3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第5课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形内切圆、内心性质（角平分线交点、到三边等距）、尺规作图及半径公式等核心知识点。通过“三角形纸片剪最大圆”情境导入，衔接角平分线性质与尺规作图旧知，引导学生从直观操作过渡到数学抽象。 此资料以情境驱动与逻辑推理为特色，用“剪圆”问题培养数学眼光，通过“等距点到角平分线交点”推理发展数学思维，结合“勾股容圆”历史问题提升数学语言表达。采用动手操作、几何画板演示等方法，助学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学逻辑与丰富资源。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册第三章《圆》3.5“点与圆、直线与圆的位置关系”。核心知识点： 1.三角形的内切圆及“圆的外切三角形”概念； 2.三角形内心的性质——角平分线交点、到三边等距； 3.用尺规作三角形内切圆的步骤； 4.角平分线、切线性质应用及内切圆半径公式 ，直角三角形 。 2.内容解析 本节课以“如何在三角形纸片中剪得最大圆”为情境，引出“圆与三角形三边均相切”这一最优图形，顺势提出“内切圆”“内心”及“外切三角形”概念。通过探究“到三边等距点”与“角平分线”间的内在联系，建立内心是三条角平分线交点的结论，并由此确定作图策略：①作两条角平分线得内心；②过内心作三角形任一边的垂线段取半径；③以内心为圆心作圆。随后借助切线性质、四边形内角和、圆周角定理解决角度问题，体验性质的应用价值。再通过周长-面积公式推出 ，提升学生的公式推导与迁移能力。整节课层层递进，既突出概念形成的逻辑链，又体现“作图—证明—应用—拓展”的数学思维过程，强调内切圆在最优化、模型转化中的价值。教学重点为内心经性质与内切圆作图，难点在于性质证明与公式综合应用。 1.教学目标 •了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念。 •掌握用尺规作三角形内切圆的方法。 •掌握三角形内心的性质：内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等 2.目标解析 •能准确口述并在图形中辨认“内切圆、内心、外切三角形”；能判断给定圆-三角形是否互为内切关系。 • 分钟内独立完成任意 的内切圆尺规作图，步骤正确、线条规范。 3.重点难点 • 教学重点：内心性质的建立与理解。 • 教学难点：将“到三边等距”转化为“角平分线交点”的证明思路。 学生已学习过角平分线性质、勾股定理、四边形内角和及圆的相关概念，对尺规作角平分线、垂线相对熟练。 认知特点：对“最大圆”情境富有探究兴趣；能接受直观操作，但逻辑证明与代数‐几何融合推导（如 ）较为薄弱。 易点：• 通过实验或动态软件观察，理解内心到三边等距、圆心定位较直观。• 尺规作图操作步骤简练，易于掌握。 难点：• 从“等距点”到“角平分线交点”推理链条的严谨表述。• 将周长、面积与半径建立数量关系并在实际问题中灵活运用。 教学对策：• 先操作实验，再抽象证明，降低逻辑门槛；• 设计多层次习题，逐步深化公式应用；• 借助几何画板演示角平分线汇交特性，增强直观理解；• 通过历史小故事（“勾股容圆”）激发学习兴趣，拓宽数学文化视野。 创设情景，引入新课 问题情境： 要从一张三角形纸片中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？请你试一试． 当这个圆与三角形的各边都相切时，剪得的圆面积最大. 【设计意图】通过动手尝试与讨论，引导学生从直观感知过渡到数学抽象（圆与三角形的“相切”关系）； 自然导入“内切圆”“内心”等新概念与本课三维目标。 探究点：三角形的内切圆 1.探究交流： 1．当圆与三角形的各边都相切时，圆心有什么特点？ 圆心到三条边的距离相等（都等于半径）． 2．到一个角两边距离相等的点，在哪条线上？ 在这个角的平分线上． 3．如何找一个点，使它到三角形三边的距离相等？ 三角形两条内角平分线的交点． 2.新知探究 已知：△ABC（如图）． 求作：和△ABC的各边都相切的圆． 教师提问：要作出这个圆，我们首先需要确定哪两个要素？圆心应该定在哪儿？半径又该怎样选取？ 作法: ① 分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM， CN，BM与CN的交点为O． ② 过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D． ③ 以点 O 为圆心，OD 长为半径作⊙O． ⊙O 就是所求的圆． 这样的圆能作几个？ 解:三角形三条角平分线必定交于唯一一点，所以 这样的圆有且只有一个． 3.概念引入 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆．内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形． 如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形． 注意：三角形的边与圆的位置关系称为相切．而“内”、“外”是相对的. 任意三角形都有内切圆吗？ 4.新知巩固 分别画出下图各个三角形的内切圆． 任意三角形都有内切圆 想一想内心有什么性质？内心和外心有什么区别？ 5.新知归纳 三角形的内心与外心对比 6.例题讲解 例6 如图，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的大小． 解：连接OE、OF． 在△ABC中， ∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋70°)＝50°． ∵⊙O是△ABC 的内切圆， ∴OE⊥AC，OF⊥AB． 在四边形AFOE中， ∵∠EOF＝360°－(∠AEO＋∠AFO＋∠A) ＝ 360°－( 90°＋90°＋50°)＝130°， ∴∠EDF＝∠EOF ＝× 130° ＝65°． 思考：∠EDF与∠A之间有什么关系？ 重要结论：∠EDF＝90°－∠A 方法点拨：要求内切圆上切点构成的圆周角，先找内心，连半径，利用切线的性质定理与四边形内角和360°求圆心角，再用圆周角定理计算． 变式 当☉O 上有一点P（不与点E、F 重合）， ∠EPF 的度数与∠A之间有什么关系？ 解：当点P与点D在E，F的同侧时， ∠EPF＝∠EDF＝90°－∠A． 当点P与点D在E，F的异侧时， ∠EPF＝180°－∠EDF ＝180°－(90°－∠A) ＝90°＋∠A． 7.讨论交流，共同总结可得： 三角形内切圆和外接圆中的有关角 【设计意图】通过层层设问，把繁杂事实抽象为“角平分线交点”这一核心结论，培养学生的逻辑推理能力。 1．△ABC的周长为 C，面积为 S，求它的内切圆的半径（用含 C，S 的代数式表示）． 解：设△ABC的内切圆⊙O的半径为r， 切点分别为D、E、F． 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC． ∴S＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC ＝AB·OE＋BC·OF＋AC·OD ＝ r (AB＋BC＋AC)＝ C r． 重要公式：三角形内切半径r＝． 2.《九章算术》中有一道“勾股容圆”问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”实际上就是解决下列问题：已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，求其内切圆的直径．请你解决这个问题． 解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，内切圆⊙O分别与边AB、 BC、CA相切于点D、E、F，设内切圆⊙O的半径为r．连接OE、OF． 由勾股定理，得 AB＝17． ∵⊙O分别与边BC、CA相切于点E、F，∴ OE⊥BC，OF⊥AC， ∵∠C＝90º，∴四边形OECF是矩形． ∵ OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． ∴ CE＝CF＝OE＝OF＝r． 则 BE＝BC－CE＝15－r，AF＝AC－CF＝8－r． ∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， ∴AD＝AF＝8－r，BD＝BE＝15－r， ∵BD＋AD＝AB，∴15－r＋8－r＝17，解得r＝3．2r＝6． 答：内切圆的直径为6． 知识拓展 若 BC、AC、AB的长分别为 a、b、c，内切圆⊙O的半径长是多少？ 解：设内切圆半径为r， 易得 b－r＋a－r＝c， 解得 r＝． 直角三角形内切圆半径 r＝＝ 3．如图，点C、 D分别在射线OA、OB上，用直尺和圆规作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切． 解：如图，满足条件的⊙P有2个. 能力提升 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D. (1) BD与ID相等吗？为什么？ 解：(1)连接BI． ∵ I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， 又∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAD． ∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠DBI＝∠CBI＋∠CBD， ∴∠BID＝∠DBI， ∴BD＝ID． (2) 连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心． (2) 证明：如图，连接DC， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴ BD＝CD． ∵ ID＝BD， ∴ BD＝CD＝ID， ∴点D是△BIC的外心． 【设计意图】本栏目侧重过程性思维提升，通过对“内切圆—外接圆—角平分线—垂线”多元综合，培养学生迁移与创新能力。 主板书 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5） 探究点 三角形的内切圆 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $