17.2 用公式法分解因式 课后同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册“用公式法分解因式”新授课同步练，通过“基础-提升-拓展”三级分层，覆盖公式应用、综合分解及实际情境，培养运算能力与推理意识，适配课时目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式识别与应用（平方差、完全平方）|以选择填空为主（如第1-4题公式适用性判断），强化概念理解| |提升|综合分解（分组、提公因式与公式结合）|含密码编译情境（第5题）、分组方法辨析（第6题），培养推理能力| |拓展|实际情境与创新方法（添拆项、十字相乘法、几何应用）|结合电阻计算（第17题）、几何面积（第13题），深化模型意识与应用能力|

17.2 用公式法分解因式 课后同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美．现将因式分解，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．怀化游 C．美我怀化 D．爱我怀化 6．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，为的三边长，且满足，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 9．若，，则的值为________． 10．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是_____． 11．计算__（用幂的形式表示）． 12．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 13．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 三、解答题 14．计算、因式分解 (1) (2) (3) (4) 15．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2） 问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形状等腰三角的形状． 16．对于二次三项式，不能直接用公式法，我们可以在二次三项式中先加上一项，构造完全平方式，再减去．例如：．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． (1)请用上述方法把分解因式． (2)多项式有最小值吗？如果有，请求出多项式的最小值和x的值． 17．如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，时，求的值． 18．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C D D A C 1．【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 2．【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式乘法与因式分解的公式判断，利用平方差公式和整式乘法展开验证各选项，即可得出结论． 【详解】解：∵平方差公式为，逐项验证， 、，符合平方差公式，等式一定成立，符合题意； 、∵， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵， ∴等式不成立，不符合题意． 3．【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解．将视为整体，应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将表达式因式分解，得到四个因式，分别对应给定的汉字，组合后得到密码即可． 【详解】解： ， 对应汉字：爱，我，化，怀， ∴组合后的密码为“爱我怀化”， 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】分组分解法 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 7．【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定 【分析】对已知等式变形配方，利用平方数的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵，，， ∴， 可得 ， ∴是等边三角形． 9．【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是平方差公式，灵活运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．根据平方差公式得到，将已知条件代入，进而求出式子的值． 【详解】解：根据平方差公式，得， 将，代入上式，得， 两边同时除以，得． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 多项式能用完全平方公式分解，设多项式可分解为，则，那么，解得，然后分两种情况，求出的值即可． 【详解】解：设多项式可分解为， 那么， 则，解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】利用提公因式法提公因式，即可得结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号． 12．【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式除以单项式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了整式的混合运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解的方法是关键． （1）利用单项式的除法和乘法计算即可； （2）利用单项式的乘法和单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4） 15．【答案】问题1：③；问题2：（1）；（2）；问题3：等腰三角形 【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查的是因式分解，提公因式法、平方差公式和完全平方公式是常用的因式分解法． 问题1：确定分组分解的关键步骤； 问题2：利用分组分解法进行因式分解； 问题3：利用分组分解法进行因式分解，再判定三角形的形状． 【详解】解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解， 故选③； 问题2：（1） ； （2） ； 问题3：， ， ， ， ，，是的三边， 不可能是0， ， ， ∴是等腰三角形． 16．【答案】(1) (2)有最小值，最小值是，． 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（1）仿照例题的做法解答即可； （2）利用例题的做法先将原式变形为，再根据完全平方式的非负性解答． 【详解】（1）解：（1）原式 ． （2）解：． ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是，此时． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． 17．【答案】88 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解．根据电压计算公式直接代值计算求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴， ∴． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，仿照题中例题求解过程分解因式即可． 【详解】（1）解：如图， 由图知． （2）解：如图， 由图知． （3）解：如图， 由图知． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $