精品解析：重庆市七校联盟2026届高三上学期第一次适应性（开学）考试数学试题

重庆市七校联盟2025年秋期第一次适应性考试 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要先分别求出集合和集合，再根据交集的定义求出. 【详解】已知集合，，所以. 故选：C. 2. 已知函数 ，则（ ） A. - 1 B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令解方程即得答案. 【详解】由求导得：， 令得：， 解得. 故选：D 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：B. 4. 已知函数，若下图是函数图象的一部分，则可能等于 （ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得为奇函数，根据奇偶性的定义，结合定义域和函数值的正负，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】根据图象关于原点对称，可得为在R上的奇函数， 选项A：若， 则， 所以为奇函数， 当时，， 所以，， 所以， 所以时，，符合题意； 选项B：若， 则， 所以为奇函数， 当时，， 所以，， 所以， 所以时，，图象应在x轴下方，故不符合题意； 选项C：若， 则，为偶函数，故不符合题意； 选项D：若，则 所以，即，而图象可以等于0，故不符合题意. 故选：A 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. c>a>b B. c>b>a C. b>c>a D. a>c>b 【答案】B 【解析】 【分析】由换底公式求出，对数函数单调性判断出，与分别与比较，可判断出大小关系. 【详解】，，， ∵，，，，， ∴. 故选：B 6. 已知函数 若关于x方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）. A. B. （0，1] C. D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】由得：.所以或.作出函数 的简图，结合图象判断即可.特别注意:要单独分析当时的情形. 【详解】 函数 的简图如上. 由得：. 当 时，.如图所示，函数图象与直线有3个交点，说明此时方程有3个不相等的实数根.不合题意.所以不等于0. 所以或. 因为关于x的方程 有7个不相等的实数根，方程有3个不相等的实数根，所以方程有4个不相等的实数根，即函数图象与直线有4个不同的交点. 结合函数的简图，可得，所以.所以实数a的取值范围是. 故选：C. 7. 定义在R上的函数满足，且为奇函数，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图象，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即， 又，所以，所以， 即，所以，所以，故A错误； 由知的图象关于对称， 又，所以的图象关于对称， 当时，，作出函数的图象：    由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数， 所以， 所以当，，即在的图象与的图象一致， 所以在单调递减，故B错误； 由，又，在单调递减， 所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数， 所以，故D正确， 故选：D 8. 若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意得，，则，即，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可. 【详解】依题意得，，即，， ，即，， ， ， 又， 同构函数：，， 则， 又， ，，，又， ，在上单调递增，， . 故选：A 点睛】关键点点睛： （1）函数零点即为函数的取值； （2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域； （3）运用导数研究函数的单调性，进而确定； （4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ① ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 10. 若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A直接利用基本不等式即可；B利用“1的代换”，再结合基本不等式；C利用不等式即可；D变形为，再结合对勾函数的单调性即可. 【详解】因，，则， 等号成立时，故A正确； 因，， 则， 等号成立时，故B错误； 因，则，等号成立时，故C正确； 因，，则，等号成立时， 又，则， 因函数在上单调递减，则， 等号成立时，即，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 曲线有唯一一条垂直于直线的切线 C. 曲线有唯一一条平行于直线的切线 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC项，求定义域，求导，得到导函数的单调性，设切点为，由导数几何意义求出方程，求出，求出切线方程，A正确，C错误；B选项，设切点为，根据导数几何意义及垂直关系得到方程，令，在上单调递增，结合特殊点函数值，由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，B正确；D选项，令，， 求导，在上单调递减，又，故，得到在上单调递减，又，从而得到D正确. 【详解】AC选项，的定义域为， ，显然在上为增函数， 设切点为，则，解得， 故切点坐标为，切线方程为，即， 所以是曲线的切线，A正确，C错误； B选项，设切点为，则， 令，显然在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得，存在唯一的，使得， 故曲线有唯一一条垂直于直线的切线，B正确； D选项，令，， 则，， 则，显然在上单调递减， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故当时，，，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数据的方差为3，则数据的方差为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用数据方差的性质求解 【详解】因为数据的方差为3， 所以数据的方差为. 故答案为： 13. 某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有_________种. 【答案】180 【解析】 【分析】根据题意，先确定总值班人次，确定恰有1人值班两天，再对剩余4人，分配情况讨论即可求解. 【详解】总值班人次为，每人需要值班1天或2天， 因此唯一可能的分配是其中1人值班2天，另外4人各值班1天， 先从5人中选出值班两天的1人，有种， 假设选出的1人为甲，需要值班2天，另外4人各值班1天， 第一步，先确定甲值班哪两天：， 第二步，从另外4人中，确定两人值班剩下的那一天，， 第三步，剩下两人分别和甲组合值班，， 所以不同值班方案有， 故答案为：180 14. 已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式. 【详解】由可得， 设，则，是常数函数. 又，， ，， 则不等式(*)， 令，，求导得， 令，，则， 故函数在上单调递增，则，即得， 故函数在上单调递增，又， 则,故可得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）若的解集为，求的值. （2）若a>0，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）可知是方程的解，代入可求出，再解一元二次不等式可求出的值，即可得出答案； （2）不等式变形可得，则讨论三种情况，解不等式得到答案. 【小问1详解】 由题意可知，是方程的解，将代入，可得， 所以，原不等式为，即为，所以原不等式的解集为，所以． 所以. 【小问2详解】 由不等式，可得， 即，故对应方程的两根分别是或， 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 综上所述， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16. 某景区自从实行门票打折、开展沉浸式体验活动、推出特色美食、不断提高服务质量等措施后，旅游人数明显增加.下表是该景区改进措施后，前5个月的旅游人数y（单位：十万）与第x个月的数据； x（月份） 1 2 3 4 5 y（人数） 2 3 5 7 8 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程 并预测第8个月的旅游人数. （2）为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下的列联表： 性别 满意 不满意 合计 男 100 150 女 30 合计 请填写上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为游客是否满意与性别有关. 参考公式：，其中. α 0.050 0.010 0.001 α 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），130万； （2）列联表见解析；能认为游客是否满意与性别有关. 【解析】 【分析】（1）由公式求出回归直线方程，代入预测第8个月的旅游人数. （2）完成表格数据，根据公式求出，判断游客是否满意与性别有关. 【小问1详解】 ，, ， ，则， 当时，，所以预测第8个月的旅游人数为130万人. 【小问2详解】 由题意填写列联表如下： 性别 满意 不满意 合计 男 100 50 150 女 20 30 50 合计 120 80 200 零假设为：游客是否满意与性别无关， ， 所以依据小概率值的独立性检验，我们可以推断不成立， 即认为游客是否满意与性别有关. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性，并求相应极值. （2）若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） 答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导数的定义域和导数，然后根据导数与的大小关系，分情况讨论单调性，进而求出极值. （2）先根据（1）的结论求出函数的最小值，再将不等式恒成立问题转化为关于的不等式，最后通过构造函数求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 对求导得 当时，，即在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，令，即， 解得（舍去，因为） 当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值， 极小值为，无极大值， 综上，当时，在上单调递增，无极值， 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在处取得极小值，也是最小值， 即， 因为关于的不等式恒成立， 所以，即， 化简得，即， 令， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知，所以，当时，， 即当时，. 又因为，所以原不等式即为，根据单调性解得，， 因此，实数的取值范围为. 18. 甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. （1）若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 【答案】（1）(1)的分布列见解析，， （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）由（1）中各事件概率，分别求出甲和乙考核都“达标”的概率及甲、乙至少1人考核“优秀”的概率，再根据条件概率公式即可求得结果. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，即可证明结果. 【小问1详解】 甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ；； ；. X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． 【小问2详解】 （i）由（1）知： 甲考核“达标”概率：； 乙考核“达标”的概率：； 甲考核“优秀”的概率：. 乙考核“优秀”的概率：. 因为甲和乙的测试是相互独立的 所以，甲和乙考核都“达标”的概率：. 甲、乙至少1人考核且都“达标”的概率为 =. 由条件概率得， 当运动员甲和乙考核都“达标”且至少1人考核“优秀”的概率为. （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则，在上单调递增， 又，所以． 综上，． 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. （2）在锐角三角形中，求的最大值. （3）已知正实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，分离参数得，令，求导得到，由可得结果； （2）令，，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，可得，， 因为是上的下凸函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 所以在上恒成立， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 令，， 则，， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【小问3详解】 因为正实数满足， 所以. 令，， 则，， 因为，所以，，， 即， 所以， 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市七校联盟2025年秋期第一次适应性考试 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数 ，则（ ） A - 1 B. C. 0 D. 1 3. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，若下图是函数图象的一部分，则可能等于 （ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. c>a>b B. c>b>a C. b>c>a D. a>c>b 6. 已知函数 若关于x的方程 有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）. A. B. （0，1] C. D. [1，+∞） 7. 定义在R上的函数满足，且为奇函数，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 8. 若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9 已知 则（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 曲线有唯一一条垂直于直线的切线 C. 曲线有唯一一条平行于直线的切线 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数据的方差为3，则数据的方差为_________ 13. 某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有_________种. 14. 已知是定义域为的函数，且满足，则不等式的解集是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）若的解集为，求的值. （2）若a>0，解关于x的不等式. 16. 某景区自从实行门票打折、开展沉浸式体验活动、推出特色美食、不断提高服务质量等措施后，旅游人数明显增加.下表是该景区改进措施后，前5个月旅游人数y（单位：十万）与第x个月的数据； x（月份） 1 2 3 4 5 y（人数） 2 3 5 7 8 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x关系，请建立y关于x的线性回归方程 并预测第8个月的旅游人数. （2）为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，得到如下的列联表： 性别 满意 不满意 合计 男 100 150 女 30 合计 请填写上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为游客是否满意与性别有关. 参考公式：，其中. α 0.050 0.010 0.001 α 3.841 6.635 10828 17. 已知函数 （1）讨论的单调性，并求相应极值. （2）若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 18. 甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y. （1）若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望. （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”. （i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率. （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证： 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. （2）在锐角三角形中，求的最大值. （3）已知正实数满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $