第十八章《分式》 单元检测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以分式概念、运算及方程为核心，结合文创、研学等现实情境，通过基础题与综合应用题梯度设计，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式概念（1题）、分式值为0（2题）|古代驿站问题（9题）体现文化传承| |填空题|6/18|分式有意义条件（11题）、分式化简（13题）|鱼塘鲤鱼估算（16题）培养数据意识| |解答题|8/72|分式方程应用（19题）、综合实践（23题）|研学麦草方格制作（23题）设多问层次，考查推理能力与应用意识|

第十八章《分式》检测试卷2026-2027学年人教版八年级数学上册 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式中，是分式的是（　 　） A． B． C． D． 2.若分式的值为0，则x的值为（　 　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 3. 下列各式中，正确的是（　 　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（　 　） A． B． C． D． 5．计算的结果为（　 　） A． B． C． D． 6．若，则 的值为（　 　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法计算 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（　 　） A． B． C． D．－ 8. 关于的方程有增根，则的值是（　 　） A． B．1 C． D．3 9. 在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天； 若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（　 　） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 10. 某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要延期3天完成． 现两队先合做2天，再由乙队独做，也正好按期完成．如果设规定的期限为x天， 那么根据题意可列出方程： ①＝1；②；③；④； 其中正确的个数为（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．在函数中，自变量的取值范围是___________． 12．若分式的值为0，则x的值为 ． 13．计算的结果是 ． 14．计算：______． 15．已知，，求__________． 16． 某鱼塘原有500条鱼，其中有100条鲤鱼，后该鱼塘放入若干条鱼与原有鱼混养， 放入的鱼中鲤鱼占比．此时鱼塘主随意捞出100条鱼，发现其中有25条鲤鱼． 则估算放入的鱼共 条． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)；     (2). 18．解分式方程： (1)；       (2)＝1. 19第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱． 在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元， 用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍， 求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 20．化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 21.(1)先化简，再求值：，其中a＝3； (2)先化简，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 22．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱，为满足儿童对机器人玩具的需求， 某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1) 求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2) 因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个， 且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍， 那么购进A种机器人玩具多少个时花费最少？ 23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神， 成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动． 为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易， 研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格， 已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1) 根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2) 任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3) 制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回， 于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？ 如果能，请说明理由： 如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 24． 下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元， 用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同， 求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1) 解法二所列方程中的表示 （填序号）； 1 甲种商品每件进价元； ②乙种商品每件进价元； ③购进甲种商品和乙种商品各件． (2) 请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3) 若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元， 设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4) 该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章《分式》检测试卷2026-2027学年人教版八年级数学上册（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式中，是分式的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义结合整式的概念逐一进行分析即可得. 【详解】A. ，是单项式，故不符合题意； B. ，是多项式，故不符合题意； C. ，是分式，故符合题意； D. ，是多项式，故不符合题意， 故选C. 2.若分式的值为0，则x的值为（　 　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【答案】B 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 3. 下列各式中，正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照分式的基本性质逐项排除即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：D． 4．计算的结果是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 ． 5．计算的结果为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 6．若，则 的值为（　 　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法计算 【答案】C 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，整理得到关系式，原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，代入计算即可求出值． 【详解】由=得到（x+y）2=xy，即x2+y2=-xy， 则===-1． 故选C． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（　 　） A． B． C． D．－ 【答案】B 【分析】根据规定运算将转化为关于x的分式方程，解分式方程即可得． 【详解】解∶∵，， ∴， 去分母得，， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：B． 8. 关于的方程有增根，则的值是（　 　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程增根问题．依次去分母、去括号、移项、合并同类项，将分式方程转化为整式方程解得，根据分式方程的增根是去分母后得到的整式方程的根，且使原方程分母为零，得到，即可求出m的值． 【详解】解：， 将方程两边同乘，去分母得：， 解得：， 关于的方程有增根， ， ， ， 解得：， 故选：D． 9. 在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天； 若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（　 　） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 10. 某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要延期3天完成． 现两队先合做2天，再由乙队独做，也正好按期完成．如果设规定的期限为x天， 那么根据题意可列出方程： ①＝1；②；③；④； 其中正确的个数为（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】根据规定日期为x天，则甲队完成任务需要x天，乙队完成任务需要(x+3)天． 记该工程总量为“1”，根据题意，得：甲、乙的工作效率分别为、， 根据“甲乙合做的工作量+乙做的工作量＝1”，由此可列方程：，故②正确， 根据“甲的工作量+乙做的工作量＝1”，可列方程：，故③正确，①错误， 根据题意得“乙3天的工作量＝甲2天的工作量”，可列方程：，故④正确， 综上可知：②③④方程均符合题意，共3个， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，只需分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得，解得． 12．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由分式的值为0时，分母不能为0，分子为0，可得2x-4=0，x+1≠0， 解得x=2， 故答案为：2． 13．计算的结果是 ． 【答案】 【详解】【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可得答案． 【详解】原式= = =， 故答案为. 14．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法，平方差公式的运用，将除法变为乘法约分即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 15．已知，，求__________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴即 ∵， ∴ ∴ 16． 某鱼塘原有500条鱼，其中有100条鲤鱼，后该鱼塘放入若干条鱼与原有鱼混养， 放入的鱼中鲤鱼占比．此时鱼塘主随意捞出100条鱼，发现其中有25条鲤鱼． 则估算放入的鱼共 条． 【答案】100 【分析】此题考查利用样本估计总体，解分式方程，掌握好相关的计算公式是解题关键． 通过样本中鲤鱼的比例估算整体比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设放入的鱼共x条，则放入后总鱼数为条，总鲤鱼数为条． 根据样本比例等于整体比例，得方程：， 两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得，． 经检验，是原方程的解． 故答案为：100． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)；     (2). 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）原式＝－＝＝； (2)原式＝·＝－·＝－. 18．解分式方程： (1)；       (2)＝1. 【答案】（1）x＝4；（2）x＝－3. 【详解】【分析】（1）两边同时乘以x(x+2)，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得； （2）两边同时乘以（x+1）(x-1)，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得. 【详解】(1)方程两边都乘以x(x＋2)， 得2(x＋2)=3x， 解得x=4， 检验：当x=4时，x(x＋2)≠0， 所以原分式方程的解为x=4； (2)方程两边都乘以(x＋1)(x－1)， 得(x＋1)2＋4=(x＋1)(x－1)， 解得x=－3， 检验：当x=－3时，(x＋1)(x－1)≠0， 所以原分式方程的解是x=－3. 19第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱． 在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元， 用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍， 求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元 【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键． 设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案． 【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）， 答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元． 20．化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 21.(1)先化简，再求值：，其中a＝3； (2)先化简，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】(1) －；（2）－2. 【详解】【分析】（1）括号内先通分进行分式加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除运算，化简后把数值代入进行计算即可； （2）括号内先通分进行分式加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除运算，化简后根据使分式有意义的原则在所给的数中选择一个合适的数值代入进行计算即可. 【详解】(1)原式= =， 当a=3时，原式=－； (2)原式=， ∵x－1≠0，x－3≠0，∴x≠1且x≠3， ∴x只能选取2， 把x=2代入，原式==－2. 22．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱，为满足儿童对机器人玩具的需求， 某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1) 求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2) 因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个， 且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍， 那么购进A种机器人玩具多少个时花费最少？ 【答案】(1)50元，60元 (2)购进30个A种机器人玩具时花费最少 【分析】（1）先设A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据购进两种机器人玩具的数量之间的关系得出分式方程，检验可得答案； （2）设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题意得出不等式，并求出解集，然后结合（1）中的单价得出，接下来根据一次函数的性质讨论得出答案． 【详解】（1）解：A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，则， 所以购进A种机器人玩具的单价是50元，B种机器人玩具的单价为60元； （2）解：设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题意，得 ， 解得． ， ∵， ∴函数值随着m的增大而减小， ∴当时，（元）， 所以购进30个A种机器人玩具时花费最少． 23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神， 成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动． 为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易， 研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格， 已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1) 根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2) 任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3) 制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回， 于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？ 如果能，请说明理由： 如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间 (2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块 (3)不能，每小时至少多做12块 【分析】本题考查分式方程的应用： （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍， 故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量 小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块， 故x表示乙队完成任务所需时间； （2）解：，得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； 解：，得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； （3）不能；1小时20分钟小时 甲队已完成：（块）； 乙队已完成：（块）； 还剩余：（块）； 两队合作1小时可完成：（块）， ， 故不能完成； （块）； 答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务． 24． 下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元， 用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同， 求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1) 解法二所列方程中的表示 （填序号）； ① 甲种商品每件进价元； ②乙种商品每件进价元； ③购进甲种商品和乙种商品各件． (2) 请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3) 若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元， 设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4) 该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件； （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $