3.3 函数的应用(一) 课后同步练习（基础版）-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数应用，以基础理解为起点，通过生活情境问题构建从单一建模到综合应用的巩固路径，分层设计适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|分式方程、二次函数最值等单一建模|如汽车生产时间对比（题1）、粽子销售收入（题2），情境简单直接| |综合应用|分段函数、函数性质交叉应用|如阶梯水价计算（题3）、企业利润分析（题8），需多知识点联动| |拓展提升|实际问题完整求解过程|如养鱼生长量优化（题14）、公司利润函数构建（题15），考查建模与运算能力|

3.3 函数的应用(一)课后同步练习（基础版） 1．（25-26高一上·四川绵阳·开学考试）广汽新能源汽车公司已经在长沙建成投产，随着市场对新能源汽车的需求越来越大，为了满足市场需求，该厂更新了生产线，加快了生产速度，现在平均每月比更新技术前多生产300台新能源汽车，现在生产5000台新能源汽车所需时间与更新生产线前生产4000台新能源汽车所需时间相同.设更新技术前每月生产台新能源汽车，依题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“工作时间=工作总量÷工作效率”列式即可. 【详解】设更新技术前每月生产x台新能源汽车，则更新技术后每天生产台新能源汽车， 依题意得. 故选：A. 2．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 3．（2026高一·全国·专题练习）为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量 综合用水单价元 第一阶梯 含) 3.0 第二阶梯 含) 4.5 第三阶梯 330以上 5.5 假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（   ） A．190 B．217 C．270 D．285 【答案】C 【分析】设用水量为,依据表格信息得到水费关于用水量的分段函数.再判断2025年水费855是哪段函数值域的部分,从而可以得到用水量. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 即且在定义域上单调递增， 当时，，而， 所以解得． 4．（25-26高二下·河北·期末）在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 5．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【分析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【详解】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B 6．（25-26高一上·重庆·期中）某工厂计划搭建一个由矩形和等腰直角三角形组成的联合储物棚，其中等腰直角三角形的一条直角边与矩形的一条长边重合（记矩形长边长度为，短边长度为，单位：）.已知搭建整个储物棚的材料总长度（即所有边的长度之和，重合边不计入）为（矩形贡献3条边：1条长边､2条短边；等腰直角三角形贡献2条边：1条直角边､1条斜边），则该储物棚的最大占地面积（矩形面积与等腰直角三角形面积之和）约为（    ）. A．105 B．120 C．125 D．128 【答案】B 【分析】根据题意，可得x，y的关系，整理得，进而可得x的范围，由题意得占地面积S的表达式，化简可得关于x的二次函数，根据函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则占地面积， 为开口向下，对称轴的抛物线， 所以当时，S有最大值， 且为. 所以该储物棚的最大占地面积约为120. 故选：B 7．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：D. 8．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 9．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（    ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．企业最大年产量应不超过4800台 D．企业不亏本的最大年产量为500台 【答案】BC 【分析】确定得到A错误，根据二次函数性质计算最值得到B正确，考虑利润为0时得到，解得C正确，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：， 故当时，有最大值为，正确； 对选项C：当时，销售收入最多为， 设最大产量为，取，解得，正确； 对选项D：当产量在为4800台时，利润为0，错误； 故选：BC 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得，当时代入函数解析式即可判断；对于B，分两种情况求解即可；对于C，当时，由基本不等式即可求解；对于D，因为，结合函数解析式利用不等式即可求解最小值，判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当10时，，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确； 对于C，当时， ， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以有最小值， 所以接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确. 故选：. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为________km/h．（结果保留整数） 【答案】 【分析】首先求出的值，再解不等式即可求得答案. 【详解】由，解得， 所以， 所以，故． 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海·期末）某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据为增函数求得，再根据题意可得恒成立，再根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】依题意单调递增，则，解得， 又依题意可得对恒成立， 故，在恒成立， 所以，解得， 由对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以， 综上，的取值范围为. 13．（2026·全国·二模）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减 所以在上为增函数， 由，得， ，当时，， 有，解得； 当时，， 有，解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 15．（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【详解】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 函数的应用(一)课后同步练习（基础版） 1．（25-26高一上·四川绵阳·开学考试）广汽新能源汽车公司已经在长沙建成投产，随着市场对新能源汽车的需求越来越大，为了满足市场需求，该厂更新了生产线，加快了生产速度，现在平均每月比更新技术前多生产300台新能源汽车，现在生产5000台新能源汽车所需时间与更新生产线前生产4000台新能源汽车所需时间相同.设更新技术前每月生产台新能源汽车，依题意得（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 3．（2026高一·全国·专题练习）为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量 综合用水单价元 第一阶梯 含) 3.0 第二阶梯 含) 4.5 第三阶梯 330以上 5.5 假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（   ） A．190 B．217 C．270 D．285 4．（25-26高二下·河北·期末）在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 5．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 6．（25-26高一上·重庆·期中）某工厂计划搭建一个由矩形和等腰直角三角形组成的联合储物棚，其中等腰直角三角形的一条直角边与矩形的一条长边重合（记矩形长边长度为，短边长度为，单位：）.已知搭建整个储物棚的材料总长度（即所有边的长度之和，重合边不计入）为（矩形贡献3条边：1条长边､2条短边；等腰直角三角形贡献2条边：1条直角边､1条斜边），则该储物棚的最大占地面积（矩形面积与等腰直角三角形面积之和）约为（    ）. A．105 B．120 C．125 D．128 7．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 9．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（    ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．企业最大年产量应不超过4800台 D．企业不亏本的最大年产量为500台 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为________km/h．（结果保留整数） 12．（25-26高一上·上海·期末）某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 13．（2026·全国·二模）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______. 14．（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 15．（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $