3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理(课时作业)

**基本信息** 本练习聚焦切线长定理，通过基础与拓展分层设计，从单一性质应用到综合动态探究，构建“概念理解—图形应用—问题解决”的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|切线长定理基本性质、外切图形性质、简单证明与计算|选择填空直接应用（如第1题求△PCD周长），解答题结合正方形、坐标系等图形（如第3题、第5题），强化几何直观| |拓展提升|切线长定理与梯形、动点问题综合应用|以梯形中双动点运动为情境（第14题），融合函数、切线判定，培养综合推理与问题解决能力|

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理(课时作业) 班级： 姓名： 作业时间： 【基础练习】 1．（2026•西湖区校级模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．（2025•高青县一模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，⊙O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为（　　） A．44 B．88 C．100 D．110 3．（2026春•萧山区月考）如图，正方形ABCD的边长为4cm．以正方形的一边BC为直径，在正方形ABCD内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 4．（2025•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．3 C．3 D． 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 6．（2024秋•襄城区期末）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于C、D两点，已知PA＝5cm，则△PCD的周长为 　 　 cm． 7．（2025秋•响水县期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为 　 　 ． 8．（2025•西宁二模）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ． 9．（2024秋•昌江区校级期中）圆外切等腰梯形的周长为40cm，一底角为60°，则此等腰梯形面积为　 　 ． 10．（2024春•同步）为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 　 cm． 11．（2024•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数． 12．（2024秋•苏州校级月考）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D，若AD＝2BD，CD＝1．求⊙O的半径． 13．（2024春•同步）如图，BC是⊙O的直径，直线l是过C点的切线，N是⊙O的一点，直线BN交l于点M，过N点的切线交l于点P，求证：PM＝PN． 【拓展提升】 14．（2025秋•招远市期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝13cm，BC＝16cm，CD＝5cm．以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动． （1）求⊙O的半径长． （2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积． （3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理(课时作业)(答案) 班级： 姓名： 作业时间： 【基础练习】 1．（2026•西湖区校级模拟）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　C　） A．8 B．12 C．16 D．20 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．（2025•高青县一模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，⊙O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为（　D　） A．44 B．88 C．100 D．110 3．（2026春•萧山区月考）如图，正方形ABCD的边长为4cm．以正方形的一边BC为直径，在正方形ABCD内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为（　B　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 解：∵AE与圆O切于点F， 显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC， 设EF＝EC＝xcm，则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm， 在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，∴x＝1， ∴CE＝1cm，∴DE＝4﹣1＝3cm，∴，故选：B． 4．（2025•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（　C　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　D　） A． B．3 C．3 D． 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（6，0）、B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴AB＝6，∴OPAB＝3， ∵OQ＝2，∴PQ， 故选：D． 6．（2024秋•襄城区期末）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于C、D两点，已知PA＝5cm，则△PCD的周长为 　 10 　 cm． 7．（2025秋•响水县期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为 　 3 　 ． 8． （2025•西宁二模）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ． 9．（2024秋•昌江区校级期中）圆外切等腰梯形的周长为40cm，一底角为60°，则此等腰梯形面积为． 10．（2024春•同步）为了测量一个圆形铁环的半径，小明采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 　 cm． 解：如图，连接OP、OA、ON，则AP＝AN，∠OPA＝∠ONA＝90°， 在△AOP和△AON中，，∴△AOP≌△AON（SAS）， ∴∠OAP＝∠OAN， 在Rt△ABC中，∠BAC＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴∠PAN＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OAP＝∠OAN＝60°， 在Rt△OAP中，，即，∴OP＝5，∴铁环的半径为5cm． 11．（2024•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数． 解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE， 同理DE＝DB，PA＝PB， ∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12， 即PA的长为6； （2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°， ∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA∠ACD； 同理：∠ODE∠CDB， ∴∠OCE+∠ODE（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°． 12．（2024秋•苏州校级月考）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D，若AD＝2BD，CD＝1．求⊙O的半径． 解：连接OB， ∵AB、CD都是⊙O的切线， ∴∠OBA＝90°，且DC＝BD＝1， ∴AD＝2BD＝2， ∴AB＝2+1＝3， 在Rt△ACD中，可求得AC， 设半径为r，则OA＝r， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得：OA2＝OB2+AB2， 即（r）2＝r2+32， 解得r， ∴⊙O的半径是． 13．（2024春•同步）如图，BC是⊙O的直径，直线l是过C点的切线，N是⊙O的一点，直线BN交l于点M，过N点的切线交l于点P，求证：PM＝PN． 证明：如图所示，连接CN， ∵BC是⊙O的直径，∴∠BNC＝90°， ∴∠NCM+∠NMC＝90°，∠PNC+∠PNM＝90°， ∵PC，PN是⊙O的切线，∴PC＝PN，∴∠PCN＝∠PNC， ∵∠PCN+∠NMP＝∠PNC+∠PNM＝90°， ∴∠PNM＝∠PMN，∴PN＝PM． 【拓展提升】 14．（2025秋•招远市期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝13cm，BC＝16cm，CD＝5cm．以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动． （1）求⊙O的半径长． （2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积． （3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）过点D作DE⊥BC于E， ∵AB⊥BC，∴四边形ADEB为矩形， ∴BE＝AD＝13，EC＝3． 又∵CD＝5，∴DE4，即AB＝4， ∴⊙O的半径为2cm． （2）当P、Q运动t秒时，AP＝t，CQ＝2t 则S四边形PQCD＝y（13﹣t+2t）×4，即y＝2t+26（0≤t≤8） 当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PF⊥BC于F（如图一）， 则有QF＝CE＝3． ∴2t﹣（13﹣t）＝6，则t． 此时四边形PQCD面积y（cm2）， （3）存在． 若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）作PH⊥BC于H． ∵A在⊙O上，∠A＝90°，∴AD切⊙O于点A， ∵PQ切⊙O于G，∴由切线长定理得：PG＝PA＝t． QG＝QB＝16﹣2t，QH＝QB﹣BH＝（16﹣2t）﹣t＝16﹣3t PQ＝QB+AP＝16﹣t． 在Rt△PQH中，PQ2＝PH2+QH2，即（16﹣t）2＝16+（16﹣3t）2 ∴t2﹣8t+2＝0．解得t1＝4，t2＝4， ∵0≤t≤8，∴当t＝4±时，PQ与圆相切． 学科网（北京）股份有限公司 $