3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(4) 课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的切线性质定理，通过复习切线的三种判定方法导入，以问题引导学生探究切线与半径的位置关系，构建从判定到性质的知识脉络，搭建学习支架帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于用反证法证明性质定理培养推理意识，例题练习强调“见切线，想直角”辅助线方法发展几何直观，变式题提升创新意识。学生能深化理解并掌握解题技巧，教师可依托系统资源提高教学效率。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(4) 第三章 圆 盐城市北蒋实验学校 九年级数学备课组 苏科版2024 • 九年级 • 数学 • 上学期 1 旧知复习 ①根据定义：当直线与圆有唯一公共点时，我们称这条直线是圆的切线； ②当圆心O到直线l的距离d与圆的半径r满足：d=r时，这条直线是圆的切线； ③当这条直线经过半径的外端并且垂直于该半径时，这条直线是圆的切线． 判断一条直线是圆的切线，你有哪几种方法？ 新课讲解 假设直线l与OD不垂直，过圆心O作ODʹ⊥l于点Dʹ. ∵直线l与⊙O相切， ∴圆心O到直线l的距离ODʹ的长等于⊙O的半径， ∴点Dʹ在⊙O上. ∴直线l与⊙O有两个公共点D，Dʹ ∴直线l与⊙O相交，这与直线l与⊙O相切矛盾. ∴假设不成立. ∴ OD⊥l 如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为D，OD和直线l有什么位置关系？ Dʹ 新课讲解 于是，我们得到圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径． 符号语言： ∵ 直线 l 与⊙O相切于点D，OD是半径 ∴ l⊥OD． 讨论交流 圆的切线判定定理与性质定理有什么区别？ 定理 条件 结论 作用 切线的判定定理 切线的性质定理 经过半径的外端并且垂直于该半径 该直线是圆的切线 证明“切线” 直线是圆的切线 切线垂直于经过切点的半径 证明“垂直” 例题讲解 (书本第93页例4) 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E．  求证：DE⊥AC．        解：连接OD． ∵ OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD． ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠OAD＝∠CAD． ∴ ∠ODA＝∠CAD． ∴ OD∥AC． ∴ ∠ODE＋∠AED＝180°． ∵ DE切⊙O于点D，OD是半径. ∴ DE⊥OD (圆的切线性质定理)， 即∠ODE＝90°． ∴ ∠AED＝90°． ∴ DE⊥AC． 解题有感： “见切线，想直角”.知道一条直线是圆的切线，辅助线常常是“切点圆心紧相连”， 尝试练习 (1)(书本第94页练习第2题) 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P．PA与PB相等吗？为什么？ 证明：连接OP． ∵ AB是小圆的切线，P为切点， ∴ OP⊥AB． ∵ AB是大圆的弦， OP⊥AB， ∴ PA＝PB． 解题有感： “见切线，想直角”.知道一条直线是圆的切线，辅助线常常是“切点圆心紧相连”， (2)(书本第99页习题第6题) 如图，AB是⊙O的直径，AD是的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C. 已知AD=DC. 求∠ABD的大小. 解：∵BC为⊙O的切线，AB是直径 ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， 而AD＝CD， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝45°． 尝试练习 (3)(书本第100页习题第7题) 如图，AB是⊙O的直径，AC是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D. 已知∠D=30°.求∠A的大小. 解：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线，OC是半径 ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 而∠D＝30°， ∴∠COD＝60°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A， ∴∠A=×60°＝30°． 尝试练习 拓展提升 如图(1)，已知：AO⊥BO，点P在OB上，直线AP交⊙O于C，CD切⊙O于C，交直线OB于D，说明：DP＝CD． 证明：连OC. ∵CD切⊙O于C，OC是半径， ∴OC⊥CD ∴∠OCD=90° 即：∠DCP+∠OCA=90° 又∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA ∴∠DCP+∠A=90° 又∵AO⊥BO， ∴∠A+∠APO=90° 而∠APO=∠DPC， ∴∠A+∠DPC=90° 又∠DCP+∠A=90°， ∴∠DPC=∠DCP， ∴DP＝CD 拓展提升 变题:（2）如图(3)，若将（1）中“CD是⊙O的切线”与“DP＝CD”交换位置，结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请举反例. 解：上述结论仍然成立，理由如下： ∵AO⊥BP， ∴∠A+∠APO=90° 而∠APO=∠DPC， ∴∠A+∠DPC=90° 又∵DP＝CD ∴∠DPC=∠DCP， ∴∠A+∠DCP=90° 而OA=OC， ∴∠A=∠OCA ∴∠OCA+∠DCP=90° 即：∠DCO=90° ∴CD⊥OC 又OC⊙O是的半径 ∴CD是⊙O的切线 课堂作业 1．（2024秋•太和县期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ 　　） A．50° B．65° C．55° D．60° 2．（2024秋•仁和区期末）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于A、B的一个点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　） A．70° B．110° C．70°或110° D．80°或100° B C 课堂作业 3．（2024秋•费县期末）如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AB的长为（　　） A．5 B．6 C．5 D．6 B 课堂作业 4．（2024•高邮市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　 　 ． 5．（2024•泗阳县校级二模）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB=23，BC＝3，则OC的长度是 　 ． 28° 课堂作业 6．（2024秋•惠山区校级期中）如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（9，0）．直线y＝kx﹣3恰好平分⊙P的面积，那么k的值是 　 　 ． 课堂作业 7．（2025秋•龙亭区校级期末）如图，已知E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D． （1）求证：AD平分∠ABC； （2）若BE＝4，BD＝8，求⊙O的半径． （1）证明：连接OD，如图， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠3， ∵BC为⊙O的切线， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥|AC， ∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠2， ∴AD是∠BAC的平分线； （2）解：设⊙O的半径为r， 则OD＝r，OB＝4+r， 在Rt△BOD中，∵OB2＝BD2+OD2， ∴（r+4）2＝r2+82， 解得r＝6， 即⊙O的半径为6． 课堂小结 这节课，你的收获是--- $