3.1 函数的概念及其表示 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1 函数的概念及其表示 必修第一册 人教A版 高一 数学 教学设计-2026-2027学年

一、教学目标

（1）能用集合与对应的语言刻画函数的概念，准确表述定义域、值域与对应关系的含义，体会从初中变量依赖观到高中集合对应观的抽象升级过程，发展数学抽象素养。

（2）掌握区间的概念与各类有限区间、无穷区间的符号表示，能在数轴上正确画出区间端点的实心与空心标记，提升直观想象与符号表达能力。

（3）能根据解析式所受限制（偶次根式被开方数非负、分母不为零等）求出函数的定义域，能判断两个函数是否为同一个函数，发展逻辑推理与运算求解能力。

（4）理解函数的三种表示法，掌握分段函数的意义并能画出其图象，能用函数观点分析出租车计费等实际情境，增强数学建模素养。

二、教学重难点

（1）重点：用集合与对应语言刻画的函数概念，定义域的求法与区间的表示，函数的三种表示法与分段函数。

（2）难点：对"唯一确定"的理解与函数图象的判据，同一函数的判定（定义域与对应关系都要相同），分段函数及其图象的建立。

三、教学方法

（1）采用情境引入与问题驱动相结合的讲授方式，借助生活实例与已学的一次函数、二次函数、反比例函数知识搭建从初中学过的变量说到高中集合对应说的认知桥梁。

（2）在区间概念、定义域求法与分段函数图象等环节安排师生问答与随堂练习，教师通过追问引导学生暴露思维过程，学生在辨析与纠错中逐步形成准确的概念表征。

（3）对易错点（并集误用"且"、负系数未化正、分母根未排除等）设置对比辨析题组，以练促讲、以错正知，帮助学生在比较中把握本质。

四、教学过程

（1）情境导入与概念形成。教师出示问题：某出租车起步价10元（3 km以内），超过3 km的部分每千米2元，行驶路程为x km（0<x≤10），车费记为y元，y是否为x的函数？请写出对应关系。学生活动：尝试列表或列式，发现需要分段表达，即当0<x≤3时

y=10，当3<x≤10时y=10+2(x−3)=2x+4。教师追问：初中我们说函数是两个变量间的依赖关系，那么这里y与x的依赖关系是"唯一确定"的吗？学生回答：给定一个x值，车费y就唯一确定了。教师引导：初中定义依赖"变化过程"，但正比例函数y=2x在x=0时y=0，并未"变化"，这说明初中定义有局限，需要用集合与对应语言重新刻画。教师板书函数概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。教师强调三要素：定义域（x的取值范围A）、对应关系f、值域{f(x)|x∈A}，值域是集合B的子集。教师追问：f(x)表示f乘x吗？学生回答：不是，f(x)表示x对应的函数值。设计意图：以生活情境激活经验，在"初中定义不够用"的认知冲突中自然引出集合对应语言的函数概念。

（2）区间概念与表示。教师指出：函数的定义域、值域都是集合，为书写方便，我们引入区间概念。设a，b是两个实数，而且a<b，规定：满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记[a，b]；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记(a，b)；满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记[a，b)、(a，b]。a与b叫做相应区间的端点。实数集R记为(−∞，+∞)，"∞"读作"无穷大"；x≥a记为[a，+∞)，x>a记为(a，+∞)，x≤b记为(−∞，b]，x<b记为(−∞，b)。教师追问：集合{x|2≤x<5}用区间怎么写？学生回答：[2，5)。教师追问：在数轴上画区间时，端点用实心点还是空心点怎样区分？学生回答：包含的端点用实心点，不包含的端点用空心点。设计意图：用紧凑符号替代冗长的集合描述，为后续定义域书写做工具准备。

（3）定义域求法与同一函数判定。教师讲解：只给出解析式而未指明定义域时，定义域就是使这个式子有意义的实数的集合。约束包括偶次根式被开方数非负、分母不为零等，多个约束要取交集。教师出示例1：求函数f(x)=+的定义域。师生共同演算：要使根式有意义，需x+2≥0，即x≥−2，得集合[−2，+∞)；要使分母不为零，需x−3≠0，即x≠3，得集合(−∞，3)∪(3，+∞)。取交集得定义域为[−2，3)∪(3，+∞)。教师追问：为什么用"∪"而不用"∩"？学生回答：x≠3本身是两段区间的并集，再与[−2，+∞)取交集仍得到两段，所以结果用并集连接。教师出示例2：判断函数f(x)=x²与g(x)=是否为同一个函数。师生演算：g(x)==x²（x≠0），定义域为{x|x≠0}；f(x)=x²定义域为R。两者定义域不同，故不是同一个函数。教师追问：g(x)化简后不也是x²吗？学生回答：化简要同步考虑分母限制，x=0时g(x)无意义而f(0)=0，对应关系虽形式相同但定义域不同，所以不是同一函数。教师追问：y=x²（x∈R）与s=t²（t∈R）是同一个函数吗？学生回答：是，因为定义域相同、对应关系一致，与用什么字母表示自变量无关。设计意图：通过易错例题强化"定义域优先"意识，辨析同一函数判定的两个条件。