2.2 反比例函数的图象与性质(2) 教学设计 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象特征与性质，通过类比一次函数的研究方法，引导学生分k＞0和k＜0两种情况，多画图象观察，搭建从一次函数到反比例函数的学习支架。 资料亮点在于结合图象观察归纳性质培养几何直观，通过不同象限比较大小的例题发展推理意识，融入气体密度与体积关系等生活实例渗透模型意识。助力学生提升观察归纳与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学流程和多样化练习，便于高效教学实施。

1.2 反比例函数的图象与性质(2) 【教学目标】 1、认识反比例函数的图像的性质并能进行简单应用； 2、结合反比例函数的图像，掌握反比例函数的图像的增减性并能简单应用. 【教学重点】反比例函数的图像的性质并能进行简单应用. 【教学难点】反比例函数的图像的性质并能进行简单应用. 【教学过程】 1、 创设情境： 问题：如何研究反比例函数（k为常数，）的图象特征和性质？ 像研究一次函数图象时那样，多画几个函数图象看看!要分k＞0,k＜0两种情况. 2、 探究新知： 1、借助反比例函数的图象研究其性质： (1)如图，取不同的k值，可以画出下列反比例函数的图象： (2)观察反比例函数，,,,的图像， ①反比例函数图像分别位于哪几个象限? ②在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？ ③小组讨论：反比例函数的图像的对称性。 (3)归纳：反比例函数（）具有以下图象特征和性质： 函数表达式 （k＞0） （k＜0） 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 函数对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在象限 一、三 二、四 函数变化趋势 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 尝试练习1： 1．（2026•邵阳模拟）已知反比例函数，下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限； B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限； D．y随x的增大而增大 2．（2026•濮阳模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．容器内气体的质量（质量m＝ρV）是5kg B．当p＞5kg/m3时，V＞2m3 C．当容器的体积为4m3时，气体的密度为2.5kg/m3 D．当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随容器体积的增大而增大 3．（2025秋•潜山市期中改编）已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，则a的取值范围 ； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围 ． 3、 例题讲解 ㈠、同一象限内比较大小 例1：已知反比例函数的图像经过点A（2，－4）. ①求k的值，并画出这个函数的图象； ②如果点B（1，n）在这个函数的图象上，比较n与－4的大小. 思考： ①如果点C（a，b）在例1中的反比例函数图象上，且a＜2，比较b与—4的大小. 尝试练习2：（书本第12页练习） 1. 已知反比例函数的图象经过点A(2，4)，判断点(－2，－4)，(－2，4)，(2，－4)是否在这个函数图象上. 2. 已知反比例函数的图象经过点A(－2，6). ①求k的值，并画出这个函数的图象. ②这个函数的图象在哪几个象限？在每个象限内，y随着x的增大怎样变化？ ③设点C(－3，y1)，D(－2，y2)都在这个函数的图象上，比较y1与y2的大小. ㈡、不同象限内比较大小 例2：（2026•旬阳市模拟）已知反比例函数（k为常数）的图象过点（2，2）．若点A（x1，y1），B（x2，y2）是这个反比例函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是y1　 　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 拓展：（2026•市中区一模）若点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3 四、课堂小结：反比例函数（k为常数，），的图象特征和性质. 五、当堂训练 1．（2025秋•子洲县期末）已知正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象交于A（﹣2，3）、B两点，则点B的坐标是（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2） 2．（2026•朝阳区校级二模）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 3．（2025秋•龙沙区期末）下列关于反比例函数y的描述，其中正确的是（　　） A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限 D．图象关于直线y＝﹣x对称 4．（2026•南岸区校级模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　 ． 5．（2026•晋城二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，若x1＜x2时，y1＞0＞y2，则当x3＜x1时，y3与y1的大小关系为　 　 ． 6．（2026•阳谷县校级模拟改编）已知反比例函数y（k≠0）图象经过一、三象限． （1）判断点P（﹣k，k）在第几象限； （2）若点C(－3，2)在这个函数的图象上，判断点D(1，-6)是否在这个函数的图象上？ （3）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系； 1.2 反比例函数的图象与性质(2)参考答案与试题解析 【教学目标】 1、认识反比例函数的图像的性质并能进行简单应用； 2、结合反比例函数的图像，掌握反比例函数的图像的增减性并能简单应用. 【教学重点】反比例函数的图像的性质并能进行简单应用. 【教学难点】反比例函数的图像的性质并能进行简单应用. 【教学过程】 一、创设情境： 问题：如何研究反比例函数（k为常数，）的图象特征和性质？ 像研究一次函数图象时那样，多画几个函数图象看看!要分k＞0,k＜0两种情况. 二、探究新知： 1、借助反比例函数的图象研究其性质： (1)如图，取不同的k值，可以画出下列反比例函数的图象： (2)观察反比例函数，,,,的图像， ①反比例函数图像分别位于哪几个象限? ②在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？ ③小组讨论：反比例函数的图像的对称性。 (3)归纳：反比例函数（）具有以下图象特征和性质： 函数表达式 （k＞0） （k＜0） 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 函数对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在象限 一、三 二、四 函数变化趋势 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 尝试练习1： 1．（2026•邵阳模拟）已知反比例函数，下列选项正确的是（　C　） A．函数图象在第一、三象限； B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限； D．y随x的增大而增大 2．（2026•濮阳模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（　C　） A．容器内气体的质量（质量m＝ρV）是5kg B．当p＞5kg/m3时，V＞2m3 C．当容器的体积为4m3时，气体的密度为2.5kg/m3 D．当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随容器体积的增大而增大 3．（2025秋•潜山市期中改编）已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，则a的取值范围 a＜4 ； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围 a＞4 ． 三、例题讲解 ㈠、同一象限内比较大小 例1：已知反比例函数的图像经过点A（2，－4）. ①求k的值，并画出这个函数的图象； ②如果点B（1，n）在这个函数的图象上，比较n与－4的大小. (1) 因为函数的图象经过点A(2，一4)， 把x=2,y=一4代人，得， 解得k=-8; 函数的图象如图所示. (2) 根据函数的变化趋势， 当x＞0时，y随x的增大而增大， 因为点A(2，一4)，B(1，n)都在函数图象上， 且1＜2，所以n＜一4. 思考： ①如果点C（a，b）在例1中的反比例函数图象上，且a＜2，比较b与—4的大小. 当a＞0时， 因为点A(2，一4)，C（a，b）都在函数图象上， 且0＜a＜2，所以b＜一4. 当a＜0时， 因为点A(2，一4)在第四象限，，C（a，b）在第二象限， 所以b＞0＞一4.即b＞一4 尝试练习2：（书本第12页练习） 1. 已知反比例函数的图象经过点A(2，4)，判断点(－2，－4)，(－2，4)，(2，－4)是否在这个函数图象上. 解：∵反比例函数的图象经过点A(2，4) ∴ ∴k=-8 ∴点(－2，－4)，在函数的图象上 点(－2，4)，(2，－4)不在函数的图象上 2. 已知反比例函数的图象经过点A(－2，6). ①求k的值，并画出这个函数的图象. ②这个函数的图象在哪几个象限？在每个象限内，y随着x的增大怎样变化？ ③设点C(－3，y1)，D(－2，y2)都在这个函数的图象上，比较y1与y2的大小. 解：①∵反比例函数的图象经过点A(-2，6) ∴ ∴k=-12， ②这个函数的图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随着x的增大而减小； ③根据函数的变化趋势， 当x＜0时，y随x的增大而减小， 因为设点C(－3，y1)，D(－2，y2)都在这个函数的图象上 且-3＜-2，所以y1＞y2 ㈡、不同象限内比较大小 例2：（2026•旬阳市模拟）已知反比例函数（k为常数）的图象过点（2，2）．若点A（x1，y1），B（x2，y2）是这个反比例函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是y1　 ＜ 　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 拓展：（2026•市中区一模）若点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　A　） A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3 四、课堂小结：反比例函数（k为常数，），的图象特征和性质. 五、当堂训练 1．（2025秋•子洲县期末）已知正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象交于A（﹣2，3）、B两点，则点B的坐标是（　B　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2） 2．（2026•朝阳区校级二模）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　A　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 3．（2025秋•龙沙区期末）下列关于反比例函数y的描述，其中正确的是（　D　） A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限 D．图象关于直线y＝﹣x对称 4．（2026•南岸区校级模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ． 5．（2026•晋城二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，若x1＜x2时，y1＞0＞y2，则当x3＜x1时，y3与y1的大小关系为　 y3＜y1 　 ． 6．（2026•阳谷县校级模拟改编）已知反比例函数y（k≠0）图象经过一、三象限． （1）判断点P（﹣k，k）在第几象限； （2）若点C(－3，2)在这个函数的图象上，判断点D(1，-6)是否在这个函数的图象上？ （3）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系； 解：（1）∵反比例函数y（k≠0）图象经过一、三象限， ∴k＞0，﹣k＜0， ∴点P（﹣k，k）在第二象限； （2） ∵点C(－3，2)在函数y的图象上 ∴ ∴k=-6 ∴点D(1，-6)在这个函数的图象上 （3）∵反比例函数y1（k≠0）图象经过一、三象限， ∴在每一象限内y1随x的增大而减小， 又∵点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函数y（k≠0）上，且点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限， ∴可得， 解得：a＞c＞b， ∴a，b，c的大小关系为：a＞c＞b； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $