专题9：因数与倍数（思维拓展）-苏教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题9：因数与倍数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：因数与倍数的意义及依存关系（进阶推理） 3 考点二：找一个数的因数与倍数的方法（进阶应用） 4 考点三：2、5 的倍数特征与奇偶性（算理强化） 6 考点四：3 的倍数特征与综合判断（思维拓展） 7 考点五：质数与合数的辨析与应用（实践拓展） 8 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：忽略因数与倍数的依存关系，单独表述 11 易错点 2：找因数时遗漏或重复，误以为因数个数无限 11 易错点 3：混淆 2、5 和 3 的倍数特征，用个位判断 3 的倍数 11 易错点 4：混淆奇数偶数与质数合数的分类标准 11 易错点 5：忽略 1 的特殊性，把 1 归为质数 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 13 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 一、能力进阶篇解析 14 二、思维拓展篇解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版五年级上册拓展专题内容，承接整数乘除法与整数认识基础，以“概念建构→方法掌握→特征探究→分类辨析→文化拓展”为主线，系统覆盖因数与倍数的意义、找因数与倍数的方法、2/5/3 的倍数特征、奇数与偶数、质数与合数、完全数文化拓展六大模块，渗透数感、推理意识、分类思想、运算能力等核心数学素养。 专题遵循 “意义建构→方法探究→特征归纳→概念辨析→拓展延伸” 的认知路径，从整数乘法算式切入，理解因数与倍数的依存关系；掌握有序找因数、找倍数的方法；探究并归纳 2、5、3 的倍数特征，认识奇数与偶数；按因数个数分类认识质数与合数；结合完全数感受数学文化魅力。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域 “数的认识” 主题要求，呼应 2024 版苏教版教材知识体系，为后续分数约分、通分、公因数公倍数学习筑牢数论基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 因数与倍数的意义 依存关系定义；乘法算式中的因数倍数；研究范围为非 0 自然数 概念辨析法、依存判断法 单独说某数是因数 / 倍数，忽略研究范围 找因数与倍数 成对列举法找因数；依次倍增法找倍数；因数与倍数的基本特征 有序枚举法、成对列举法 找因数遗漏重复，误以为因数无限 2、5 的倍数特征 2 的倍数个位特征；5 的倍数个位特征；同时是 2 和 5 的倍数特征 特征判断法、个位观察法 与 3 的倍数特征混淆，用个位判断 3 的倍数 3 的倍数特征 各位数字和与 3 的倍数关系；弃 3 法快速判断 求和验证法、弃 3 速判法 误以为个位是 3 的数就是 3 的倍数 奇数与偶数 偶数与奇数的定义；0 是偶数；奇偶分类标准 分类判断法、奇偶辨析法 混淆奇偶与质合的分类标准 质数与合数 质数、合数的定义；1 的特殊性；20 以内质数识记 因数计数法、分类判别法 认为 1 是质数，混淆质数与奇数概念 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 成对列举法 找一个数的因数 ①从 1 开始按自然数顺序尝试；②每找到一个因数，成对写出另一个；③写到两因数重复为止 从 1 起，成对找，不重复，不遗漏 依次倍增法 找一个数的倍数 ①用该数依次乘 1、2、3……；②所得积都是它的倍数；③限定范围则到超范围停止 乘自然数，依次得积，倍数无限 特征判断法 2、5、3 的倍数判断 ①2、5 的倍数看个位数字；②3 的倍数算各位数字和；③综合判断多特征重合的数 25 看个位，3 看数字和，特征要记清 分类辨析法 奇偶、质合概念判断 ①明确分类标准；②逐个对照定义判断；③单独处理特殊数 1 按标准，对特征，特殊数，要记牢 弃 3 速判法 3 的倍数快速判断 ①先去掉数字中的 3、6、9；②剩余数字求和验证；③和是 3 的倍数则原数符合 去 369，求和判，更快捷，不易错 三、数学思维提升 1. 有序枚举思维 核心要点：找因数、找倍数、列举符合条件的数时，都要按照固定的顺序逐一列举，才能做到不重复、不遗漏。有序思考是数学学习的重要思维习惯，也是数论学习的基础能力。 专题示例：找 18 的因数，从 1 开始成对找，1 对应 18，2 对应 9，3 对应 6，按顺序枚举，就不会漏掉也不会重复。 2. 分类辨析思维 核心要点：数的分类有不同的标准，按是不是 2 的倍数分为奇数和偶数，按因数个数分为质数、合数和 1。分类标准不同，结果也不同，不能混为一谈。分类思想是梳理概念、辨析概念的核心方法。 专题示例：2 既是偶数也是质数，9 既是奇数也是合数，说明奇偶和质合是两套完全独立的分类体系，不能互相等同。 3. 规律探究思维 核心要点：通过观察大量实例，归纳总结出 2、5、3 的倍数特征，经历 “观察→猜想→验证→结论” 的完整探究过程，培养归纳推理能力，这是发现数学规律的基本路径。 专题示例：计算多个 3 的倍数的各位数字和，发现和都是 3 的倍数，再换数验证，最终归纳出 3 的倍数特征。 4. 概念思辨思维 核心要点：因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数，这些概念相近又有本质区别，通过对比辨析明确概念的内涵和边界，厘清易混点，培养严谨的概念思辨能力。 专题示例：对比 “质数” 和 “奇数”，从定义、分类标准、特殊反例等多个角度对比，就能清晰区分两个概念，不会混淆。 5. 文化传承思维 核心要点：完全数等数学史知识承载着古今中外数学家的智慧，了解数论发展的历史，感受数学的奇妙与魅力，提升数学学习兴趣，增强文化自信。 专题示例：了解两千多年前人们就发现了完全数，至今数学家仍在探索更大的完全数，感受数学探索的永恒魅力。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：因数与倍数的意义及依存关系（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 概念辨析 题目：判断：因为，所以 24 是倍数，4 和 6 是因数。（ ） 解题步骤： ① 明确因数和倍数的本质属性：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数； ② 规范表述：应该说 24 是 4 和 6 的倍数，4 和 6 是 24 的因数； ③ 题目表述割裂了依存关系，是错误的。 答：× 【知识点睛】本题考查因数与倍数的核心意义，重点理解相互依存性。在整数乘法算式（、、都是非 0 自然数）中，和是的因数，是和的倍数。因数和倍数不能单独存在，必须说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。补充说明：小学阶段研究因数和倍数时，所说的数一般指非 0 自然数，不包含 0。 典型例题 2（思维拓展型）—— 因数倍数关系判断 题目：下面各组数中，具有因数和倍数关系的是（ ） A. 5 和 12 B. 3.6 和 0.9 C. 28 和 7 D. 1.5 和 3 解题步骤： ① 明确判断前提：因数与倍数的研究范围是非 0 自然数，且大数能被小数整除、没有余数； ② 逐项分析： A 选项：，不能整除，无因数倍数关系； B 选项：两个数都是小数，不在研究范围内； C 选项：，都是自然数，28 是 7 的倍数，7 是 28 的因数，符合要求； D 选项：包含小数，不符合研究范围； ③ 综上，选 C。 答：C 【知识点睛】本题考查因数与倍数的研究范围与判断方法。判定两个数是否具有因数倍数关系，必须同时满足两个条件：一是两个数均为非 0 自然数，二是较大数能被较小数整除且没有余数。小数之间不存在小学阶段定义的因数倍数关系，必须是整数范围内的整除关系。解题时先排除有小数的选项，再验证整除性，能快速得出答案。 考点二：找一个数的因数与倍数的方法（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 找一个数的因数 题目：写出 18 的所有因数。 解题步骤： ① 采用成对列举法，从 1 开始按自然数顺序尝试： ，所以 1 和 18 是 18 的因数； ，所以 2 和 9 是 18 的因数； ，所以 3 和 6 是 18 的因数； ② 继续尝试：4 和 5 都不能整除 18，到 6 已经出现过，停止列举； ③ 按从小到大的顺序整理结果：1、2、3、6、9、18。 答：18 的因数有 1、2、3、6、9、18。 【知识点睛】本题考查找一个数因数的核心方法 ——成对列举法。操作要领：从 1 开始，依次寻找能整除这个数的自然数，每找到一个因数，就成对写出对应的另一个因数，直到两个因数重复或接近为止。核心结论：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。有序成对列举是避免遗漏、重复的关键，养成有序思考的习惯能大幅提升准确率。 典型例题 2（思维拓展型）—— 找限定范围的倍数 题目：写出 50 以内 6 的所有倍数。 解题步骤： ① 采用依次倍增法，用 6 依次乘非 0 自然数： ，，，， ，，，； ② ，超过 50 的范围，停止计算； ③ 整理结果：6、12、18、24、30、36、42、48。 答：50 以内 6 的倍数有 6、12、18、24、30、36、42、48。 【知识点睛】本题考查找一个数倍数的核心方法 ——依次乘自然数法。用这个数分别乘 1、2、3…… 得到的所有积，都是它的倍数。核心结论：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；如果题目限定了范围，倍数的个数就是有限的，注意不要超出范围。找倍数时按顺序依次相乘，同样是为了保证不重不漏。 考点三：2、5 的倍数特征与奇偶性（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 特征基础判断 题目：下面各数中，哪些是 2 的倍数？哪些是 5 的倍数？哪些既是 2 的倍数又是 5 的倍数？ 24、35、60、78、105、120 解题步骤： ① 根据 2 的倍数特征筛选：个位上是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数，符合的有 24、60、78、120； ② 根据 5 的倍数特征筛选：个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数，符合的有 35、60、105、120； ③ 同时是 2 和 5 的倍数，个位必须是 0，符合的有 60、120。 答：2 的倍数：24、60、78、120； 5 的倍数：35、60、105、120； 既是 2 又是 5 的倍数：60、120。 【知识点睛】本题考查 2 和 5 的倍数特征，是本单元基础核心考点。 2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数； 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数； 同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上一定是 0，也就是 10 的倍数。 判断 2 和 5 的倍数只需观察个位数字，无需计算整体，这是和 3 的倍数特征最明显的区别。 拓展概念：是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数，0 也是偶数。 典型例题 2（思维拓展型）—— 逆向构造数字 题目：一个两位数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，这个数最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 先确定个位特征：既是 2 的倍数又是 5 的倍数，个位上必须是 0； ② 求最大两位数：个位固定为 0，十位取最大的一位数 9，得到 90； ③ 求最小两位数：个位固定为 0，十位不能为 0，最小取 1，得到 10。 答：最大是 90，最小是 10。 【知识点睛】本题是 2 和 5 倍数特征的逆向应用，考查综合构造能力。解题关键是先根据倍数特征确定个位数字，再根据位数要求确定其他数位的数字。注意位数限制：两位数的最高位不能为 0，因此最小两位数十位最小取 1。这类逆向构造题能深化对特征的理解，培养逆向思维与有序思考能力。 考点四：3 的倍数特征与综合判断（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础特征判断 题目：判断下面各数是不是 3 的倍数，是的画 “√”，不是的画 “×”。 42、83、111、225、408 解题步骤： ① 明确判断依据：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数； ② 逐个计算数字和并判断： 42：，6 是 3 的倍数，所以 42 是 3 的倍数； 83：，11 不是 3 的倍数，所以 83 不是； 111：，3 是 3 的倍数，所以 111 是； 225：，9 是 3 的倍数，所以 225 是； 408：，12 是 3 的倍数，所以 408 是。 答：42√；83×；111√；225√；408√。 【知识点睛】本题考查 3 的倍数特征，是本单元的重难点内容。核心特征：一个数各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。注意与 2、5 的倍数特征区分：2、5 的倍数只看个位，3 的倍数要看所有数位的数字和，与个位数字没有必然联系。 快速判断技巧：可以使用 “弃 3 法”，先去掉数字中的 3、6、9，再将剩余数字求和判断，比如 369 直接去掉 3、6、9，剩余数字和为 0，就是 3 的倍数，能大幅提升判断速度。 典型例题 2（思维拓展型）—— 填数符合倍数特征 题目：一个三位数，它是 3 的倍数，里可以填哪些数字？ 解题步骤： ① 先计算已知数位的数字和：； ② 要使整个数是 3 的倍数，8 加上方框中的数字的和必须是 3 的倍数； ③ 一位数范围内枚举验证： ，9 是 3 的倍数，符合； ，12 是 3 的倍数，符合； ，15 是 3 的倍数，符合； ④ 所以里可以填 1、4、7 三个数字。 答：可以填 1、4、7。 【知识点睛】本题是 3 的倍数特征的逆向应用，属于思维拓展题型。解题思路：先算出已知数位的数字和，再思考加上多少能得到 3 的倍数，注意方框内只能填 0-9 的一位数，要找出所有符合条件的数字，不能只写出一个。这类题能加深对特征的理解，培养全面思考、有序枚举的能力。 拓展规律：符合条件的数字之间相差 3，这是因为每增加 3，数字和就增加 3，依然是 3 的倍数，掌握这个规律能快速写出所有答案。 考点五：质数与合数的辨析与应用（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 概念分类辨析 题目：把下面各数填入相应的类别中。 1、2、9、15、17、23、31、49、57、91 质数： 合数： 既不是质数也不是合数： 解题步骤： ① 明确分类标准：只有 1 和它本身两个因数的数是质数；除了 1 和它本身还有别的因数的数是合数；1 只有 1 个因数，既不是质数也不是合数； ② 逐个分析因数个数： 1：只有 1 个因数，既不是质数也不是合数； 2：只有 1 和 2 两个因数，是质数，也是唯一的偶质数； 9：因数有 1、3、9，共 3 个，是合数； 15：因数有 1、3、5、15，是合数； 17：只有 1 和 17 两个因数，是质数； 23：只有 1 和 23 两个因数，是质数； 31：只有 1 和 31 两个因数，是质数； 49：因数有 1、7、49，是合数； 57：因数有 1、3、19、57，是合数； 91：因数有 1、7、13、91，是合数； ③ 分类整理结果。 答：质数：2、17、23、31； 合数：9、15、49、57、91； 既不是质数也不是合数：1。 【知识点睛】本题考查质数与合数的概念辨析，是核心概念题型。分类的唯一标准是因数的个数。特别强调三个高频易错点： 1. 1 既不是质数，也不是合数，它是单独的一类； 2. 2 是最小的质数，也是唯一的偶质数，不要误以为 2 是合数； 3. 91=7×13，57=3×19，这两个数很容易被误判为质数，判断时要仔细验证。 建议熟记 20 以内的所有质数：2、3、5、7、11、13、17、19，是后续学习的重要基础。 典型例题 2（思维拓展型）—— 质数的综合应用 题目：两个质数的和是 20，积是 91，这两个质数分别是多少？ 解题步骤： ① 先按 “和为 20” 的条件，有序枚举所有两个质数相加的组合： 3+17=20，7+13=20，共两组； ② 分别计算每组的乘积： ，不符合积为 91 的条件； ，完全符合题目条件； ③ 因此这两个质数是 7 和 13。 答：这两个质数分别是 7 和 13。 【知识点睛】本题是质数概念的综合应用，属于思维拓展题型。解题方法是先按一个条件枚举所有可能，再用另一个条件筛选，这是解决多条件问题的通用思路。本题既巩固了质数的概念，又练习了有序枚举的方法，能有效培养综合分析能力。熟记小范围的质数，能大幅提升这类题的解题速度。 【数学文化】完全数（完美数） 在数论的世界里，有一种神奇而稀有的数，叫作 “完全数”，也叫 “完美数”。 定义：如果一个数等于它所有真因数（除了自身以外的正因数）的和，这个数就叫作完全数。 最小的完全数是 6：6 的真因数有 1、2、3，而，和正好等于它本身。 第二个完全数是 28：它的真因数有 1、2、4、7、14，加起来，同样等于自身。 早在两千多年前，古希腊数学家欧几里得就在《几何原本》中给出了偶完全数的计算公式，我国古代数学典籍中也有对完全数的记载与研究。 完全数非常稀少，截至目前，人类一共发现了 51 个完全数，而且全部是偶数，都以 6 或 28 结尾。完全数与梅森素数有着深刻的内在联系，每发现一个新的梅森素数，就对应找到一个新的偶完全数。 千百年来，完全数吸引着无数数学家与数学爱好者不断探索，它的神秘与优美，正是数学无穷魅力的生动体现。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：忽略因数与倍数的依存关系，单独表述 错误示例：说 “12 是倍数，3 是因数”，不说明谁是谁的倍数、谁是谁的因数。 正确分析：因数和倍数是相互依存的关系，不能独立存在，必须成对表述。 修正方法：表述时严格遵循 “A 是 B 的因数，B 是 A 的倍数” 的完整句式，养成规范表述的习惯。 易错点 2：找因数时遗漏或重复，误以为因数个数无限 错误示例：找 18 的因数只写出 1、2、9、18，漏掉 3 和 6；或者认为因数的个数是无限的。 正确分析：一个数的因数个数是有限的，用成对列举法有序寻找，能做到不重不漏。 修正方法：从 1 开始成对寻找，结果按从小到大排列，写到两个因数接近重复时停止，最后数一遍总数检查。 易错点 3：混淆 2、5 和 3 的倍数特征，用个位判断 3 的倍数 错误示例：认为个位是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数，比如把 13、26 误判为 3 的倍数。 正确分析：2、5 的倍数看个位，3 的倍数要看各位数字的和，和个位数字没有必然关联。 修正方法：记清口诀 “25 看个位，3 看数字和”，判断 3 的倍数必须先算各位数字之和，不能只看个位。 易错点 4：混淆奇数偶数与质数合数的分类标准 错误示例：认为所有质数都是奇数，所有奇数都是质数，所有偶数都是合数。 正确分析：两套分类标准完全不同：奇偶按是否为 2 的倍数划分，质合按因数个数划分，没有必然对应关系。 修正方法：牢记经典反例：2 是质数但不是奇数，9 是奇数但不是质数，1 是奇数但既不是质数也不是合数。通过反例纠正错误认知。 易错点 5：忽略 1 的特殊性，把 1 归为质数 错误示例：认为 1 的因数只有 1 和它本身，所以 1 是质数。 正确分析：质数要求有且仅有两个不同的因数，1 只有 1 个因数，不符合质数定义，也不符合合数定义。 修正方法：分类时先把 1 单独拎出来，记牢 “1 既不是质数也不是合数” 的结论，再对其余数进行判断。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 1. 填空：在算式中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 2. 写出 24 的所有因数：（ ）；写出 30 以内 7 的所有倍数：（ ）。 3. 判断：个位上是 3、6、9 的数，一定是 3 的倍数。（ ） 4. 一个三位数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，这个三位数是多少？ 5. 填空：最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。 6. 下面的数中，质数有（ ），合数有（ ）。 12、19、21、29、37、45、51 7. 判断：所有的偶数都是合数。（ ） 8. 同时是 2、3、5 的倍数的最小两位数是（ ），最小三位数是（ ）。 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 9. 一个数既是 36 的因数，又是 9 的倍数，这个数可能是多少？ 10. 两个连续的自然数都是质数，这两个数分别是多少？请说明理由。 11. 一个长方形的长和宽都是质数，周长是 30 厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 12. 请你简单介绍什么是完全数，并写出最小的两个完全数。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】7；8；56；56；7；8 解题步骤： ① 根据因数倍数的定义，乘法算式中两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。 【知识点睛】本题考查因数与倍数的基本概念与依存关系。结合乘法算式能直观理解两者的对应关系。 2. 【答案】1、2、3、4、6、8、12、24；7、14、21、28 解题步骤： ① 成对列举 24 的因数：1 和 24，2 和 12，3 和 8，4 和 6，整理排序即可； ② 依次计算 7 的倍数，直到超过 30 停止，得到 7、14、21、28。 【知识点睛】本题考查找因数和找倍数的基本方法。用成对列举法找因数，依次倍增法找倍数，保证不重不漏。 3. 【答案】× 解题步骤： ① 3 的倍数要看各位数字和，和个位无关；比如 13 个位是 3，但不是 3 的倍数。 【知识点睛】本题考查 3 的倍数特征。不能用个位数字判断 3 的倍数，这是高频易错点。 4. 【答案】240 解题步骤： ① 既是 2 又是 5 的倍数，个位是 0； ② 最小的质数是 2，所以百位是 2；最小的合数是 4，所以十位是 4； ③ 组合起来就是 240。 【知识点睛】本题综合考查 2、5 的倍数特征与质数合数概念。先确定个位，再依次确定其他数位。 5. 【答案】1；0；2；4 解题步骤： ① 根据相关概念的定义，对应最小的数分别是 1、0、2、4。 【知识点睛】本题考查数论中的基础概念识记。这些 “最小” 的结论是常考基础知识点，需准确记忆。 6. 【答案】质数：19、29、37；合数：12、21、45、51 解题步骤： ① 根据因数个数判断：只有两个因数的是 19、29、37，为质数； ② 有三个及以上因数的是 12、21、45、51，为合数。 【知识点睛】本题考查质数与合数的辨析。重点注意 51=3×17，是合数，不要误判为质数。 7. 【答案】× 解题步骤： ① 2 是偶数，但它是质数，不是合数，所以 “所有偶数都是合数” 的说法错误。 【知识点睛】本题考查偶数与合数的概念辨析。牢记 2 是唯一的偶质数，是重要反例。 8. 【答案】30；120 解题步骤： ① 同时是 2、3、5 的倍数，个位必须是 0，且各位数字和是 3 的倍数； ② 最小两位数，十位最小是 3，即 30； ③ 最小三位数，百位最小是 1，十位最小是 2，即 120。 【知识点睛】本题考查 2、3、5 倍数特征的综合应用。先确定个位为 0，再满足 3 的倍数特征即可。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】可能是 9、18、36 解题步骤： ① 先列出 36 的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； ② 再从中筛选出 9 的倍数：9、18、36。 【知识点睛】本题是因数与倍数的综合题型。先分别列举两个条件的结果，再找交集，是这类题的通用解法。 10. 【答案】2 和 3；理由：两个连续自然数一定一奇一偶，偶数中只有 2 是质数，所以较小的数是 2，另一个是 3，符合条件。 解题步骤： ① 连续自然数相差 1，必然一个是偶数一个是奇数； ② 偶数里只有 2 是质数，所以其中一个数是 2，另一个就是 3； ③ 验证：2 和 3 都是质数，符合要求。 【知识点睛】本题结合连续自然数的性质考查质数概念。突破口是 “偶质数只有 2”，这是很多质数问题的解题关键。 11. 【答案】26 平方厘米 解题步骤： ① 先算长加宽的和：（厘米）； ② 找两个相加等于 15 的质数：2+13=15，符合条件； ③ 计算面积：（平方厘米）。 【知识点睛】本题是质数与长方形周长面积的综合应用。先根据周长求出长与宽的和，再枚举符合条件的质数，最后计算面积。 12. 【答案】如果一个数等于它所有真因数（除自身外的因数）的和，这个数就叫作完全数；最小的两个完全数是 6 和 28。 解题步骤： ① 说明完全数的定义； ② 写出最小的两个并简单验证即可。 【知识点睛】本题考查数学文化完全数的相关知识，了解定义与典型例子即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $