第11章 整式的乘除 综合复习课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式乘除的核心内容，包括幂的运算、整式乘法、整式除法及因式分解，通过知识结构框架将同底数幂乘除、幂的乘方等运算法则与乘法公式、因式分解方法串联，构建“运算-变形-应用”的逻辑脉络。 其亮点在于“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层设计，通过幂的运算逆用、乘法公式简便计算等例题培养运算能力，结合三角形形状判断、含参数多项式等问题发展推理意识与应用意识，帮助学生夯实基础、提升综合能力，也为教师提供精准复习的教学支持。

第十一章 整式的乘除 综合复习 华东师大版八年级数学上册 整式的乘除 幂的运算 因式分解 方法 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式. 提公因式法 整式的乘法 整式的除法 公式法 乘法公式 互逆变形 互逆 运算 本章知识结构 同底数幂乘法法则 幂的运算 注意： (1)底数可以是数、单项式和多项式； (2)当底数互为相反数的幂相乘时可先把底数统一，再进行计算. 知识要点提炼 幂的乘方法则 幂的运算 注意：(1)幂的乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数； (2)底数是多项式时，要将这个多项式看作整体，不要省略括号； (3)要区分同底数幂的乘法和幂的乘方运算，避免混淆. 知识要点提炼 注意：(1)利用积的乘方法则计算时，要先确定积中的因式， 然后将每个因式都乘方，最后求出所有幂的积，尤其是字母的 系数不要漏乘方； (2)系数乘方时，要带前面符号，特别是系数为-1时，不要漏掉. 积的乘方法则 幂的运算 知识要点提炼 同底数幂除法法则 幂的运算 注意：(1)同底数幂的除法运算中，相同底数可以是不为0的数字、字母、单项式或多项式； (2)同底数幂的除法运算中，也可以是两个以上的同底数幂相除，幂的底数必须相同，相除时才能相减. 知识要点提炼 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同 字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它 的指数一起作为积的一个因式. 法则 整式的乘法 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. m(a+b+c)=ma+mb+mc. 知识要点提炼 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 法则 整式的乘法 注意：多项式乘单项式、多项式乘多项式实质上是用计算法则转化为单项式乘单项式. 知识要点提炼 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. (a+b)(a-b)＝a²-b². 平方差公式 乘法公式 结构特点 (1)左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是二项式，是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方的差. 和差积，平方差. 知识要点提炼 两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)它们的积的2倍. (a±b)²＝a²±2ab+b². 两数和(差)的平方公式 乘法公式 结构特点 (1)左边是一个二项式的和(或差)的平方； (2)右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，再加上(或减去)它们积的2倍. 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，加减看前方，同加异减. 知识要点提炼 法则 整式的除法 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 多项式除以单项式： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. (ma+mb+mc)÷m=a+b+c. 注意：多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式. 知识要点提炼 因式分解 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 概念 因式分解与整式乘法的关系 注意：①每个因式必须是整式. ②分解的结果一定是积的形式. a2 － b2 ( a + b )( a － b ) 因式分解 整式的乘法 互逆 知识要点提炼 因式分解 公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式. 概念 找公因式 定系数：多项式各项系数的最大公因数； 定字母：多项式各项中都含有的相同字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 知识要点提炼 因式分解 提公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了.像这种因式分解的方法，叫做提公因式法. 概念 提公因式法分解因式要点 ①准确确定公因式； ②提公因式要彻底； ③当首项系数为负时，通常先提出“-”号，使括号内的首项系数为正，提出“-”号时，括号内各项都要变号. 知识要点提炼 因式分解 概念 把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 平方差公式 a²b²=(a+b)(a-b) 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 知识要点提炼 因式分解 完全平方公式 公式法分解因式的步骤 一提：提公因式； 二套：平方差公式或完全平方公式； 三检查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. a²-2ab+b²=(a-b)² 因式分解 a²+2ab+b²=(a+b)² 因式分解 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 知识要点提炼 计算： (1) (2a)3(b3)2÷4a3b4； (2) (-8)2025×(0.125)2024. 解：(1)原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2. (2)原式 = (-8)×(-8)2024×(0.125)2024 = (-8)×[(-8)×0.125]2024 = -8. 方法总结 重点知识巩固 计算： (1)(5x²y-2xy²)(-3xy)； (2)(x+2y)(x²-2xy+4y²). 重点知识巩固 (1)在进行单项式与多项式相乘时，需用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意符号的正确运算； (2)对于多项式与多项式相乘，要将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后把所得的积相加，最后合并同类项得到结果. 方法总结 重点知识巩固 已知底数相同的幂值，求相关的幂值时，可利用幂的运算性质进行转化(逆用相关公式/法则). 方法总结 已知2x＝5，2y＝10. (1)求22x＋3y的值； (2)求24x-5y的值. 解：(1)∵2x＝5，2y＝10， ∴22x+3y＝22x·23y＝(2x)2·(2y)3＝25×1000＝25000. 重点知识巩固 解：原式 = (x2 - 2xy + y2 + x2 - y2) ÷2x = (2x2 - 2xy)÷2x = x - y. 当x =3，y =1.5时，原式=3-1.5=1.5 . 依据完全平方公式、平方差公式等对括号内的式子展开并合并同类项，再进行多项式除以单项式的运算，将式子化简为最简形式，最后代入已知值计算. 方法总结 先化简，再求值：[(x - y)2 + (x + y)(x - y)]÷2x，其中 x = 3，y = 1.5. 重点知识巩固 符合公式法的有理数运算，可以运用公式法对其进行变形，使运算得以简便. 方法总结 用简便方法进行计算： (1)15.1²4.9² (2)842＋84×32＋162. 解：(1)15.1²4.9² =(15.1+4.9)×(15.1-4.9)=20×10.2=204 (2)842+84×32+162=842+2×84×16+162=(84+16)²=100²=10000. 重点知识巩固 因式分解. (1)25a²-81b2； (2)xy5-64x5y. 解：(1)25a²-81b2=(5a+9b)(5a-9b) (2)xy5-16x5y=xy(y4-16x4)=xy(y2+4x2)(y2-4x2)=xy(y2+4x2)(y+2x)(y-2x) 分解因式前应先分析多项式的特点，有公因式的需先提公因式，再用公式法-平方差公式进行因式分解． 方法总结 重点知识巩固 因式分解. (1) x²-10x+25； (2) -25x2-30xy-9y2. 解：(1)x²-10x+25=(x-5)2； (2)-25x2-30xy-9y2=-(25x2+30xy+9y2)=-(5x+3y)². 利用添括号法则时，括号里每一项均需变号，再对括号里的项利用完全平方和公式进行因式分解. 方法总结 重点知识巩固 方法总结 因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； ②如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解(即平方差公式和完全平方公式)； ③如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解； ④因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 遵循“一提、二套、三检查”的原则 重点知识巩固 已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0， 试判断此三角形的形状. 解：因为a2+2b2+c2-2b(a+c)=0， 所以a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即(a-b)2+(b-c)2=0 所以a-b=0且b-c=0 所以a=b=c，故该三角形是等边三角形. 利用因式分解变形，变成了几个非负数的和为零，则这几个非负数同时为零，从而判断出该三角形的形状. 方法总结 重点知识巩固 根据错误的运算展开式子，再与已知结果对比，列出关于未知参数的方程，求出参数值，最后代入正确的整式进行乘法运算，得到正确结果 . 方法总结 综合能力提升 运用整式乘法、整式除法法则对式子化简，再利用“几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0”的性质求出字母的值，最后代入化简后的式子计算. 方法总结 先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)+(4x3y+x2y2)÷xy，其中 (x+3)2+|y-1|=0. 解：原式=4x2-y2+4x2+xy=8x2-y2+xy， 因为(x+3)2+|y-1|=0，所以x+3=0，y-1=0， 所以x=-3，y=1，所以原式=8×(-3)²-1²+(-3)×1=68. 综合能力提升 解：(1)∵x2+y2=8，xy=2， ∴(x-y)²=x2+y2-2xy=8-2×2=4，∴x-y=±2. (2)∵x2+y2=8，xy=2， ∴x4+y4=(x2+y2)²-2(xy)²=8²-2×2²=64-8=56. 根据已知条件及求解的式子，利用完全平方公式进行变形，代入已知值求解. 方法总结 若x、y满足x2+y2=8，xy=2，求下列各式的值： (1)x-y； (2)x4+y4. 综合能力提升 若代数式的值与x取值无关，需将代数式展开、合并同类项后，令含x项的系数都为0，据此列方程求解未知参数. 方法总结 已知代数式(ax-8)(x-b)+4x2的值与x的取值无关. (1)求a，b的值； (2)当x，y为何值时，x2+y2+ax+by+1有最小值?并求出最小值. 解：(1)原式=ax2-abx-8x+8b+4x2=(a+4)x2-(8+ab)x+8b， ∵此代数式的值与x的取值无关，∴a+4=0，8+ab=0， 解得a=-4，b=2. 综合能力提升 解：(2)∵a=-4，b=2， ∴x2+y2+ax+by+1=x2+y2-4x+2y+1 =(x2-4x+4)+(y2+2y+1)-4=(x-2)²+(y+1)²-4 故当x=2，y=-1时，代数式有最小值为-4. 已知代数式(ax-8)(x-b)+4x2的值与x的取值无关. (1)求a，b的值； (2)当x，y为何值时，x2+y2+ax+by+1有最小值?并求出最小值. 通过配方法将其转化为完全平方和的形式，再根据完全平方数的非负性确定字母的值以及最值. 方法总结 综合能力提升 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n)，得：x2-4x+m=(x+3)(x+n)， 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，所以n+3=-4，m=3n， 解得：n=-7，m=-21，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于x的多项式2x2+3x-k有一个因式是(x+4)，求另一个因式及k的值； (2)已知关于x的多项式2x3+5x2-x+b有一个因式为(x+2)，求b的值. 综合能力提升 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于x的多项式2x2+3x-k有一个因式是(x+4)，求另一个因式及k的值； 解：(1)设另一个因式为(2x+b)，则： (x+4)(2x+b)=2x2+bx+8x+4b=2x2+(b+8)x+4b=2x2+3x-k， 所以b+8=3，4b=-k， 解得：b=-5，k=20. ∴另一个因式为(2x-5)，k的值为20. 综合能力提升 问题：仿照以上方法解答下面问题： (2)已知关于x的多项式2x3+5x2-x+b有一个因式为(x+2)，求b的值. 解：(2)设另一个因式是(2x2+mx+n)，则 (x+2)(2x2+mx+n)=2x3+(m+4)x2+(2m+n)x+2n=2x3+5x2-x+b， 则m+4=5，2m+n =-1，2n=b， 解得m=1，n =-3，b=-6.故b的值是-6. 综合能力提升 (1)当已知多项式有一个因式时，可先设出另一个因式，然后将两个因式相乘展开，再与原多项式对比，根据对应项系数相等列出方程，进而求解出未知的因式和参数的值; (2)在设因式时，关注最高次项的因式的系数，若已知因式系数为1，则新设因式的系数与原多项式最高次项的系数相等. 方法总结 综合能力提升 $