重庆市巴蜀中学校等校2026-2027学年高三上学期适应性月考卷（一）数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．已知，，则是的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（ ）． A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的值是（ ）． A． B．1 C．1或0 D．或0或1 5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）． A． B． C． D． 6．张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考察．要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好安排去“半山崖线”考察的不同安排方法数为（ ）． A．60 B．64 C．72 D．96 7．已知为定义在上的偶函数，为奇函数，，则（ ）． A．-2 B．0 C．1 D．2 8．已知函数．若存在两个不同的非零实数，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 10．阅读是一种很好的休闲方式，可以使人获得内心的宁静与精神的升华．已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ）． A． B． C．若，则 D．设，则 11．已知函数，，，则下列说法正确的是（ ）． A． B．的图象关于原点对称 C．对任意的，（），的最大值与最小值之和为3 D．的解为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知的导函数为，且，则________． 13．已知正实数，满足，则的最小值为________． 14．在平面内，点位于直线的上方，点到点的距离与到直线的距离之积为1，则点纵坐标的取值范围是________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． （1）证明：是棱的中点； （2）锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 16．（本小题满分15分） 已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 18．（本小题满分17分） 在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1，2，3，…，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同； ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束． （1）该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为，求的分布列与数学期望； （2）在取球过程中，记事件“号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”（，），求证：； （3）该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有人（，）， 将剩下未中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一 名队员未中奖的概率为，问为何值时取得最大值． 19．（本小题满分17分） 已知材料：对于函数求导，一般是这样处理：两边同时取对数得，左边是关于的复合函数，两边同时对求导得，．根据材料解决下列问题：已知，． （1）求在处的切线的斜率； （2）求函数在上的最大值； （3）求证：不等式对任意的（）都成立． 巴蜀中学高2027届8月适应性月考（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B C D A A C ABD AC BCD 12.3 13.6 14. 15.（本小题满分13分） （1）证明：如图，连接MO， 平面MAC，平面PBD，平面平面， 所以． 在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点， 所以MO是三角形PBD中位线，则M是棱PD的中点． （2）法一（几何法）：如图，过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE， 因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以． 又，又OE，平面OPE，所以平面OPE． 又平面OPE，所以， 所以为二面角的平面角． 因为四边形ABCD是菱形，，， 所以是等边三角形，所以，， 所以，所以． 在中，． 法二（坐标法）：设， 以OD为x轴，以OA为y轴，以OP为z轴，如图建系． ，，，， ，． 设平面ADP的法向量为， 由， 令得一个法向量． 取平面ADC的一个法向量为， 则， 则． 16.（本小题满分15分） （1）解：，， ，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2得等差数列，则． （2）证明：由（1）得，， 所以， 所以 ． 17.（本小题满分15分） （1）解：由题意，，则，，， 从而椭圆C的方程为． （2）证明：①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ，， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为，联立椭圆得： ，其中恒成立． 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 18.（本小题满分17分） （1）解：由题意，X的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以黑球个数X的分布列如下： X 0 1 2 P 故数学期望为． （2）证明：当时，显然，根据游戏抽取规则， 当时，， 即，则， 于是． 综上，． （3）解：由（2）知，一轮游戏结束后，每名队员盒子中小球的颜色相同的概率 ， 即每名队员中奖的概率为， 则． 由，解得． 又，从而或6． 19.（本小题满分17分） （1）解：，所以， ，， 即切线的斜率为． （2）解：令， ， 得，（舍）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当， ， 所以，． （3）证明：令，则函数的图象关于直线对称． 现证明在上恒成立． ， 而，其中显然， 下面证明． 由（2）知时，，即． 下面证明在上恒成立， ， 由（2）知，，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以不等式对任意的成立． 学科网（北京）股份有限公司 $