专题3.6 弧长及扇形的面积（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“弧长及扇形的面积”核心知识点，以圆的周长和面积公式为基础，系统推导弧长公式（l= nπR/180）和扇形面积公式（S= nπR²/360= 1/2 lR），构建“公式推导—基础计算—综合应用”的学习支架，衔接圆的性质与不规则图形面积求解。 该资料按“知识点+题型”分层设计，含8类典型题型及中考真题变式，通过滑轮转动、盾构机刀盘路径等实例，培养学生几何直观与推理能力，课中助力教师突破重难点，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化运算规范与问题解决能力。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.6弧长及扇形的面积 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01孤长 2.知识清单 知识点02扇形的面积 题型01求孤长 题型02求扇形半径 题型03求圆心角 孤长及扇形的面积 题型04求某点的弧形运动路径长度 3.题型精讲 题型05求扇形面积 题型06求弓形面积 题型07求其他不规则图形的面积 题型08求图形旋转后扫过的面积 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解弧长和扇形面积公式的推导原理，掌握公式中各字母的含义。 教学目标 2.能熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 3. 运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 1.重点 (1)弧长和扇形面积公式的推导过程，明确公式中圆心角、半径R与弧长1、扇形 面积S的对应关系。 教学重难点 (2)运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 2.难点 (1)理解弧长和扇形面积公式的推导逻辑，将圆的周长和面积公式与弧长、扇形 1/20 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积建立关联。 (2)处理不规则图形面积问题时，准确分割或补全图形，灵活选择公式进行组合运 算。 知识清单 知识点01弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长1的计算公式为：1=， 【即学即练】1.(2026安徽六安·二模)如图，⊙0的直径为AB=12,点C在圆上，且∠CAB=30°，则 AC的长为() A.2π B.3π C.4π D.6π 2.(2025安徽合肥·三模)如图，AB为⊙0的直径，AB=8,劣弧AC的长2π，则弦AC的长为 () A.2V2 B.4 C.42 D.6 3.(2026河南新乡三模)如图，在平面直角坐标系中，己知A(-3,0),D(3,0),B(0,),且点B,C在 AD上.若∠BAC=15°，则BC的长为一· 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点02扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形（弧长为）面积的计算公式为：S扇形=三1R 【即学即练】4.(25-26九年级上辽宁大连期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2.以 A为圆心AC长为半径画圆，交AB于点D,则阴影部分面积是() A.2n B. c D. 5.(2026浙江温州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心， AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E.若AB=4,则图中阴影部分的面积为() C B A-25B.-45 e-26 D. 10元-25 6.(2026河南驻马店二模)如图，正五边形DABCD的边长为2，⊙0经过点A,D,则阴影部分的面积 为 B 题型精讲 题型01求弧长 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(2026安徽安庆·二模)如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠ABC=140°，OA=3,则AC的长 是() B A.3π C.元 D.2m 【变式1】(2026湖北省直辖县级单位二模)如图，在⊙0中，0C⊥AB于点C,若⊙0的半径为10， AB=103,则劣弧AB的长为() 0 C B π A.3 B. 10π c.205 D.餐 【变式2】(2026吉林中考真题)如图，车轮的半径0A=30cm,车轮边缘上一点A绕点0转过的角 ∠AOB=80°，则劣弧AB的长为 cm(结果保留π). 4 809 B 【变式3】(2026陕西中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，∠ACB的平分线交⊙0于点 D.若AB=4,则BD的长为 4/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 求扇形半径 【典例1】(2026湖南邵阳模拟预测)在⊙0中，如果108°的圆心角所对的弧长是3Cm,那么⊙0的半 径是() A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 【变式1】(25-26九年级上：江西赣州期末)《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九 尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的 弧长为9尺，米堆的高为5尺，若π取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为() A.30平方尺 B.35平方尺 C.40平方尺 D.45平方尺 【变式2】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)一个扇形的圆心角为60°，扇形的面积为3π，则扇形半径是 【变式3】(2026甘肃平凉·二模)中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了 代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如 图)，该邮票的形状是扇形的一部分，延长AB、DC交于点O,∠AOD=15°，其“下圆弧”BC的长为 2π cm,“直边”4B的长为6cm,则单枚邮票的周长为 cm（结果保留元) 题型03求圆心角 【典例1】(2026安徽合肥·二模)一滑轮装置如图，滑轮的半径为30cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动 (π取3.14)，当重物上升47cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为() 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30 B.60° C.90 D.180° 【变式1】(25-26九年级下·四川南充期中)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三个 格点，那么AC所对的圆心角的大小是() B A.75° B.80° C.90° D.100 【变式2】(2026江苏连云港·三模)一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角的度数是 【变式3】(2026山西运城二模)如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮A和从动带轮B组成，皮 带紧绷且传动时无滑动.已知主动带轮半径为6Cm,从动带轮半径为8Cm,当主动带轮转动的圆心角为 240°时，从动带轮转动的圆心角为 B 题型04 求某地的弧形运动路径长度 【典例1】(2026江苏盐城·二模)如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径 为12Cm;当点A转过30°时，重物上升的高度是() ☐重物 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2πcm B.4πcm C.6πcm D.12πcm 【变式1】(2026浙江宁波·二模)如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°得到△A'OB',若OA=3, 则点A经过的路径长为()， B π B.4 c π D.4 【变式2】(2026湖南怀化一模)图1为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形.图2为其 几何示意图.已知该盾构机前端的刀盘直径16.6米，匀速旋转一周用时约45秒，刀盘上的滚刀从A开始， 匀速旋转9秒后到达B处，则此过程中该滚刀所经过的路径AB的长度为一m.(结果保留π) 图1 图2 【变式3】(2026宁夏银川二模)如图，边长为23cm的正六边形螺帽，中心为点0,0A垂直平分边 CD,垂足为B,AB=15cm,用扳手拧动螺帽旋转12O°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm 题型05求扇形面积 【典例1】(2026广东中考真题)如图，⊙0的半径为1，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°.则图中 阴影部分的面积为() 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B. π c.a D. 【变式1】(2026河南信阳模拟预测)如图，⊙O的半径为2，OA⊥CD于点E,AE=2-√2，则扇形 BOD的面积为() B 4 A.2 B.兀 C.3z D.2π 2 【变式2】(2026河南周口三模)如图，点A,B,C是⊙0上的三个点，0B=0C=3,∠A=70°，则扇 形BOC的面积为. 【变式3】(2026广东茂名模拟预测)如图，已知滑轮的半径为10cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动， 当重物上升5πCm时，半径OA转过的面积是 4 滑轮 重物Ⅲ 题型06求弓形面积 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(23-24九年级下·四川眉山阶段检测)如下图，点A、B、C在圆0上，∠D=30°，直线 AD∥BC.点O在BD上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为(） 4 D A3-}5 .-5 e.325 D.3π 【变式1】(2025江苏南通二模)如图，矩形ABCD中，AB=4V2,AD=2,以AB为直径作半圆O, 则图中阴影部分的面积是() A.4π-8 B.2π-4 n.月 【变式2】(2026四川成都二模)如图是6×6的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是格点 (小正方形的顶点)，连接AB,在网格中画出以AB为直径的圆，圆心为点O,点C,D是格点且在圆上， 连接CD,则图中阴影部分的面积是 D B A 【变式3】(25-26九年级上湖北武汉·期末)如图，A,B是半径为2的⊙0上的点，∠A0B=120°，C 是AB中点，连AC,BC,则阴影部分面积为 (结果不要求近似值) 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07求其他不规则图形的面积 【典例1】(2026湖南长沙二模)如图，以AB为直径作半圆，点C在半圆O上，AB=20,∠ABC=54 则图中阴影部分的面积为() B A.40元 B.20元 C.10元 D.5π 【变式1】(2026山西忻州二模)如图，BC为O0的直径，点A在圆上，GABCD中边AD与⊙O交于点 E,己知BC=2W5,点E恰好为AD的中点，则阴影部分的面积为() B. c号 D.元 【变式2】(2026河南平项山·三模)如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转45°得到半 圆O',点B的对应点为B'.若AB=6,则阴影部分的面积为 (结果保留兀)· 【变式3】(25-26九年级下·江苏泰州阶段检测)如图，在扇形A0B中，∠A0B=45°，OA=V5,正方形 CDEF的顶点C、D、E、F分别在OA、OB、AB上. C (I)求正方形CDEF的边长： 10120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求图中阴影部分的面积. 题型08 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】(25-26七年级下山东烟台期末)如图，钟面上的时针长4Cm,从3点到3点半，时针在钟面 上扫过的面积是() 10 21 8 P 6 2π A.3cm B.3cm D.en 【变式1】(2026河北邯郸·一模)如图，在△ABC中，∠ACB=65°，∠BAC=100°，AB=2,将△ABC 绕点A逆时针旋转a(0<a<180)得到△AB'C,使点B、C,B恰好在同一直线上，则在旋转过程中， 边AB扫过的面积为() 5 7 A 6 B.1 C.6π 【变式2】(25-26九年级上山东济南期末)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=3」 将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过的面积为一 【变式3】(25-26九年级上浙江绍兴期末)如图，在5×7的网格上小正方形的边长都为1，点A,B,C 都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ABC. 11/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)画出△AB,C. (2)求AB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）· 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26九年级上·浙江宁波月考)在半径为5cm的⊙0中，45°的圆周角所对的弧长为() 3 3 5 A.cm B.2xcm C.em D.xcm 2.(23-24九年级上全国期末)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=24°，以AB为直径的⊙0交BC于点 D,若点D恰好为BC的中点，则图中阴影部分的面积为() 8 4 A3π B.157 D.15 3.(25-26八年级上·全国期中)如图，在△ABC中，AC=18,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转50°， 得到△AB'C,则下列说法错误的是() B B A.AA的长为5π B.A'C=18 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.∠BCA'=50° D.∠ACB=∠ACB 4.(2025·安徽模拟预测)如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,AC为⊙O的直径，若∠BED=45°，AB=2, 则阴影部分的面积为() A. 4 B. c D.元 5.(25-26九年级上江苏镇江·月考)如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点0到门框的 距离为2cm,且OA上1，当开门时，提起门把手绕点O顺时针旋转60°点A到达点B的位置，此时点B到 门框l的距离为8cm,则门把手OA划过的区域面积为() 图① 图② A.12π B.24π C.36π D.48元 二、填空题 6.(25-26九年级上·上海浦东新·期中)扇形的半径为3Cm,圆心角为60°，则扇形的弧长为 cm, 面积为 cm2(结果保留π). 7.(25-26九年级上山东东营期中)某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示)，其形状是扇形 的一部分.图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，测得∠ADC=∠BCD=120°，DC=6cm」 AD=BC=5cm,则这块宣传版面的面积是 _cm2. B 图1 图2 8.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中，B点坐 13120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为一，弧ABC的长为 (结果保留根号及π) B A 9.(25-26九年级上内蒙古赤峰月考)如图，己知AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠D=60°且 AB=6,过点O作OE⊥AC交OO于点F,垂足为E.则求阴影部分的面积为 B 10.(25-26九年级上·浙江杭州·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，以点A为圆心，AC长为半径画弧 CE,连结AC、AE.若AB=2,则图中阴影部分的面积是一. 三、解答题 11.(25-26九年级上山西太原·月考)如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水 部分弓形的高为6cm,求截面中有水部分弓形的面积. 6cm 个 12.(25-26七年级上河北石家庄期中)日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面 14120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 在同一平面上.如图，⊙0表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线I上，△OAB为等边三角形， OA,OB与⊙0分别交于P,两点，点C,D是O0上两点，CD∥AB,过O作OE⊥AB于点E,交 CD于点F,交⊙O于点M.已知CD=60W3cm,OF=30cm,ME=20cm. ,F M (1)求⊙0的半径： (2)求图中阴影部分的面积.（结果保留） 13.(25-26九年级上·浙江衢州期中)如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交OO于点F. B D (1)求证：AB=AC: (2)若AB=8,∠BAC=60°，求图中阴影部分的面积. 14.(25-26九年级上浙江衢州洲月考)如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,点A、 点B、点C的坐标分别为(0,4)，(4,4)，(6,2). y (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为一 (2)求AC的长.（结果保留π） 15120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26九年级上吉林期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，在AB的延长线上取一点D, 连接CD,使∠BCD=∠A. D (1)求证：直线CD是⊙O的切线 (2)若∠ACD=120,AB=2,则图中阴影部分图形的面积为 (结果保留π) 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形 花圃，扇形圆心角∠A0B=120°.半径OA为6m,那么此花圃的面积为() B A.12m2 B.9元m2 C.6m2 D.3元m2 2.(2026重庆三模)如图，点A,B,C是⊙0上的三个点，OB=OC=3,∠A=70°，则扇形B0C的面 积为() 4 7 A. B. 3π C.2 D.2n 3.(2026山东菏泽·二模)如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为2cm的正六 16120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边形（象征六艺兼修)，内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”.请计 算这部分阴影区域的面积为()（结果保留π） 2π A.3 B.2 c.8 D.6n 4.(2026广东惠州：二模)如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O, 点A,B,C均在圆弧上，经测量得∠ABC=135°，OB=2,则AC的长度为() A.2 B.下 C. D 5.(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙0与BC,AB分别交于点 D,E,连接AD,DE.若∠BDE=40°，AC=4,则阴影部分的面积为() 10元 A. 9 B. c D.i 二、填空题 6.(2026黑龙江哈尔滨·三模)如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πCm,假设绳索与滑轮 之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了度 17120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重物 7.(2026福建福州三模)已知⊙0的半径为6，AC是⊙0的弦，点B是⊙0上异于点4.C的一点，若 AC=4π，则∠ABC的大小为 8.(2026安徽合肥模拟预测)如图，⊙O的直径AB=10cm,C是⊙O上一点，且∠ABC=30°，则AC 的长为 cm,(结果保留π) B 9.(2026河南洛阳·二模)如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若AB 与CD所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的周长为一· 10.(25-26九年级下河南商丘·期中)如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中 AB=BC=10cm,∠ABC=90°，分别以AB,BC为直径画半圆交于点D,则阴影部分的面积为. cm 三、解答题 11.(25-26九年级上广东珠海期末)如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到 18/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △DEC (I)画出△DEC: (2)求边AC在旋转过程中扫过的图形面积. 12.(2026浙江金华·一模)如图，在△ABC中，∠CAB=Rt∠，以AB为直径作半⊙O,点D是该半圆上 的点，连接AD交BC于点E,AE=BE. D E A 0 B (1)求证：E为BC的中点； (2)若AC=AE=6,求BD的长 13.(2026河南信阳一模)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,BE=OF, 连接OC、BC. F B O E D ()求证：△CFO≌aCEB; (2)若OA=2,求阴影部分的面积. 14.(25-26九年级下·湖南长沙期中)“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实 劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发 现其还蕴含了数学知识.如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示 意图如图2，∠DBE=∠BEF=120°，BD=6cm,当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD',此时 BD∥EF(如图3). 19120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 喷嘴 伸缩连枉 D 导管 图1 图2 图3 (I)求点D转动到点D'的路径长： (②)求点D到直线BD'的距离（结果精确到0.1cm).(参考数据：V5≈1.732） 15.(2026河南开封·模拟预测)在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化 成东方特有的美学符号.下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为AB的中点，且CD⊥弦 AB,连接AC D 图1 图2 (I)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）： (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O,若AD=OD=V2,求阴影部分的面积。 16.(2026浙江宁波二模)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，以AB为直径作半⊙0，点D是该半圆上 的点，连接AD交BC于点E,AE=BE E A (I)求证：E为BC的中点： (2)若AC=AE=6,求BD的长. 20120 专题3.6 弧长及扇形的面积 教学目标 1. 理解弧长和扇形面积公式的推导原理，掌握公式中各字母的含义。 2. 能熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 3. 运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 教学重难点 1.重点 （1）弧长和扇形面积公式的推导过程，明确公式中圆心角n、半径R与弧长l、扇形面积S的对应关系。 （2）运用弧长和扇形面积公式解决基础几何计算问题，做到代入准确、计算规范。 2.难点 （1） 理解弧长和扇形面积公式的推导逻辑，将圆的周长和面积公式与弧长、扇形面积建立关联。 （2）处理不规则图形面积问题时，准确分割或补全图形，灵活选择公式进行组合运算。 知识点01 弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 【即学即练】1．（2026·安徽六安·二模）如图，的直径为，点在圆上，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过圆周角定理求出度数，然后再求出的度数，最后用弧长计算公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为直径， ， 的长为． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 3．（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 知识点02 扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR 【即学即练】4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求扇形面积等知识，先根据等腰直角三角形的性质得出，再根据扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵以为圆心长为半径画圆， ∴， 故选C． 5．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形公式、解直角三角形计算，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意易得、，再利用进行计算阴影部分面积即可． 【详解】解：在中，，， ， 、 则图中阴影部分的面积为． 6．（2026·河南驻马店·二模）如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】先根据正多边形内角公式求得，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 题型01 求弧长 【典例1】（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在圆上取点，连接，，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接，， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 【详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【变式3】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 题型02 求扇形半径 【典例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径的计算以及弧长的计算． 设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为9尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 【变式3】（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） 【答案】 【分析】利用弧长公式求得该邮票的“下圆弧”的半径，再利用弧长公式求得该邮票的“上圆弧”的长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得：， ∴该邮票的“上圆弧”的半径为， 则该邮票的“上圆弧”的长为， ∴单枚邮票的周长为：． 题型03 求圆心角 【典例1】（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 【变式2】（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 【详解】解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 【变式3】（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 题型04 求某地的弧形运动路径长度 【典例1】（2026·江苏盐城·二模）如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意，重物上升的高度是. 【变式1】（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 【变式2】（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴， ∴的长度为． 【变式3】（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 题型05 求扇形面积 【典例1】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【变式1】（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·河南周口·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 扇形的面积为． 【变式3】（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 题型06 求弓形面积 【典例1】（23-24九年级下·四川眉山·阶段检测）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 【变式1】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式2】（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积． 先设线段与线段的交点为，通过是中点，证明和都是等边三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理得出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设线段与线段的交点为， ∵是中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 题型07 求其他不规则图形的面积 【典例1】（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是半圆O的直径，所以，与等底等高，即面积相等，所以求阴影部分的面积转换为求扇形的面积，因为与是劣弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理得，是的邻补角，求出，即扇形的圆心角，再利用扇形的面积公式，即可求出． 【详解】解：是半圆O的直径， ， 与等底等高，面积相等， ， 与是劣弧所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ． 【变式1】（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形的边长为1 (2) 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； （2）解：由（1），得， ∴，， ∴． 题型08 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 【变式1】（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】根据题意可以求得和的长，再根据旋转的性质即可求得扫过的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴扫过的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，求图形旋转后扫过的面积，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点B、C的对应点的位置，再与点A顺次连接即可； （2）利用网格求出的长度，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， 边扫过的图形面积=． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在半径为的中，的圆周角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是熟记定理和弧长公式．首先根据圆周角定理求得弧所对的圆心角的度数，再进一步根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是， 根据弧长的公式． 故选：． 2．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键． 首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， 是直径， ，即， 为的中线， 是等腰三角形， ， ， ， 半径为2， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则下列说法错误的是（    ） A．的长为 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质、弧长的计算，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据旋转变换的性质、弧长公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∴的长为：，， 则选项A、B、D说法正确，不符合题意；选项C说法错误，符合题意； 故选：C． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，AC为⊙O的直径，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， 为的直径， ， ， ， 即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别为点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留π）． 【答案】 π 【分析】本题主要考查扇形的弧长和面积计算，掌握弧长公式和扇形面积公式（ 为圆心角度数，为半径）是解题的关键． 根据弧长公式  和扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵半径 ，圆心角 ， ∴弧长 ． 扇形面积 ． 故答案为：π，． 7．（25-26九年级上·山东东营·期中）某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 延长交于点O，可得是等边三角形，进而得出，再作，即可根据勾股定理求出，接下来求出，最后用扇形的面积减去三角形面积得出答案． 【详解】解：如图所示， 延长交于点O， 由题意，点O是圆弧所在的圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴． 过点O作于点H，则， ∴． ∵， ∴， 所以这块宣传板的面积为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ，弧的长为 （结果保留根号及） 【答案】 【分析】此题考查的是垂径定理，可连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，然后再判断其坐标即可．设圆心为M，连接，过M作的垂线，设垂足为D；根据点M的坐标，可得出、的长，再由勾股定理即可求出的半径，再由定理得出，故可得出的度数，由弧长公式即可得出结论，能够根据垂径定理来确定出圆弧所在圆的圆心，是解答此题的关键． 【详解】解：连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，该圆弧所在圆的圆心如图所示，该圆弧所在圆的圆心坐标为； 设圆弧所在圆的圆心为M，连接；过M作于D，则，； 在中，根据勾股定理，得：； 该圆弧所在圆的半径为， 在与中， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：，． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．则求阴影部分的面积为    【答案】 【分析】连接，由，则，，，所以，由圆周角定理可得，所以，从而可得是等边三角形，则有，然后证明，故有，则，然后代入即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理以及扇形面积，作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接，先求出，再利用圆周角定理得到，得到后，利用勾股定理求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，掌握相关结论解答此题的关键．连接，作，由题意得：，，推出，求出即可求解； 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴截面中有水部分弓形的面积 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键； （1）连接，推出，得，即可求解； （2）由（1）可知：,推出，根据为等边三角形，求出，，结合，即可求解； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：, ∵． ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 13．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的证明及性质，勾股定理，不规则图形的面积的计算，掌握不规则图形的面积的计算是正确解答的前提． （1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得，进而求出答案； （2）过D作，根据圆周角和等腰三角形三线合一的性质，得出为等边三角形，再用扇形的面积减去的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 又∵扇形的面积， ∴阴影部分面积． 14．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点、点、点的坐标分别为，，． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______． (2)求的长．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长的计算、坐标与图形性质、勾股定理及垂径定理，熟知弧长的计算公式及根据图形得出圆心的位置是解题的关键． （1）分别作出弦和的垂直平分线，得出交点即为圆心，据此求出圆心坐标即可； （2）先用勾股定理求出圆的半径，再结合弧长的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，分别作出弦和的垂直平分线，交于点，点即为所在圆的圆心， 所以圆心的坐标为． 故答案为：． （2）如图，连接，， ∵点、点、点的坐标分别为，，， ∴小正方形网格的边长为1． 由勾股定理得，． 由网格可知，， 则的长为：． 15．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）解：证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 2．（2026·重庆·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 4．（2026·广东惠州·二模）如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全整个圆，根据圆内接四边形结合圆周角定理求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴的长度为． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B．π C． D． 【答案】A 【分析】连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 【答案】 【分析】根据弧长为 ，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设滑轮上某一点P旋转了， 根据题意，得 ， 解得 ． 7．（2026·福建福州·三模）已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 【答案】或 【分析】先根据弧长公式求出所对的圆心角度数，再分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 由弧长公式，将，代入得：， 解得，即所对的圆心角为， 分两种情况讨论：当点在优弧上时， 根据圆周角定理，， 当点在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，得， 则的大小为或． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，的直径，C是上一点，且，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，由直径求出半径，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 直径， 半径， ． 9．（2026·河南洛阳·二模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】由网格可得出，，，，根据弧长公式求出和，最后根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】解：由网格可知，， ∴的长：， 由网格可知，， ∴的长：，， 由网格可知， ∴阴影部分的周长为． 10．（25-26九年级下·河南商丘·期中）如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 【答案】50 【分析】设，的中点分别为点E、F，连接，根据割补法可知，进而问题可求解． 【详解】解：设，的中点分别为点E、F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴“蝴蝶风筝”图案左边部分阴影面积等于等腰直角三角形的面积， ∴根据轴对称图形的性质可知：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握作旋转图形及扇形的面积是关键． （1）分别作出点A与点B绕点C顺时针旋转后的对应点D与点E，连结，和即可； （2）根据勾股定理求得，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，     线段在旋转过程中扫过的图形面积为． 12．（2026·浙江金华·一模）如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点． (2)的长为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，可得，，可得，可得，，可得，由等角对等边可得，即可证得结论； （2）连接，是等边三角形，可得，可得，由圆周角定理可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，可得，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 13．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：∵是⊙O的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ 在与中 ∴． (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定； （2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴，为等边三角形． ∴，． ∴， ∴． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)点转动到点的路径长为 (2)点到直线的距离约为 【分析】本题考查圆的弧长、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握弧长公式． （1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长； （2）过点作于点，先证是等边三角形，结合等边三角形的性质与勾股定理可得的长，即点到直线的距离． 【详解】（1）解：，且， ． ， ． ， ， 点转动到点的路径长为． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知， ， 是等边三角形． ， ． ，， ． 点到直线的距离约为． 15．（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【详解】（1）解：略 （2）解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 16．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点． (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，可得，可得，可得，，可得，由等角对等边可得，即可证得结论； （2）连接是等边三角形，可得，可得，由圆周角定理可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，可得，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $