = (2x)²，9 = 3²，中间项应为 ±2 × 2x × 3 = ±12x，所以 k = ±12。 三、解答题 11.（1）x² + 8x + 16 = (x + 4)²。 （2）y² - 6y + 9 = (y - 3)²。 （3）9a² + 12ab + 4b² = (3a)² + 2 × 3a × 2b + (2b)² = (3a + 2b)²。 （4）2x² - 8x + 8 = 2(x² - 4x + 4) = 2(x - 2)²。 （5）-x² + 4x - 4 = -(x² - 4x + 4) = -(x - 2)²。 （首项为负，先把负号提出来，括号内各项变号） 12.（1）方法一（整体）：面积 = (a + b)²； 方法二（分块）：面积 = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²。 （2）等式 a² + 2ab + b² = (a + b)²。从右到左看是整式乘法，从左到右看就是因式分解， 即完全平方公式（因式分解形式）。 （3）x² + 14x + 49 = x² + 2 × x × 7 + 7² = (x + 7)²。 13.（1）a² + 2ab + b² = (a + b)² = 6² = 36。 （2）a² + b² = (a + b)² - 2ab = 36 - 2 × 5 = 26。 （3）(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 36 - 4 × 5 = 16。 14.（1）小丽的结果是错的。 【理由】(x + 4)² = x² + 8x + 16 ≠ x² + 4x + 4；她把常数项 4 当成了「尾」的平方， 实际上 4 = 2²，「尾」是 2 而不是 4，且中间项 2 × x × 2 = 4x 恰好吻合。 （2）本质相同。因为 (x + 2)(x + 2) 就是 (x + 2)²， 但通常写成幂的形式 (x + 2)² 更规范、更简洁。 （3）三个要点：共三项；两项是平方且为正；第三项是这两个数积的 2 倍（符号可正可负）。 第 3 课时　因式分解的综合运用 一、选择题 1. B　【解析】先提公因式 3 得 3(x² - 4)，再用平方差公式得 3(x + 2)(x - 2)。 A 分解不彻底；C 没有先提公因式，形式不规范。 2. B　【解析】先提公因式 a 得 a(x² + 2x + 1)，再套完全平方公式得 a(x + 1)²。A 分解不彻底。 3. B　【解析】2x² - 8 = 2(x² - 4) 中的 x² - 4 还能继续分解，所以不彻底；其余三项都已分解到底。 4. A　【解析】先提 -2：-2x² + 12x - 18 = -2(x² - 6x + 9)， 再套完全平方公式得 -2(x - 3)²。D 只提了公因式，没有套公式。 5. B　【解析】x⁴ - y⁴ = (x² + y²)(x² - y²)，其中 x² - y² 还能分解， 所以结果是 (x² + y²)(x + y)(x - y)。 二、填空题 6. 提；套；查 7. 2(a + 2)(a - 2) 8. 3(x - 1)² 9. a(a + 1)(a - 1) 【解析】a³ - a = a(a² - 1) = a(a + 1)(a - 1)，先提公因式 a，再用平方差公式。 10. 8 【解析】x² - y² = (x + y)(x - y) = 4 × 2 = 8。 三、解答题 11.（1）4x² - 36 = 4(x² - 9) = 4(x + 3)(x - 3)。 （2）3a² - 12a + 12 = 3(a² - 4a + 4) = 3(a - 2)²。 （3）x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x + 2)(x - 2)。 （4）m⁴ - 16 = (m² + 4)(m² - 4) = (m² + 4)(m + 2)(m - 2)。 （5）-3y² + 6y - 3 = -3(y² - 2y + 1) = -3(y - 1)²。 12.（1）99² - 1 = 99² - 1² = (99 + 1)(99 - 1) = 100 × 98 = 9800。 （2）注意 34 × 32 = 2 × 34 × 16，所以 原式 = 34² + 2 × 34 × 16 + 16² = (34 + 16)² = 50² = 2500。 （3）2025² - 2 × 2025 × 2024 + 2024² = (2025 - 2024)² = 1² = 1。 【方法总结】看到「a² ± 2ab + b²」的结构就想到完全平方公式，看到「a² - b²」就想到平方差公式，可以把大数运算变成口算。 13.（1）x² - 9 = (x + 3)(x - 3)； 当 x = 13 时，原式 = 16 × 10 = 160。 （2）a² - 2ab + b² = (a - b)²； 当 a = 105，b = 95 时，原式 = (105 - 95)² = 10² = 100。 （3）2m² - 8 = 2(m + 2)(m - 2)； 当 m = 12 时，原式 = 2 × 14 × 10 = 280。 14.（1）没有彻底。 【理由】结果中的 (x² - 4) 还是一个平方差，可以继续分解。 （2）完整过程： x⁴ - 16 = (x²)² - 4² = (x² + 4)(x² - 4) = (x² + 4)(x + 2)(x - 2)。 （3）因为 x² + 4 是平方和而不是平方差，本节的两个公式都不适用； 它也没有公因式可提，所以在现阶段不能再分解。 【小结】口诀「平方差能分，平方和不能分」。 【学后反思】本节两个公式都是 16.3 乘法公式的逆用，关键在于「认结构」：两项想平方差（一正一负、都能开平方），三项想完全平方（两平方项为正、中间是积的 2 倍）。而做题的固定流程是「一提二套三检查」——先提公因式，再套公式，最后检查是否分解彻底。这三步中，「一提」最容易被忘记，「三查」最容易被忽略，养成习惯就能避免大部分失分。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $