第十七章因式分解培优提升专题训练　2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以因式分解为核心，整合分组分解、十字相乘等方法，通过代数推理、几何应用及教材拓展题，系统培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |专题1|5题（含代数推理、计算、应用）|分组分解法、公式法|从基本运算到几何推理，构建“方法应用—实际问题解决”链条| |专题2|3题（教材难题生长题）|平方差公式变形、倍数证明|基于教材原题拓展，强化“特殊到一般”的推理意识| |专题3|4题（全国视野题）|十字相乘法、配方法|融合跨学科应用（项目式学习），提升知识迁移与模型意识|

第十七章 因式分解 培优提升专题1 与因式分解有关的运算与推理 1. (代数推理)(2026 河北模拟)若k 为任意整数，求证： 的值总能被3 整除.(用因式分解的知识解答) 2. (代数推理)已知a,b,c是△ABC 的三条边,求证:代数式 的值一定为负数. 3. 计算: 4.老师有 个礼物(其中n≥1，且n为整数)，现在将这些礼物平均分给班级的同学，恰好能分完，那么下列选项： ①4人 ②12人 ③(n+2)人 ④(6n+8)人 可以是班级的同学数量的是 .(填序号) 5.阅读下列材料：常用分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下： (x-y+4)(x-y-4).这种分解因式的方法叫作分组分解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)因式分解： (2)已知a,b,c分别是△ABC 三边的长,且 请判断△ABC 的形状，并说明理由. 培优提升专题2 教材难题生长题 教材难题 【例】(人教版8上P136 拓宽探索)(抽象能力、运算能力、应用意识)求证：当 是整数时，两个连续奇数的平方差 是 8 的倍数. △解题思路：把 和 分别看成一个整体，利用平方差公式进行因式分解，可得出结论。 1. 求证： 能被 120 整除. 2. 求证：不论 取任何正整数， 的值必是 48 的倍数. 3. 【发现】两个连续奇数的平方差是 8 的倍数. 【应用】(1) 的结果是 8 的几倍？ 【证明】(2) 证明：两个连续奇数 与 ( 为整数) 的平方差是 8 的倍数，并且等于这两个数的和的 2 倍； 【延伸】(3) 两个连续偶数 与 ( 为整数) 的平方差是 8 的倍数吗？如果是，说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数 ，使得最后的结果为 8 的倍数，求 的最小值. 培优提升专题3 全国视野培优特训 1.(2026山东期末)利用整式的乘法运算法则推导得出： 我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得+d).通过观察可把 看作以x为未知数，a，b，c，d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数 ac与常数项 bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式 的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则 (x+4)(2x+3). 根据材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式： (2)用十字相乘法分解因式： (3)结合本题知识，分解因式： -6. 2.(代数推理)(2026保定模拟)数学 扫码批改+错题本课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4 整除，那么我们称这个算式是“佳偶和谐式”. 小亮写出如下算式： 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4 整除，这些算式都是“佳偶和谐式”。 (1)求证: 是“佳偶和谐式”； (2)求证：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”； (3)小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4 整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”.判断此命题是真命题还是假命题. 3.(2026 四川期末)项目式学习. 【材料学习】材料1：配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. 例如，把二次三项式 进行配方. 解： 材料2：我们定义：一个整数能表示成 (a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，因为 所以5是“完美数”；再如，因为 是整数)，所以M也是“完美数”. 【问题解决】(1)下列各数中，是“完美数”的有 (填序号)； ①10;②45;③28;④29. (2)若二次三项式 (x是整数)是“完美数”，可配方成( (m,n为常数),则 mn的值为 ； 【问题探究】(3)已知是整数，k是常数)，要使 S为“完美数”，试求出符合条件的k的值； 【问题拓展】(4)已知实数x，y满足 10=0,求x+y的最小值. 4.(代数推理)(2026福建模拟)已知实数a,b,c,m,n满足 (1)求证: 为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数?说明你的理由. 第十七章 因式分解 培优提升专题1 与因式分解有关的运算与推理 1.证明:( =3(4k+3), ∵k为任意整数， ∴3(4k+3)是3的倍数,∴3(4k+3)能被3整除, 即 的值总能被3整除. 2.证明: ∵△ABC 的三条边分别是a,b,c, ∴a+b>c,a-c<b, ∴a+b-c>0,a-c-b<0,∴(a-c+b)(a-c-b)<0, ∴代数式 的值一定为负数. 3.解：原式 4.①②③ 5.解:(1)原式 (2)△ABC是等边三角形，理由如下： 原等式变形得 ∴△ABC是等边三角形. 培优提升专题2 教材难题生长题 教材难题 【例】证明： =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =4n×2=8n, ∴当n是整数时，两个连续奇数的平方差(1)²是8的倍数. 难题生长 1.证明: 能被120整除. 2.证明: =n(n+7+n-5)(n+7-n+5) =n(2n+2)·12 =24n(n+1), ∵不论n取任何正整数，n与n+1中必定有一个偶数， ∵24n(n+1)必是48的倍数, ∴不论n取任何正整数， 的值必是48的倍数. 3.(1)解:∵ =44×2=88=8×11, 的结果是8的11倍. (2)证明: =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n, 2n+1+2n-1=4n, ∴8n=2×4n, ∴两个连续奇数2n+1与2n-1的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的2倍. (3)解：不是8的倍数. =(4m+2)·2=8m+4, ∴两个连续偶数2m+2与2m的平方差不是8的倍数. 且k是正整数， ∴当4+k=1×8时,k最小,此时k=4, ∴k的最小值是4. 培优提升专题3 全国视野培优特训 1.解: =(4x+4y+3)(5x+5y-2). 2.(1)证明:∵ 是“佳偶和谐式” (2)证明：设这两个连续偶数分别为2n，2n+2，则2)=4(2n+1), ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”. (3)解：设任意两个偶数分别为2a，2b， ∴任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”， ∴此命题是真命题. 3.解:(1)①②④ (2)12 又∵S为“完美数”， ∴k-20=0,∴k=20. ∵x+y的最小值为1. 4.(1)证明: ∴b=a(3m+n),c= amn, 则 ∴a,m,n是实数, 为非负数. (2)解：m，n不可能都为整数.理由如下： 若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数. ①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵ ∴b=a(3m+n), ∵a为奇数，∴a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又 ∴c= amn, ∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾. 综上所述，m，n不可能都为整数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $