2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一元二次方程的解集、判别式、求根公式及根与系数关系，通过复习初中已学的一般形式和最简形式解集导入，衔接新知识，搭建从已知到未知的学习支架。 特色在于以配方法推导为主线，从具体方程到一般形式，培养数学思维中的推理能力，用集合语言规范解集表述体现数学语言的精确性，分层例题与探究练习结合，助力学生掌握知识，提升应用能力，也为教师提供结构清晰的教学方案。

教学设计-2026-2027学年 高一 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 必修第一册 数学 人教B版 一、教学设计 教学目标： （1）理解一元二次方程的概念，掌握配方法将ax²+bx+c=0（a≠0）化为(x−k)²=t的形式，能据此求解集； （2）掌握判别式Δ=b²−4ac与解集的对应关系，能运用求根公式求解集； （3）掌握根与系数的关系+=−，=，能求含根的对称式的值； （4）体会换元思想，能将含根式的方程转化为一元二次方程求解。 教学重点：判别式与解集的对应、求根公式、根与系数的关系。 教学难点：配方法的完整过程，根与系数关系的应用（求对称式的值）。 二、章节名称 项目 内容 章节名称 第二章 2.1 等式 课题 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 教材版本 人教B版必修第一册 学时 1 学段年级 高中高一 三、学情分析 学生在初中阶段已学习一元二次方程的解法，对因式分解法和公式法有初步了解，但对配方法的完整推导过程缺乏系统认识，对判别式与解集关系的集合语言表述尚不熟悉。根与系数的关系在初中仅作为结论记忆，学生对其推导过程和对称式求值的应用仍需加强。本节课需在已有基础上，用集合语言统一描述解集，并完成从配方法到求根公式的完整推导。 四、教学方法 本节课采用启发讲授与探究练习相结合的方式。教师通过配方法的逐步推导引导学生发现判别式的作用，进而得出求根公式和根与系数的关系；通过分层例题和课堂练习巩固方法。教学过程中注重算理讲解与规范书写，关注学生对换元思想的理解。 五、教学过程设计 （一）复习引入 回顾一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），以及最简形式x²=t的解集：当t>0时解集为{−，}；当t=0时解集为{0}；当t<0时解集为∅。本节核心任务是对一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）求解集。 设计意图：从已有知识出发，明确本节课的研究对象，为配方法的推导做铺垫。 （二）新授探究 1. 配方法推导 以方程x²+6x+4=0为例演示配方法过程。教师引导学生将常数项移到等号右边，再在两边同加一次项系数一半的平方：x²+6x=−4，x²+6x+9=−4+9，(x+3)²=5。由此得x+3=±，即x=−3±，解集为{−3−，−3+}。 设计意图：通过具体方程演示配方法的完整步骤，为学生理解一般形式的推导提供直观参照。 2. 判别式与求根公式 对ax²+bx+c=0（a≠0），两边同除以a并配方，得(x+)²=。令Δ=b²−4ac，则(x+)²=。当Δ>0时，>0，解得x=或x=，解集为；当Δ=0时，=0，解得x=−，解集为；当Δ<0时，<0，方程无实数解，解集为∅。Δ=b²−4ac称为一元二次方程根的判别式，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。当Δ≥0时，求根公式为x=。 设计意图：从特殊到一般，完成配方法的完整推导，引导学生发现判别式的作用，归纳求根公式。 3. 根与系数的关系 由求根公式，+=+==−。=·，分子利用平方差公式得(−b)²−(b²−4ac)=4ac，分母为4a²，故==。即+=−，=，这一结论称为一元二次方程根与系数的关系。 设计意图：利用求根公式直接推导根与系数的关系，体现知识间的逻辑联系。 （三）例题精讲 例1 求方程2x²−7x+3=0的解集。 解：a=2，b=−7，c=3。Δ=(−7)²−4·2·3=49−24=25>0。x===3，x===。解集为。将解集在数轴上表示，两个实心点分别对应和3。 例2 已知、是方程x²−5x+6=0的两个根，求+与+的值。 解：由根与系数的关系得+=5，=6。+=(+)²−2=25−12=13。+==。 设计意图：例1训练求根公式的直接应用，例2训练根与系数关系在对称式求值中的应用，体现由易到难的梯度。 例3 解方程x−−6=0。 解：设t=（t≥0），则原方程化为t²−t−6=0。(t−3)(t+2)=0，t=3或t=−2。因t≥0，故t=3，即=3，x=9。解集为{9}。 设计意图：通过换元将含根式的方程转化为一元二次方程，引导学生体会换元思想。 （四）巩固练习 练习1 求方程x²+4x−5=0的解集。 解：Δ=4²−4·1·(−5)=16+20=36>0。x====1，x====−5。解集为{1，−5}。 练习2 已知、是方程x²+3x−1=0的两个根，求+的值。 解：+=−3，=−1。+=(+)²−2=9+2=11。 设计意图：通过课堂练习检验学生对求根公式和根与系数关系的掌握情况，及时反馈纠正。 （五）课堂小结 （1）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）可通过配方法化为(x−k)²=t的形式求解集。 （2）判别式Δ=b²−4ac决定解集：Δ>0时有两个不相等实根，Δ=0时有两个相等实根，Δ<0时无实数根。 （3）求根公式：x=（Δ≥0）。 （4）根与系数的关系：+=−，=。 （六）布置作业 作业：求方程3x²−5x−2=0的解集，并求两根之和与两根之积。 参考答案：Δ=(−5)²−4·3·(−2)=25+24=49>0，x===2，x====−。解集为。两根之和为，两根之积为。 六、板书设计 左侧板书：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），配方法推导过程，判别式Δ=b²−4ac的三种情况。 中部板书：求根公式x=，根与系数的关系+=−，=。 右侧板书：例1至例3的解题过程要点，巩固练习参考答案。 学科网（北京）股份有限公司 $