3.7 扇形 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以弧长、扇形面积、圆锥计算为核心，通过基础、中档、提升三级分层，实现从单一公式到综合几何问题的巩固，培养运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|选择1-6直接套用弧长/扇形面积公式，填空11-13强化圆锥母线与侧面积计算| |中档|公式综合与简单实际应用|选择7-8结合斗笠、公路弯道等生活情境，填空14-16融入三视图与旋转路径| |提升|复杂图形与动态问题|选择9-10涉及动态点与多解问题，解答26探究最短路径，培养推理意识|

3.7扇形（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、弧长公式 在半径为R的圆中，圆心角度数为n的弧长： I=nR 180 n:圆心角度数，R:圆的半径，：弧长 二、扇形面积公式 扇形定义：由两条半径和所对弧围成的图形。 公式1（已知角度）：S8=”R 360 公式2（已知亚长）：5BR n:圆心角度数，R:半径，：扇形弧长 三、圆锥基本概念 1.圆锥的底面：圆形，半径记为 2.圆锥的母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，母线长记为 3.圆锥的高：顶点到底面圆心的垂线段，记为h 4.三者关系勾股定理：P=r2+h 四、圆锥侧面展开图性质 圆锥的侧面展开图是一个扇形。 1.扇形半径=圆锥母线长1 2.扇形弧长=圆锥底面圆周长2r 五、圆锥面积计算公式 1.圆锥侧面积：S侧=πrl 2.圆锥底面积：S=πr 3.圆锥全面积： S全=rl+πr=r(l+r】 六、圆锥圆心角推导公式 设圆锥侧面展开扇形圆心角为n°： n=5×360 r:底面半径，：母线长 七、常用结论 1.母线越长、底面半径越小，圆锥侧面越平缓。 2.相同底面半径下，母线越长，侧面积越大。 3.扇形、圆锥计算结果无特殊说明，保留π即可。 八、高频易错点 1.区分半径：扇形半径是母线1，不是底面圆半径r。 2.弧长、扇形面积公式不要混淆分母：弧长180、扇形360。 3.圆锥侧面积不带底面，全面积必须加底面圆面积。 4.母线、底面半径、高三者勾股关系是求值核心，不可代错量。 同步练习 1.(2026陕西·模拟预测)如图，点48.C C均在o0上，若∠ABC=l10°，01=3cm,则1C的长是 () 7π 5π A.2ncm B.3元cm C.3 cm D.3 cm 2.(2026广东中考真题)如图，⊙0的半径为1，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°.则图中阴影部 分的面积为() A. 6 c.d 3.(25-26九年级上渐江宁凌期未)如图，四边形1BCD内接于00，若∠C=140 ,半径为2，则BD 的长为() A.9 π B. 5π 2π C. 8π D. 4.(2026广东佛山一模)如图，点C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，连接CD,AC,半径 OA=6cm,则阴影部分的面积为() A.3πcm B.(6n+93)cm' C.2πcm2 D.6πcm2 5.(2025河南驻马店三模)如图，在△ABC中，∠BAC=70°，BC=6,以AB为直径的半圆O交AC 于点D,交BC于点E,连接OB,若D是正的中点，则阴影部分的面积为《). A. 3 B. c.I9 D. 6.(25-26九年级上·江苏镇江期中)如图，⊙0的半径为3，在⊙0的内接四边形ABCD中，∠B=52°， ∠ACD=32°，则CD的长为（) CD A C.2n D.4π 7.(第二十九章圆高效同步练习29.3弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积和全面积)“云南十八怪” 中第二怪“摘下斗笠当锅盖”.如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为 80cm,高度为30cm,则该斗笠锅盖的表面积大约为() A 2000πcm2 B 1500mcm2 c.600W3πcm D 300v13πcm 8.(2425九年级上河北保定·期末)如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状(O为圆心)，过 AB两点的切线交于点C,测得∠C=10°，0B=9 0米，则这段公路MB的长为() B A.20π米 B.40π米 C.80m米 D.1800m米 9.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，现以三角形的 一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D,B(D,B不与△MBC DE 项点重合)，则心的 长为() 5或2 B.5或 c.2W5r政2n D.25r或4r 10.(2024湖北武汉模拟预测)如图，⊙0的弦AB=AD=6,∠A=60°，P为AB上一动点，卫为AD 上一动点，且满足D卫=AP,连接DP,B0,交于点M,则点P从点A运动到点B的过程中，点M所 运动的路径长是() D M 0 B 2v3 4v3 A.2π B.3元 C.3 D.4元 二、填空题 11.(2026西藏·一模)用一张圆心角为160°的扇形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面 (接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为 12.(25-26九年级上·湖北武汉：阶段检测)己知一个圆锥的侧面积是 0πcm2 ,它的侧面展开图圆心角为 144°，则这个圆锥的底面半径为 13.(第二十九章圆高效同步练习29.3弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积和全面积)用半径为24Cm, 圆心角为120°的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生 日帽的侧面积是 14.(25-26九年级上：河北衡水·期末)图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 cm. (结果保留π) 8cm 8cm 12cm 12cm 12cm 15.(24-25六年级下上海单元测试)若一个扇形的半径为6厘米，比它的弧长大20%，则此扇形的 面积为平方厘米 16.(2025浙江模拟预测)△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm,将△ABC绕点B顺时针旋转至 △ABC'的位置，如图，A、B、C'三点在同一条直线上，则点A所经过的路径长为 17.(2024四川广元·二模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，将扇形AOB进行折叠，使点O落在弧 AB 的中点处.若折痕 DE=2V2 ,则图中阴影部分的面积为 D 18.(2026河南商丘·一模)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点D为BC的中 点，以点D为圆心，CD的长为半径作弧，交AB于点E,以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于 点F，则图中阴影部分周长为一· 19.(24-25九年级上·北京期中)如图，等边△ABC的边长为12，点D、E、F分别为边AC,AB,BC 的中点，若分别以E,D,F为圆心，6为半径，作三个60°的扇形，则图中阴影部分的面积为 E B 20.(24-25九年级上重庆期末)如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径 作弧，交CD于点F,连接AE、AF.若AB=4,∠BAD=120°，则阴影部分的面积为 三、解答题 21.(24-25九年级上全国·期末)已知一个扇形的面积为12π. (1)若该扇形所在圆的半径为12.求该扇形的圆心角： (2)若该扇形的圆心角的度数为90°，求该扇形所在圆的面积。 22.(24-25九年级上广东广州期末)如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△A0B的项点 均在格点上，点人、B的坐标分别是1很2)，B(3),将440B绕点0顺时针旋转0°后得到△408 y B △AOB (1)在图中画出 (②)求点B运动路径的长度. 23.(24-25七年级下·上海青浦期末)如图，已知圆锥形石膏像的底面直径d=20cm,母线长1=25cm, 求它的表面积（结果保留π）和侧面展开图的圆心角. 25cm 20cm 24.(25-26九年级上山东泰安阶段检测)如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为 120°，若将此扇形围成一个圆锥，则： A B 120° 6cm 0 (1)求出围成的圆锥的侧面积： (2)求出该圆锥的高. 25.(24-25九年级上：湖北襄阳期末)如图，△ABC是OO的内接三角形，点E是直径AD延长线上一点， 连接BD,且∠EBD=∠BAE. D B (I)求证：BE是⊙O的切线： (2若∠C=2∠E.AB=2V5 求图中阴影部分的面积. 26.(25-26九年级上·江苏宿迁阶段检测)圆锥的母线长为l2cm,底面圆的半径为5cm. A 图① 图② ()侧面展开图的圆心角度数是_· ②如图O,B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm,蚂蚁从点A爬行到点B的最短 路径是多少？（结果保留根号）， 答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D D A A B A 1.C 【详解】解：∠ABC=110°」 ..ADC 所对的圆心角为 2∠ABC=2×110°=220° .∠A0C=360°-220°=140°， ac张为2-5e国 2.A 【详解】解：：∠4CB=30,∠ACB与∠A0B分 AB 分别是 所对的圆周角和圆心角 ∴.∠AOB=2∠ACB=2×30°=60° :⊙0的半径为1 .S阴影 60π.2_z 3606· 3.D 【详解】解：如图，连接OB,OD 0 :四边形ABCD内接于⊙O, .∠A=180°-∠C=180°-140°=40°， ∴.∠BOD=2∠A=80° 80π×28π ·BD的长为180 9 故选：D 4.D 【详解】解：连接AD,OD,OC,如图， D B ,点C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点， :AD-DC=BC .∠AOD=∠DOC=∠COB=60° ,0D=0C, .△COD是等边三角形， .∠0DC=60° .∠AOD=∠ODC, .CDIl AB SACD=S.OCD 60π×62 ∴，阴影部分的面积=S扇形oc= =6π(cm2) 360 5.D 【详解】解：如图，连接BD, ,AB是半圆O的直径， .∠ADB=90°， .∠ABD=180°-∠ADB-∠BAC=20°，∠CDB=180°-∠ADB=90°， :D是E 的中点， .AD=DE. .∠CBD=∠ABD=20° .∠QBE=∠ABD+∠CBD=40°，∠BCD=180°-∠CDB-∠CBD=70°， .∠BCA=∠BAC, .'BC=AB=6, .OB=3, ..OB=OE .∠0BE=∠QEB=40°， .∠BCE=180°-∠0BE-∠QEB=100°， 100°×元×0B2100°×元×325元 .S阴影=S扇形OBE= 360° 360° 2· 6.A 【详解】解：在⊙0中，∠B=52°， ∴.∠ADC=180°-∠B=180°-52°=128° .∠DAC=180°-∠ACD-∠ADC=180°-32°-128°=20° 连接0C,0D,则∠D0C=2∠DAC=2×20°=40°， ⊙0 的半径为3， 40π×32π :DC的长为180=3· 故选：A. D B 7.A 【详解】解： h=30 h-30cm d=80cm---- r=40 ,斗笠锅盖的底面直径为80cm,高度为30cm, =80÷2=40(cm)） ∴底面半径 ,圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴.根据勾股定理有P=r2+h2, :1=VP+F=V402+302=V250=50(cm） ∴圆锥的侧面积为：S=元1=元×40×50=200π(cm) ∴.该斗笠锅盖的表面积大约为2000πcm2 8.B 【详解】解：AC、BC为⊙O的切线， .∠0AC=∠OBC=90°， :∠C=100°， ∠AOB=360°-∠OAC-∠C-∠OBC=80°， 80元×90=40r米， .AB的长为180 故选：B. 9.A 【详解】解：如图1，以BC为直径作⊙O,交BC于D,交CA、BA的延长线于点D、E, 连接OD、OE, 图1 :AB=AC=6,∠BAC=120°， .∠B=∠C=30°，OB=OC, ∠B0D=∠C0E=60°， .∠DOE=60°， :AB=AC=6,O是BC的中点， AO⊥BC, 在Rt△AOB中，∠B=30°， :0A=}4B=3. Γ2 :OB=VAB2-04=3N5 金-60mx3V5 180 如图2，以AB为直径作⊙0，交BC于D,交CA的延长线于E,连接OD、OE, D 图2 :AB=AC=6,∠BAC=120°， ∴.∠B=30°，∠A0E=60°，0A=3, .AOD=60°， .∠D0E=120°. _120r×3=2元 . 180 综上.D呢的长为V5m或2r 故选：A. 10.C 【详解】解：如图，连接BD, D B :AB=AD=6,∠A=60°， △ABD是等边三角形， .∠ADB=∠A=60°，DB=DA=6, 在△APD和△DQB中， DA=BD ∠A=∠BDQ=60° DO=AP △APD≌ADQB(SAS) .∠ADP=∠DBQ. :∠DMB=180-∠MDB-∠DBQ=180-∠MDB-∠ADP=180-60°=120°， :∠DMB=120°是定角，DB=6是定长， 得点M所运动的路径为如图OR的劣弧DB, R :∠DMB=120°， .∠S=60° .∠DRB=2∠S=120° 过点R作RT⊥DB于T, :∠DRT=)∠DRB=60°，DT=TB=BD=3 TR-DT+3-DR=2TR-2J3 120×π×2V54v3元 ∴.点M运动的路径长 180 3, 故选：C 11.9cm 【详解】解：设圆锥的母线长为lcm,即扇形的半径为lcm. 160元l=2m×4 根据扇形弧长等于圆锥底面周长，可得方程180 解得1=9 ∴.圆锥的母线长为cm. 12.2cm 【详解】解：设圆锥的母线长为 扇形面积公式为：S=n 360 代入得：10π= 144π/2 360 解得：1=5 设圆锥底面半径为”， 展开图扇形的弧长L="X2-14x2x5-4红 360 360 2πr=4π r=2 因此，圆锥底面半径为2cm。 13.192πcm2 【详解】解：由题意可知，扇形纸板的半径就是圆锥的母线长，即R=24cm,圆心角 n=120° ,圆锥的侧面积等于扇形纸板的面积. S=mR2-120z×24 360 =192π(cm2). 360 14.96元 【详解】解：由三视图可知该几何体为圆锥，底面直径为l2cm,高为8cm, 由勾股定理可知，母线8+2× =10cm 则该几何体的表面积 πrl+πr2）=π×6x10+π×62=96zcm2 故答案为：96π. 15.15 【详解】解：6÷(1+20%)×6×2 =6÷120%×6×2 =5x6X2 1 =30×2 =15(平方厘米)， 故答案为：15. 8π 16.3cm 【详解】解：∠C=90°，∠A=30°， ∠ABC=90°-∠A=60°， 由旋转得A'B=AB=4Cm,∠A'BC'=∠ABC=60°， :A、B、C三点在同一条直线上， .∠ABA=180°-∠ABC'=120°， ·点A所经过的路径为半径为4cm且圆心角等于120°的一段弧， 120π×48π 点4所经过的路径180=(m, 8π 故答案为：3cm, 17.2π-4 【详解】解：如图所示，连接OC,交DE于点F, ,将扇形AOB折叠，点O落在弧AB的中点处， .AC=BC ·∠A0C=∠B0C= 2<A0B 2x90°=45°，且0CLDE .∠ODE=∠OED=45° .OD=DC=CE=OE, .四边形ODCE是正方形， DE=0C=22, ÷Dg=20D,即(22j=20D2 解得，OD=2(负值舍去)， 5 5.oo-DEO ∴阴影部分的面积为：2π-4， 故答案为：2π-4. 18.π+2-2 【详解】解：如图，连接DE,CE, :∠ACB=90°，AC=BC=2, :∠B=45°.AB=V2BC=2V2 :点D为BC的中点，CD的长为半径， .BC为圆D的直径， .∠CEB=90°， CD=BD-I8C=1, 2 .CE-EZCDE-90 2 根据题意得：BF=BC=2, :EF-BF-BE=2- 图中阴影部分月长为元+会+BF=452,90X1+2-2=+2-2 180180 19.54v3-18z 【详解】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H, A ①AH E D B F 由题意可得，AE=BE=DE=EF=DF=FC=6, ∴四边形ADFE是菱形， 在Rt△AEH中，AE=6,∠A=60°， H= AE=35 2 ∴.S阴影O=S菱形ADFE一S扇形FED =6x3V5-60πx6 360 =18V5-6π ∴S阴影=3S阴影0 =545-18π 54V3-18元 故答案为： 20.4V5- 3 【详解】解：如图：连接AC, B :四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=4,AB∥CD」 .∠ABC+∠BAD=180°， ∠BAD=120°， .∠B=60°， :,△ABC是等边三角形， :点E是BC的中点， .CE=BE=AB=2=CF, .DF=CD-CF=2=CF, :点E是BC的中点，△ABC是等边三角形， .AE⊥BC,AC=AB=4 同理：AF⊥CD :∠B=60°，AB∥CD .∠BCD=180°-∠B=120° 由勾股定理得：=4C-iC=V伞-2=25 同理可得： AF=23 5r=8c*2x2wg=2N5. ∴阴影部分的面积：S=S+S.-S=25+25-120Xx2=4W5_4 360 31 故答案为：4V5-4红 3· 21.(1)30° (2)48元 【详解】(1)解：因为扇形的面积为12π，所在圆的半径为12， 12π×360° 扇形的圆心角n= =30° π×122 所以该扇形的圆心角为30° 90mr2 (2)解：由题意可知360 =12元， 解得2=48. πr2=48π 所以该扇形所在圆的面积为 22.(1) △AOB 如图， 即为所求. y (2)解：由勾股定理得， 0B=P+32=0 90πx10_10, ,点B运动路径的长度为1802 23.表面积为350mcm;侧面展开图的圆心角为144度 【详解】解：，圆锥形石膏像的底面直径d=20cm,母线长1=25cm, 20)2 ×20元×25=100元+250元=350πcm2 表面积为： 2 2 180得到：20m=m·25 根据弧长的公式1=m 180, 解得n=144度. 侧面展开图的圆心角为144度. 24.(1)12πcm2 v2cm (2)圆锥的高为 120元×6=12元(cm2) 【详解】(1)解：圆锥的侧面积是360 120元×6=4元， (2)解：扇形的弧长是180 底面半径为 4π÷2π=2(cm) ,圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高=V6-2=42(cm) 4v2cm ∴.该圆锥的高为 25.(1) 证明：连接OB,如下图， OA=OB=OD .∠OAB=∠OBA,∠OBD=∠ODB, :AD是OO的直径， .∠ABD=90°=∠OBA+∠OBD」 .∠OAB+∠OBD=90°， ,∠EBD=∠BAE, ∴.∠OBD+∠EBD=90°=∠OBE, .OB⊥BE, ,OB是⊙0的半径， .BE是⊙O的切线： @25- 【详解】(1)略 (2)解：：∠C=2∠E, .∠ADB=∠C=2∠E, ,∠ADB=∠EBD+∠E,∠EBD=∠BAE, .∠OAB=∠EBD=∠E,∠ADB=2∠OAB.」 在Rt△ABD中，∠OAB+∠ODB=90°， .∠0AB+2∠OAB=90°」 ∴.∠E=∠OBA=∠OAB=30° .∠BOD=∠OAB+∠OBA=60°，AD=2BD, 设⊙0的半径为r,r>0, 则AD=2BD=2r, 在RtAABD中，AB2+BD2=AD2, 252+2=29 解得：r=2,即OB=2, .OE=2OB=4, BE=JOE2-BE=23 :.S阴影=S0BE-S扇形O8D=2 =5x2x25-60m-2-25-2 360 26.(1)150° (2)6V3cm 【详解】(1)解：设侧面展开图的圆心角度数为n°， ,底面圆的半径为5cm, ∴.侧面展开图的弧长=2π×5=10πcm, 0C=12cm, :mX2=10,解得：n=150: 180 故答案为：150°： (2)解：如图2，连接OA,AB,AC,则线段AB的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为 ，令 图② .AC 4πcm OC=12cm ∠AOC=m 4元=mrx12 180,解得m=60: ∴.∠A0C=60° ..OA=OC, ∴.aOAC为等边三角形，即OA=AC=OC, :OB=BC, .AB⊥OC, 在RA40B中，∠AB0=90°，0B=20C=6cm,OA=12cm .AB=V0A-OB2=V122-62=6√5Cm v3cm 即蚂蚁爬行的最短距离为