3.3 函数的应用（一）课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高一数学人教版B版第三章函数应用课堂限时训练，40分钟66分，通过基础应用、性质辨析、建模求解三层设计，覆盖分段函数、特殊函数等知识点，适配新授课知识巩固，培养数学建模与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数模型应用|如促销折扣、公交票价题，直接应用分段函数计算，巩固概念理解| |提升层|函数性质综合辨析|如高斯函数、狄利克雷函数多选题，结合定义域、值域等性质，发展逻辑推理| |综合层|复杂情境建模求解|如利润计算解答题，需构建分段函数并求最值，体现数学建模与实际应用|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第三章 函数 3.3 函数的应用（一） 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过元，那么超过元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过元不超过元的部分 超过元的部分 李女士在商场获得的折扣优惠金额为元，则她实际所付金额为(     ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2.表示不超过的最大整数，例如，，，若是函数的零点，则(     ) A. B. C. D. 3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则(     ) A. B. C. D. 4.定义：表示中的较小者若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列说法正确的是(     ) A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数无最大值 D. 函数在定义域内是增函数 6.，称为狄利克雷函数，则关于的下列说法正确的是(     ) A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 任意的，则有恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： 公里以内含公里，票价元； 公里以上，每增加公里，票价增加元不足公里按照公里计算．     一市民乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么该市民购买车票的票价为           ． 8.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为工厂生产台某装置的收入函数单位：元，其成本函数单位：元，利润是收入与成本之差，设利润函数为，则边际利润函数的最大值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 长江存储是我国唯一一家能够独立生产闪存的公司，其先进的晶栈技术使得闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过万片时，；当超过万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为元片，且能全部售完． 求公司获得的利润的函数解析式； 封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 10.本小题分  为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品．已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本元和处理量吨之间的函数关系式为，且每处理吨二氧化碳所得的副产品价值为元． Ⅰ该公司月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ Ⅱ该公司这样处理二氧化碳每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第三章 函数 3.3 函数的应用（一） 课堂限时训练 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过元，那么超过元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过元不超过元的部分 超过元的部分 李女士在商场获得的折扣优惠金额为元，则她实际所付金额为(     ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2.表示不超过的最大整数，例如，，，若是函数的零点，则(     ) A. B. C. D. 3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则(     ) A. B. C. D. 4.定义：表示中的较小者若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列说法正确的是(     ) A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数无最大值 D. 函数在定义域内是增函数 6.，称为狄利克雷函数，则关于的下列说法正确的是(     ) A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 任意的，则有恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： 公里以内含公里，票价元； 公里以上，每增加公里，票价增加元不足公里按照公里计算．     一市民乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么该市民购买车票的票价为           ． 8.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为工厂生产台某装置的收入函数单位：元，其成本函数单位：元，利润是收入与成本之差，设利润函数为，则边际利润函数的最大值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 长江存储是我国唯一一家能够独立生产闪存的公司，其先进的晶栈技术使得闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过万片时，；当超过万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为元片，且能全部售完． 求公司获得的利润的函数解析式； 封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 10.本小题分  为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品．已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本元和处理量吨之间的函数关系式为，且每处理吨二氧化碳所得的副产品价值为元． Ⅰ该公司月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ Ⅱ该公司这样处理二氧化碳每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第三章 函数 3.3 函数的应用（一） 课堂限时训练全解全析 考试时长：40分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过元，那么超过元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过元不超过元的部分 超过元的部分 李女士在商场获得的折扣优惠金额为元，则她实际所付金额为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D  【解析】解：设李女士在商场购物的总金额为元， 由题意可得：， 则， 则， 即她实际所付金额为元． 故选：． 2.表示不超过的最大整数，例如，，，若是函数的零点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 根据题意，利用二分法分析可得，进而分析可得答案． 本题考查函数零点判定定理，注意的定义，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，函数为增函数， 且，，则有， 函数的零点在上，即， 故； 故选B． 3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：函数， 故， 所以． 故选：． 4.定义：表示中的较小者若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列说法正确的是(    ) A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数无最大值 D. 函数在定义域内是增函数 【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查函数图象的应用，新定义函数的性质，函数的定义域和值域，函数的单调性，属于基础题． 可作出函数的图象，结合图象逐项分析，综合得出结论． 【解答】 解：函数中可以取任意实数，即函数的定义域为，选项A正确； 任取 则 函数为分段函数，画出部分图象如图所示， 由图可知函数的值域为，故选项B错误，选项C正确； 由图可得函数不是单调函数，选项D错误． 故选AC． 6.，称为狄利克雷函数，则关于的下列说法正确的是(    ) A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 任意的，则有恒成立 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查函数的定义域、值域，函数的新定义问题，属于基础题． 由的解析式可求得的定义域和值域，即可判断选项A，；根据函数的解析式，可得不管是有理数还是无理数，均有，即可判断选项C；举反例判断选项D． 【解答】 解：因为函数， 所以的定义域为，值域为，故A错误，B正确； 当为有理数时，，； 当为无理数时，，， 所以，，故C正确； 任意的，则有恒成立是错误的， 例如当时，，，等式不成立，故D不正确． 故选BC． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： 公里以内含公里，票价元； 公里以上，每增加公里，票价增加元不足公里按照公里计算．     一市民乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么该市民购买车票的票价为          ． 【答案】元  【解析】【分析】 本题考查分段函数模型的应用，属基础题， 根据题意写出函数的分段表达式，然后计算． 【解答】 解：设票价为元，里程为公里，定义域为． 由题意得函数的解析式为 故当时票价为元． 故答案为元． 8.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为工厂生产台某装置的收入函数单位：元，其成本函数单位：元，利润是收入与成本之差，设利润函数为，则边际利润函数的最大值为          ． 【答案】  【解析】解：， ， 因为函数为减函数，则． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 长江存储是我国唯一一家能够独立生产闪存的公司，其先进的晶栈技术使得闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过万片时，；当超过万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为元片，且能全部售完． 求公司获得的利润的函数解析式； 封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】解：当时， ， 当时， ， 故L． 当时， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 故L的最大值为万元， 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故L的最大值为万元， ， 则封装万片时，公司可获得最大利润．  【解析】本题主要考查利用分段函数模型解决实际问题，属基础题． 根据已知条件，结合利润公式，对的取值范围分类讨论，即可求解． 结合的结论，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解． 10.本小题分  为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品．已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本元和处理量吨之间的函数关系式为，且每处理吨二氧化碳所得的副产品价值为元． Ⅰ该公司月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ Ⅱ该公司这样处理二氧化碳每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损． 【答案】解：Ⅰ设每吨的平均处理成本为元，由题意知：       ，， 则，当且仅当，即时，有最小值． 故当该公司月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低为元． Ⅱ设该公司通过这种方式处理二氧化碳的月收益为元，由题意知：       ，，        由二次函数性质可知，当时，有最大值．        故该公司这样处理二氧化碳可以获利，每月最大利润为元． 【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，二次函数的最值，属于基础题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $