第11章 整式的乘除 小结与复习 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了幂的运算、整式乘除、乘法公式及因式分解等核心内容，通过法则对比表、公式结构分析及步骤归纳，将零散知识点串联成逻辑网络，构建完整的整式乘除知识体系。 其亮点在于采用“法则辨析-典例示范-分层训练”的复习策略，如通过对比同底数幂乘除中指数“加减”的区别培养运算能力，结合化简求值、因式分解等典例发展推理意识，针对训练从基础到综合满足分层需求。这既帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习的教学支持。

第11章 整式的乘除 小结与复习 导入新课 一、幂的运算 1．幂的运算法则 法则名称 文字表示 式子表示 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数 ，指数 . am•an＝　 .　(m、n 为正整数) am＋n 不变 相加 法则名称 文字表示 式子表示 幂的乘方 幂的乘方,底数 ，指数 . (am)n＝ . (m、n 为正整数) 积的乘方 积的乘方，等于把积的每个因式分别 ，再把所得的幂 . (ab)n＝ . (n 为正整数) amn anbn　 相乘 不变 相乘 乘方 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 ，指数 . am÷an＝ . (a ≠ 0，m、n 为正整数，且 m＞n) 相同点 运算中的 不变，只对 运算 不同点 （1）同底数幂相乘是指数 . （2）幂的乘方是指数 . （3）积的乘方是每个因式分别 . （4）同底数幂相除是指数 . 不变 相减 底数 指数 相加 相乘 乘方 相减 am－n [注意] (1)其中的 a、b 代表的不仅可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式； (2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则． 相同字母的幂 1.整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的______、______ ________分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个_______. 系数 因式 二、整式的乘除 单项式与多项式相乘，用_______和_______的每一项分别相乘，再把所得的积_______. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的______ 与另一个多项式的_______相乘，再把所得的积　 　______. 单项式 多项式 相加 每一项 每一项 相加 2．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差 两数和(差)的平方 文字表示 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 两数和(差)的平方，等于这两数的　 　加上(减去)　 　的 2 倍 式子表示 (a＋b)(a－b)＝ . (a±b)2＝ .　　 平方和 这两数积 a2－b2 a2 ± 2ab ＋ b2 结构特点 ①左边是两个　　项式相乘，这两个二项式中有一项　 　，另一项　 . ②右边是　　项式，是乘式中两项的　 　 ，即相同项的平方与相反项的平方的差. ①左边是一个　　项式的和(或差)的　 　；②右边是　　项式，是左边二项式中两项的 ，再____(或减去)它们　　的 2 倍. 二 完全相同 互为相反数 二 平方差 二 平方 三 平方和 加上 积 顺口溜 和差积平方差 首平方，尾平方，首尾两倍中间放，加减看前方，同加异减 公式的常 用变形 a2＝　 　(a－b)＋b2； b2＝　　－(a＋b)(a－b). a2＋b2＝(a＋b)2－ ，　　 a2＋b2＝(a－b)2＋ 　； (a＋b)2＝(a－b)2＋ .　 (a＋b) 2ab 2ab 4ab a2 [点拨] (1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算； (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式． 3．整式的除法 (1)单项式除以单项式 单项式相除，把　 　、　 　分别相除作为商的 　 ，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个　 　. 系数 同底数幂 因式 因式 (2)多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个　 ，再把所得的商　 　. [点拨] 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式． 单项式 相加 四、因式分解 1．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的　　的形式，叫做多项式的因式分解． 因式分解的过程和　 　的过程正好相反． 积 整式乘法 2．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的　 ；字母取多项式各项　 　的字母；各字母指数取次数最　　的． 最大公约数 相同 低 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 　外面，将多项式写成　 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 括号 因式乘积 [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式． 3．用公式法分解因式 把　 　反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是： (1)逆用平方差公式 ＝　 　； (2)逆用两数和(差)的平方公式 ＝ . 乘法公式 a2 - b2 (a+b)(a-b) a2±2ab＋b2 (a±b)2 [点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有符合公式的特征时才能运用公式． 4．因式分解的步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先　 　； (2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用　 　公式分解因式；三项式可以尝试运用　 　公式分解因式； (3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能 　为止． 提取公因式 平方差 两数和(差)的平方 再分解 探究新知 知识模块一　整式的乘除法运算 典例1：计算：(1)3x3·(－2x2)； (2)[(－2x)3]2； (3)－2xy(5x2y－4xy＋1)； (4)(2a－2b)(3a＋7b)； (5)9x3÷(－3x2)； (6)(3x3y－x2y2＋2x2y)÷(－x2y). 解：(1)原式＝－6x5； (2)原式＝64x6； (3)原式＝－10x3y2＋8x2y2－2xy； (4)原式＝6a2＋8ab－14b2； (5)原式＝－3x； (6)原式＝－3x＋y－2. 典例2：先化简，再求值：2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷ ，其中a＝1，b＝3. 解：原式＝2a2b－[3a2b－(ab2－2a2b)]÷ ＝2a2b－(5a2b－ab2)÷ ＝2a2b－(－10a＋2b) ＝2a2b＋10a－2b. 当a＝1，b＝3时，原式＝2×1×3＋10×1－2×3＝6＋10－6＝10. 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的. 归纳总结 1.一个长方形的面积是 a3 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 . 2.已知多项式 2x3 - 4x2 - 1 除以一个多项式 A，得商为 2x，余式为 x - 1，则这个多项式是 . a2 - 2b + 1 针对训练 x2 - 2x- 典例3：已知x＋y＝7，xy＝10，求3x2＋3y2的值． 解：原式＝3(x2＋y2)＝3[(x＋y)2－2xy] 知识模块二　乘法公式的运用 ＝3×(72－2×10) ＝3×29＝87. 典例4：已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值． 解：由(a＋b)2＝1，得a2＋2ab＋b2＝1，① 由(a－b)2＝25，得a2－2ab＋b2＝25.② 由①－②，得4ab＝－24，∴ab＝－6. 由①＋②，得2a2＋2b2＝26，∴a2＋b2＝13. ∴a2＋b2＋ab＝13＋(－6)＝7. 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 归纳总结 1.求方程 (x - 1)2 - (x - 1)(x + 1) + 3(1 - x) = 0 的解. 解：原方程可化为 - 5x + 5 = 0，解得 x = 1. 针对训练 解：因为 x2 + 9y2 + 4x - 6y + 5 = 0， 所以(x2 + 4x + 4) + (9y2 - 6y + 1) = 0. 所以 (x + 2)2 + (3y - 1)2 = 0. 所以 x + 2=0，3y - 1 = 0. 解得 x = -2，y =. 所以xy=(-2)=- 2.已知 x2 + 9y2 + 4x - 6y + 5 = 0，求 xy 的值. 知识模块三　因式分解 典例5：分解因式： (1)ax－ay＋bx－by； (2)25a2b2＋10ab＋1； (3)(x－y)2－4(x－y－1)； (4)3ap2－18apq＋27aq2. 解：(1)原式＝a(x－y)＋b(x－y)＝(x－y)(a＋b)； (2)原式＝(5ab)2＋2×5ab＋12＝(5ab＋1)2； (3)原式＝(x－y)2－4(x－y)＋4＝(x－y－2)2; (4)原式＝3a(p2－6pq＋9q2)＝3a(p－3q)2. 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止. 归纳总结 下列变形，是因式分解的是（ ） A. a(x + y) = ax + ay B. x2 + 4xy + y2 - 1 = x(x + 4y) + (y + 1)(y - 1) C. am2 - a = a(m + 1)(m - 1) D. m2 - 9n2 + 3 = (m + 3n)(m - 3n) + 3. C 针对训练 知识模块四　整式乘除与因式分解的综合运用 典例6：先化简，再求值：(am2－6amn)÷am－(4m2－9n2)÷(2m－3n)，其中m＝－3，n＝. 解：原式＝(m－6n)－(2m－3n)(2m＋3n)÷(2m－3n) ＝m－6n－(2m＋3n) ＝－m－9n. 当m＝－3，n＝时，原式＝－(－3)－9×＝0. 完成对应课时练习 作业布置 $