第十八章分式培优提升专题训练　2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以分式运算、方程应用为核心，通过分类题型整合性质应用、参数法、整体思想等解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的运算|4类型9题|性质求值、参数法、倒数性质、整体思想|从分式性质到代数变形技巧，层层递进| |阅读理解题|2题|类比推理、拆项法、数据分析|通过材料理解分式特征，培养数学思维| |分式方程|3类型6题|含参问题处理、换元法、建模应用|从解法到实际应用，强化模型观念| |教材难题生长题|1例2题|问题拓展、变式迁移|基于教材母题延伸，提升应用意识| |全国视野特训|4题|综合探究、跨学科融合|整合各地考向，培养创新意识与推理能力|

第十八章 分式 培优提升专题1 分式的运算 类型1 利用分式的性质求值 1.若3xy-x+y=0且xy≠0,则分式 的值是( ) A.-3 B.3 C. xy D. 2.已知 求分式 的值. 3. (2026南充期末)已知 求 的值. 类型2 利用参数求值 4.已知 则 5.若3x-4y-z=0,2x+y-8z=0,求 的值. 类型3 利用倒数的性质求值 6. (2026 河北模拟)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值等于2，求 的值. 7. 已知 求代数式a+b+c的值. 类型4 利用整体思想求值 8.已知 则 的值为( ) A.6 B. - 6 C.3 D.9 8. 已知a，b，c是正数，且满足 求 的值. 培优提升专题2 与分式有关的阅读理解题 1.(2026 吉林期末)阅读理解题. 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... -0.25 -0.3 -0.5 -1 无意义 1 0.5 0.3 0.25 ... 从表格数据可得，当x>0时，随着x的增大， 的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随着x的增大， 的值也随之减小. 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式.当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫作假分式.有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式. 如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当x>0 时,随着x 的增大,1+ 的值随之 ;当x<0时,随着x的增大, 的值随之 ;(填“增大”或“减小”) (2)当x>1时,随着x的增大, 的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当0≤x≤2时,求代数式 的值的范围. 2.(2026 江苏模拟)类比推理是一种 扫码批改+错题本推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算. 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将3x拆成x和2x, 即原式 =x(x+2)+(x+2)=(x+2)(x+1). 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法. 请用类比的方法，解决以下问题： (1)已知 ,..,,!，则依据此规律得 (2)请你利用拆项法进行因式分解： (3)受此启发，解方程： 培优提升专题3 分式方程的解法与应用 类型1 分式方程的含参问题 1. (代数推理)(2026 河南模拟)若分式方程 的解为正整数，求整数m的值. 2. (2026成都期中)若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤4，且关于y的分式方程 的解均为负整数，求所有满足条件的整数a的值之和. 类型2 用换元法解分式方程 3.在分式方程 中，设 可得到关于y的整式方程为( ) 3. 解方程： ◆类型 3 分式方程的应用 5.(2026 陕西期末)某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂投标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天; 方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的任务由乙厂单独做也正好如期完成. 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是( ) A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 6.(2026 重庆模拟)某校在商场购进A，B 两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2 500 元，购买B 品牌篮球花费了2 000 元，且购买A 品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B 品牌篮球比购买一个A 品牌篮球多花30元. (1)问购买一个A 品牌、一个B 品牌的篮球各需多少元? (2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售.如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3 060元，那么该校此次最多可购买多少个 B品牌篮球? 培优提升专题4 教材难题生长题 【教材难题】 【例2】(人教8上P169 拓广探索)(运算能力、模型观念、应用意识、创新意识)两个小组同时开始攀登一座450 m高的山，第一组的平均登高速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15 min到达顶峰。两个小组的平均登高速度各是多少？如果山高为 ，第一组的平均登高速度是第二组的 倍，并比第二组早 达到顶峰，那么两组的平均登高速度各是多少？ ☆解题思路：设第二组的平均登高速度为 ，则第一组的平均登高速度是 ，根据第一组比第二组早15 min到达，列方程求解；把数字代换为字母进一步列出方程解答即可。 难题生长 2. 一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地，设前一小时行驶的速度为 . (1)直接用含 的式子表示提速后走完剩余路程的时间为　　　　　　　　　　　 ； (2)求汽车实际走完全程所花的时间； (3)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以 的速度行驶，另一半路程以 的速度行驶( )，则用时 小时；若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以 的速度行驶，则用时 小时。请比较 的大小，并说明理由。 培优提升专题5 全国视野培优特训 1.(2026湖南期末)综合探究. 我们把形如 (a,b不为零)，且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”. 例如 为十字分式方程，可化为 再如 为十字分式方程，可化为x+ 【理解】(1)若 为十字分式方程，则 ,x₂= ; 【应用】(2)若十字分式方程 的两个解分别为 求 的值； 【拓展】(3)若关于x的十字分式方程 -k-1的两个解分别为 求 的值. 2.(2026 四川期末)某商场准备购进 扫码批改+错题本A，B两款净水器，每台A款净水器比B 款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27 000 元购进B款净水器台数的2倍,A,B 两款净水器每台售价分别是1 350元，2 100 元.请解答下列问题： (1)A，B两款净水器每台的进价各是多少元? (2)若该商场将6万元资金全部用于购进A 和B 两款净水器，要求两款净水器都要有，且购进 B 款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案? (3)在(2)的条件下，为促进销售，该商场推出每购买一台净水器可抽奖一次的活动，中奖顾客可获得同款净水器滤芯一个. A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元，500元.如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5 250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个?请直接写出答案. 3.(2026大连期末)某汽车制造厂接到两项都为生产360 辆汽车的任务. (1)完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天? (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中a≠b)： 甲方案：计划180 辆按每天生产a辆完成，剩下的180辆按每天生产b辆完成，设完成生产任务所需的时间为t₁天. 乙方案：设完成生产任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆.请比较t₁，t₂的大小，并说明理由. 4.(跨学科融合)(2026晋江模拟改编)【问题背景】科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变.(溶液浓度=溶剂溶质质量+溶质质量×100%) 【实验操作】这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠(溶质)和水(溶剂)的质量(单位：g)，并填入实验数据表格. 姓名 氯化钠 (溶质)/g 水(溶剂)/g 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】(1)若同学甲记录数据为a=1，b=3. ①请写出同学甲配制的溶液浓度x= ； ②已知同学乙、同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d=4.5g，同学丙准备氯化钠的质量e =2g，请求出c和f的值； 【继续操作】最后，小组组长将同学甲、乙、丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变. (2)请证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知 且(a,b,c,d,e,f均为正数,求证: 【拓展延伸】(3)已知 其中a,b,c均不为0且a+b+c≠0,求 的值. 第十八章 分式 培优提升专题1 分式的运算 1. A 2.解：由题意知， 3.解: 4. 5.解：∵解方程组 解得 ∴原式 6.解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2，∴a+b=0, cd=1,m=±2, 当m=2时,原式=2-1=1, 当m=-2时,原式= -2-1= -3, 的值为1或-3. 7.解: 组成方程组为 解得 ∴a+b+c=1+2+3=6. 8. A 9.解:∵a+b+c=6, ∴a=6-(b+c),b=6-(a+c),c=6-(a+b), …原式 培优提升专题2 与分式有关的阅读理解题 1.解:(1)减小 减小 ∵当x>1时，随着x的增大， 的值无限接近0， 的值无限接近2. 又∵0≤x≤2, 2.解: =x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3). 化简得 经检验， 是原方程的解，∴原方程的解为 培优提升专题3 分式方程的解法与应用 1.解：方程变形得 去分母得x=3(x-1)+ mx, 移项合并得(2+m)x=3, 解得 由方程的解为正整数，得到x为正整数，即2+m=1或2+m=3, 解得m=-1或m=1(舍去，会使得分式无意义). 故整数m的值为-1. 2.解:解不等式①,得x≤4,解不等式②,得x<a+2,由题意得a+2>4,解得a>2. 解方程 得 且y≠-2, 由题意得 且 解得a<10且a≠6, ∴2<a<10且a≠6, 为负整数，∴a为偶数， ∴a=4或8,∴4+8=12, 即所有满足条件的整数a的值之和是12. 3. D 4.解:设 则原方程化为 方程两边同时乘y得 解得 经检验 都是方程 的解. 当：y=2时, 解得：x=-1; 当：y=-2时, 解得 经检验，x= - 1或 都是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x=-1或 5. C 6.解：(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元, 由题意得 解得x=50, 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， 则x+30=80. 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元. (2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购买A 品牌篮球(50-a)个, 由题意得50(1+8%)(50-a)+80×0.9a≤3060,解得a≤20. 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球. 培优提升专题4 教材难题生长题 教材难题 【例1】解：(1)∵一个无盖长方体盒子的容积是 V，盒子底面是边长为a的正方形， ∴长方体盒子的高 ∴这个盒子的表面积 (2)∵一个无盖长方体盒子的容积是 V，盒子底面是长为b、宽为c的长方形， ∴长方体盒子的高 ∴这个盒子的表面积 (3)∵盒子的底面积相等，.∴ ∴这两个盒子的表面积之差为 【例2】解：设第二组的平均登高速度是x m/min，则第一组的平均登高速度是1.2xm/min，由题意得 解得x=5, 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意， 则1.2x=6. 答：第一组的平均登高速度是6m/min，第二组的平均登高速度是5m / min. 设第二组的平均登高速度是 y m/min，则第一组的平均登高速度是(ay m/ min, 由题意得hy - h/ ay=t,解得 经检验，y= ah-hy是原分式方程的解，且符合题意，则ay= ah-h. 答：第一组的平均登高速度是 第二组的平均登高速度是 难题生长 1.解:(1)根据题意得((20-2a)+(16-2a)+a=24,解得a=4. 答：a的值为4. (2)设甲组有x名同学，则乙组有(20-x)名同学，根据题意得 解得x=15, 经检验，x=15 是原方程的解且符合题意. 答：甲组有15名同学. 2.解: (2)依题意，得 解得x=60, 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意， 答：汽车实际走完全程所花的时间为-\frac{7}{3}h. 理由如下： 1 学科网（北京）股份有限公司 $