2026-2027学年广东省深圳市九年级上学期第一次月考学情自测卷（北师大版）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与一元二次方程，通过新定义“差积方程”、超市利润应用及正方形动态问题，考查几何直观、运算能力与模型意识，适配九年级月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|菱形性质、一元二次方程根的判别式|结合尺规作图（第3题）考查菱形性质| |填空题|5/15|方程解的意义、矩形折叠|第13题动点问题渗透转化思想| |解答题|7/61|方程应用、菱形判定、新定义问题|第16题超市利润体现模型意识，第19题“差积方程”考查推理能力，第20题动态几何综合空间观念|

2026—2027学年广东省深圳市九年级上学期第一次月考学情自测卷（北师大版） （范围：第一章：特殊平行四边形，第二章：一元二次方程） 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 考试时间90分钟，全卷满分100分. 3.作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有无实数根，无法判断 3．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 4．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 7．下列四个命题中真命题是（    ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线垂直且相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．四边都相等的四边形是正方形 8．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　）    A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上. 9．若a为方程的一个解，则的值为______． 10．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为______． 11．如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于______． 12．已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 13．如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是________． 三、解答题:本大题共7小题，共61分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 14．（6分）解方程： (1)； (2)； 15．（7分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 16．（8分）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 17．（8分）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 18．（10分）如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 19．（10分）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 20．（12分）在正方形中，点为上一动点，于点，延长交于点，在上取，连接，． (1)如图1，当在上时，若，求的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，连接，若，判断与的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9． 10． 11． 12． 13． 14．【详解】（1）解： ， ， ∴，． （2） ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即，． 15．【详解】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 16．【详解】（1）解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：30； （2）解：设每件商品应降价元， 由题意得，． 整理得：， 解得或． ∵要尽快减少库存， ∴． ∴每件商品应降价20元． 17．(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2）过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 18．(1)证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 19．【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 20．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，为对角线， ，，， ，， 垂直平分， 又， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． (2)证明：，， ，， ∵在四边形中，， ， ， ， ． (3)解：， 理由：如图3，过点作于点 ，， 为中点，即 ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $