3.1 函数的概念及其表示教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课时

1课时

课题

函数的概念及其表示

教材

人教A版必修第一册

章节

第三章3.1

课型

新授课

教学方式

启发探究式

教学手段

多媒体辅助

教学时长

45分钟

授课对象

高一学生

授课人数

45人

授课时间

2026年9月

教师活动

学生活动

设计意图

教师展示三个生活实例：炮弹发射后的高度与时间关系、某地某日气温与时间关系、乘坐高铁的票价与里程关系，引导学生回顾初中所学的函数概念。

学生观察实例，回忆初中函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y就是x的函数。

从生活实例出发，唤醒学生对函数的已有认识，为新概念的建构提供认知起点。

教师追问：初中定义中每一个值和唯一确定分别强调什么？如何用集合语言重新表述？

学生讨论后回答：每一个值强调定义域的完整性，唯一确定强调对应的唯一性。用集合语言表述为：对集合A中任意x，集合B中存在唯一y与之对应。

引导学生从变量语言向集合语言过渡，为精确化函数概念做铺垫。

教师活动

学生活动

设计意图

教师引导学生分析三个实例的共同特征：每个实例都涉及两个非空实数集A和B，对于A中每一

学生阅读教材中函数的定义，标注关键词非空的实数集、任意一个数、唯一确定的数、对应关系

通过从实例中归纳共同特征，帮助学生经历从具体到抽象的概念建构过程，理解函数定义中每个

个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y与之对应。在此基础上，教师给出函数的严格定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

f，理解f：A→B的含义。

条件的必要性。

教师介绍函数符号f(x)的含义：f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘以x。同时指出：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。

学生记录定义域、值域的概念，理解函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。学生明确值域由定义域和对应关系决定。

帮助学生准确理解函数符号的含义，明确函数的三要素及其关系。

教师活动

学生活动

设计意图

教师指出函数的定义域和值域都是集合，为了书写简便，引入区间的概念。教师给出区间的定义：设a，b是两个实数，且a<b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]。教师演示数轴上的表示方法：实心点表示包含端点，空心点表示不包含端点。

学生学习区间概念，理解实心点表示包含端点、空心点表示不包含端点，练习用区间表示集合。

引入区间的简洁表示方法，为后续函数定义域和值域的书写提供工具。

教师介绍无穷区间：实数集R可以用区间表示为(−∞，+∞)；满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(−∞，b]，(−∞，b)。教师说明∞读作无穷大。

学生学习无穷区间的表示方法，理解∞的含义，练习用区间表示无限集合。

帮助学生掌握无穷区间的表示方法，完善区间表示的知识体系。