专题8：可能性（思维拓展）-苏教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题8：可能性 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：确定现象与不确定现象辨析（进阶推理） 3 考点二：简单随机现象的所有可能结果列举（进阶应用） 5 考点三：可能性大小的比较与判断（算理强化） 6 考点四：随机试验规律与数据推测（思维拓展） 7 考点五：公平游戏规则设计与判断（实践拓展） 9 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：混淆确定与不确定现象，绝对化判断随机事件 10 易错点 2：列举可能结果时出现重复或遗漏 10 易错点 3：误认为可能性大的事件就一定会发生 10 易错点 4：仅凭少量试验结果就下结论，忽略随机性 11 易错点 5：游戏公平性判断偏差，忽略机会均等原则 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 12 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 12 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版五年级上册第五单元核心内容，是小学阶段概率知识的入门篇章，以 “现象识别→结果列举→大小比较→试验验证→规则应用”为主线，系统覆盖确定与不确定现象、随机结果列举、可能性大小比较、随机试验规律、公平游戏设计五大模块，渗透数据意识、推理意识、随机观念、应用意识等核心数学素养。 专题遵循 “直观感知→理性判断→试验验证→实践应用” 的认知路径，从生活现象入手区分确定事件与随机事件；学会有序列举简单随机现象的所有可能结果；掌握 “数量越多，可能性越大” 的基本规律；通过抛硬币、摸球等试验感受大量重复试验下的频率稳定性；能根据可能性原理判断并设计公平的游戏规则。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“统计与概率” 领域随机现象初步的要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，为后续概率知识的系统学习奠定观念基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 现象辨析 确定事件（一定、不可能）；不确定事件（可能） 分类判断法、生活验证法 把可能性大当成 “一定” 结果列举 简单试验所有可能结果；有序列举不重不漏 有序枚举法、列表法 列举时重复或遗漏结果 大小比较 数量与可能性的关系；可能性大小排序 数量对比法、占比分析法 只看数量差，忽略总数量 试验规律 抛硬币 / 摸球试验；大量重复试验频率稳定 试验统计法、趋势归纳法 少量试验就认定规律 公平设计 公平性判断；修改不公平规则；设计公平游戏 机会均等法、规则调整法 结果相等才叫公平，忽略机会均等 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分类判断法 现象辨析题 ①看事件结果是否唯一确定；②确定发生标 “一定”；③确定不发生标 “不可能”；④无法确定标 “可能” 结果唯一是确定，无法预知是可能 有序枚举法 结果列举题 ①按固定顺序排列；②逐个列出所有结果；③检查无重复无遗漏 按顺序，逐个列，不重复，不遗漏 数量对比法 大小比较题 ①数出每种结果对应的数量；②数量多的可能性大；③数量相同则可能性相等 数量多，可能大；数量等，可能同 试验分析法 试验数据题 ①整理多组试验数据；②观察整体趋势；③结合规律合理推测 看总量，找趋势，多试验，稳规律 机会均等法 公平游戏题 ①计算双方获胜的可能性；②可能性相等则公平；③不公平就调整规则 机会均等才公平，不等就要调规则 三、数学思维提升 1. 随机观念思维 核心要点：生活中很多事件的结果是不确定的，事先无法准确预知，这就是随机现象。可能性有大有小，但只要不是 “一定” 或 “不可能”，就都有发生的可能，不能凭感觉绝对化判断。建立随机观念是概率学习的核心基础。 专题示例：抛硬币正面朝上的可能性大，但不代表抛两次就一定有一次正面，有可能连续好几次都是反面，这就是随机性。 2. 数据分析思维 核心要点：随机事件单次结果不可预测，但大量重复试验后，结果会呈现出稳定的规律。通过收集、整理试验数据，分析数据背后的规律，就能对可能性大小做出合理推测，这就是数据分析的价值。 专题示例：抛 10 次硬币可能正面次数差很多，但抛 1000 次，正面和反面的次数就会很接近，大致各占一半，大量试验就能看出规律。 3. 公平推理思维 核心要点：公平的游戏规则，核心是参与各方获胜的可能性相等。判断规则是否公平，不能看谁赢的次数多，要看规则本身是否给了双方均等的机会。设计公平规则，就是要让双方获胜的可能性一样大。 专题示例：掷骰子比大小，大于 3 甲赢，小于 3 乙赢，就不公平，因为大于 3 的数更多；改成奇数甲赢、偶数乙赢，双方可能性相等，就公平了。 4. 归纳验证思维 核心要点：关于可能性的规律，不能只靠猜想，要通过试验来验证。经历 “猜想→试验→归纳→验证” 的过程，才能真正理解可能性的规律，培养严谨的科学探究态度。 专题示例：先猜想红球多摸出红球的可能性大，再实际做摸球试验，统计结果，验证猜想是否正确，经历完整的探究过程。 5. 应用决策思维 核心要点：可能性知识不仅用于游戏，还能指导生活中的决策。根据事件发生的可能性大小，做出合理的判断和选择，规避风险、优化方案，体现数学的实用价值。 专题示例：根据天气预报降雨的可能性大小，决定要不要带伞；根据中奖可能性大小，理性看待抽奖活动，都是可能性知识的实际应用。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：确定现象与不确定现象辨析（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 三类现象判断 题目：在括号里填上 “一定”“可能” 或 “不可能”。 （1）太阳从东边升起。（ ） （2）明天会下雨。（ ） （3）抛一枚硬币，落地后正面朝上。（ ） （4）爸爸的年龄比儿子小。（ ） 解题步骤： ① 第（1）题：太阳东升西落是自然规律，结果确定一定会发生，填 “一定”； ② 第（2）题：明天的天气无法提前完全确定，有可能下雨也有可能不下，填 “可能”； ③ 第（3）题：抛硬币的结果是随机的，正面反面都有可能，填 “可能”； ④ 第（4）题：爸爸的年龄一定比儿子大，不可能更小，填 “不可能”。 答：（1）一定；（2）可能；（3）可能；（4）不可能。 【知识点睛】本题考查确定现象与不确定现象的基本判断，是本单元的入门基础。三类事件的定义：一定发生的事件是确定事件中的必然事件；一定不发生的是确定事件中的不可能事件；无法确定是否发生的是不确定事件，也叫随机事件。判断技巧：符合自然规律、客观事实、数学定理的，就是 “一定” 或 “不可能”；结果受多种因素影响、无法提前预知的，就是 “可能”。注意：“可能性大” 不等于 “一定”，哪怕概率再高，只要不是百分百，就还是 “可能” 事件。 典型例题 2（思维拓展型）—— 现象的分类与举例 题目：下列事件中，哪些是确定现象？哪些是不确定现象？将序号填在对应的括号里。 ① 下周数学考试小明得满分；② 直角比锐角大；③ 从全是白球的盒子里摸出黑球；④ 掷一枚骰子，点数大于 2；⑤ 水在标准大气压下 100℃沸腾。 确定现象：（ ） 不确定现象：（ ） 解题步骤： ① 逐个分析事件： ①考试成绩受多种因素影响，无法百分百确定，是不确定现象； ②直角 90 度、锐角小于 90 度，是数学定义，直角一定更大，是确定现象； ③全是白球不可能摸出黑球，确定不发生，是确定现象； ④骰子点数 1 到 6，可能大于 2 也可能不大于，是不确定现象； ⑤标准大气压下水的沸点是 100℃，是科学规律，确定发生，是确定现象。 ② 分类整理：确定现象有②③⑤，不确定现象有①④。 答：确定现象：②③⑤；不确定现象：①④。 【知识点睛】本题深化对两类现象的理解，考查分类辨析能力。判断的核心标准是：事件的结果是否具有唯一性、确定性。如果结果是唯一的、必然发生或必然不发生的，就是确定现象；如果结果有两种及以上可能，事先无法确定哪一种会发生，就是不确定现象。注意：“不可能” 也是确定现象，因为它的结果是确定的 —— 一定不会发生。区分确定与不确定，是后续研究可能性大小的前提。 考点二：简单随机现象的所有可能结果列举（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 单事件结果列举 题目：一个正方体骰子，六个面上分别写着 1、2、3、4、5、6。掷一次骰子，朝上的点数有多少种可能？分别是什么？ 解题步骤： ① 分析事件：掷一次骰子，每个面朝上的可能性都存在； ② 有序列举所有结果：点数可能是 1、2、3、4、5、6； ③ 统计数量：一共有 6 种可能。 答：有 6 种可能，分别是 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点。 【知识点睛】本题考查简单随机事件的结果列举，是可能性的基础题型。列举所有可能结果的关键是有序、不重复、不遗漏。对于单个随机事件，按从小到大或固定顺序逐个列出，就能保证完整。所有可能结果的数量，是后续计算可能性大小的基础。特别注意：每个结果出现的可能性是否相等，取决于对应的条件是否均等，标准骰子每个面朝上的可能性是相等的。 典型例题 2（思维拓展型）—— 组合事件结果列举 题目：把两枚硬币同时抛向空中，落地后会出现多少种不同的情况？请全部列举出来。 解题步骤： ① 设定两枚硬币分别为硬币 A 和硬币 B，避免混淆； ② 有序列举所有组合： 第一种：A 正，B 正； 第二种：A 正，B 反； 第三种：A 反，B 正； 第四种：A 反，B 反； ③ 统计数量：一共有 4 种不同的情况。 补充说明：如果不区分两枚硬币，“一正一反” 算一种的话，是 3 种情况，但这三种情况的可能性不相等；区分硬币的 4 种情况可能性是相等的。 答：区分两枚硬币的话有 4 种：正正、正反、反正、反反；不区分硬币的话有 3 种：两正、一正一反、两反。 【知识点睛】本题考查两个独立事件的组合结果列举，是列举法的进阶应用。列举组合结果时，最好先给每个对象编号或命名，按顺序两两组合，避免遗漏和重复。易错点是把 “正反” 和 “反正” 当成同一种，忽略了两者是不同的结果，出现的可能性也不同。有序列举是核心方法，按 “第一个元素的所有情况分别搭配第二个元素的所有情况” 的顺序，就能做到不重不漏。 考点三：可能性大小的比较与判断（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 数量与可能性的关系 题目：盒子里有 8 个红球、3 个黄球和 1 个白球，球的大小形状完全相同。任意摸一个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 解题步骤： ① 比较三种球的数量：红球 8 个，黄球 3 个，白球 1 个； ② 根据规律：数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，可能性越小； ③ 得出结论：红球数量最多，摸到红球可能性最大；白球数量最少，摸到白球可能性最小。 答：红；白。 【知识点睛】本题考查可能性大小与数量的关系，是本单元的核心规律。核心结论：在总数中所占的数量越多，发生的可能性就越大；所占的数量越少，发生的可能性就越小。前提条件是每个个体被摸到的机会均等，也就是球的大小、形状、手感完全相同。判断时不用计算概率，只要比较对应数量的多少即可，数量多的可能性大，数量少的可能性小，数量相等的话可能性就相等。这个规律是判断可能性大小最常用的方法。 典型例题 2（思维拓展型）—— 可能性的逆向应用 题目：往盒子里放红、蓝两种颜色的球，一共放 10 个，要使摸到蓝球的可能性大，至少要放多少个蓝球？ 解题步骤： ① 分析条件：一共 10 个球，要蓝球可能性大，蓝球的数量就要比红球多； ② 计算临界数量：两种球数量相等时，各 5 个，可能性相等； ③ 蓝球要比红球多，最少要比 5 多 1 个，也就是 6 个，此时红球 4 个，蓝球数量更多，可能性更大。 答：至少要放 6 个蓝球。 【知识点睛】本题是可能性大小的逆向应用，深化对数量与可能性关系的理解。解题关键是抓住 “可能性大” 对应的数量条件：数量必须超过总数的一半。当两种球数量相等时，可能性相等；只要多 1 个，可能性就更大。反过来，如果题目说 “摸到红球的可能性小”，那红球数量就要少于总数的一半。这类题能很好地训练逆向思维，加深对可能性大小本质的理解。 考点四：随机试验规律与数据推测（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 抛硬币试验规律 题目：小明做抛硬币试验，前 9 次都是正面朝上，那么第 10 次抛硬币，正面朝上的可能性和反面朝上的可能性相比，（ ） A. 正面大 B. 反面大 C. 一样大 D. 无法判断 解题步骤： ① 分析硬币的属性：一枚均匀的硬币，只有正反两面，每次抛硬币都是独立事件； ② 判断可能性：每一次抛硬币，正面和反面朝上的可能性都是相等的，和之前的结果无关； ③ 得出结论：第 10 次的结果和前 9 次没关系，正反可能性一样大，选 C。 答：C。 【知识点睛】本题考查随机事件的独立性，是易错易混的经典题型。核心概念：每次独立的随机试验，结果都是互不影响的，之前的结果不会改变下一次的可能性。硬币不会 “记住” 之前的结果，不会因为连续正面就该出反面了，每一次正反的可能性都是均等的。这是随机现象的重要特点，也是很容易产生认知误区的地方，常说的 “赌徒谬误” 就是错误地认为之前的结果会影响后续的概率。 典型例题 2（思维拓展型）—— 根据试验数据推测 题目：一个不透明的盒子里有红、黄两种颜色的球共 20 个，大小形状都相同。小明每次摸一个，记录颜色后放回摇匀，重复摸了 50 次，结果摸到红球 38 次，黄球 12 次。根据试验数据推测，盒子里（ ）球的数量可能更多。 解题步骤： ① 分析试验结果：50 次试验中，摸到红球的次数远多于黄球； ② 结合规律：大量重复试验中，摸到次数多的，对应的数量通常更多； ③ 做出推测：红球被摸到的次数多，说明红球的数量可能更多。 答：红。 【知识点睛】本题考查根据试验数据进行合理推测，是统计推断的入门应用。核心原理：当试验次数足够多时，频率高的事件，对应的可能性更大，通常对应的数量也更多。注意这只是 “推测”，不是确定的结论，因为试验有随机性，有可能数量少但碰巧摸到次数多；但试验次数越多，推测的可靠性就越高。这体现了统计的思想：用样本数据推测总体情况，是数据分析的重要应用。 【趣味拓展】频率与概率 我们说的 “可能性大小” 在数学里叫 “概率”，而试验中实际出现的次数占比叫 “频率”。当试验次数很少时，频率波动很大；当试验次数越来越多，频率就会越来越接近概率，逐渐稳定下来。这就是 “大数定律” 的雏形，也是大量重复试验的价值所在。历史上很多数学家都做过成千上万次抛硬币试验，最终正面朝上的频率都稳定在 0.5 左右，验证了正反概率相等的结论。 考点五：公平游戏规则设计与判断（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 公平性判断 题目：有一个正方体骰子，六个面分别写着 1 到 6。小刚和小丽玩游戏，规则是：掷出的点数大于 3，小刚赢；点数小于 3，小丽赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 解题步骤： ① 分别列出双方赢的所有情况： 小刚赢：点数大于 3，有 4、5、6，共 3 种； 小丽赢：点数小于 3，有 1、2，共 2 种； ② 比较可能性：小刚有 3 种可能，小丽只有 2 种，小刚赢的可能性更大； ③ 得出结论：双方获胜的可能性不相等，所以游戏规则不公平。 答：不公平；因为大于 3 的点数有 3 种，小于 3 的只有 2 种，小刚赢的可能性更大，双方机会不均等。 【知识点睛】本题考查游戏公平性的判断，是可能性知识的典型应用。公平游戏的核心标准是：参与游戏的各方获胜的可能性大小相等，也就是机会均等。判断方法就是分别数出各方获胜对应的结果数量，数量相等就公平，数量不等就不公平。注意：公平不等于双方赢的次数一定一样多，而是每一局双方赢的机会一样大；实际玩的时候还是有随机性，可能某一方赢的多，但规则本身是公平的。 典型例题 2（思维拓展型）—— 设计公平规则 题目：有 2、3、4、5 四张数字卡片，背面朝上打乱，任意抽一张。请你设计一个公平的游戏规则，使小明和小红获胜的可能性相等。 解题步骤： ① 分析所有可能结果：四张卡片，抽到每张的可能性相等； ② 设计规则的核心是让双方获胜的情况数量相等； ③ 示例规则一：抽到奇数小明赢，抽到偶数小红赢； 奇数有 3、5 共 2 张，偶数有 2、4 共 2 张，数量相等，可能性相等，公平。 ④ 示例规则二：抽到比 3 大的小明赢，比 4 小的小红赢； 比 3 大的有 4、5 共 2 张，比 4 小的有 2、3 共 2 张，同样公平。 答：示例规则：抽到奇数小明赢，抽到偶数小红赢。（规则合理即可） 【知识点睛】本题考查公平游戏规则的设计，是可能性知识的实践应用。设计公平规则的关键是让双方获胜对应的结果数量相同，也就是获胜的可能性相等。设计思路可以从不同角度切入：按奇偶分、按大小分、按数字特征分，只要双方对应的结果数量一致就行。设计完后要验证：分别数出双方获胜的情况数，确认数量相等，保证规则公平。这类题能很好地培养应用能力与创新思维。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：混淆确定与不确定现象，绝对化判断随机事件 错误示例：认为 “明天大概率下雨” 就是 “一定会下雨”，把可能性大当成确定事件。 正确分析：只要不是百分百发生，哪怕可能性再高，也属于 “可能” 事件，不是 “一定”。 修正方法：判断时问自己 “是不是百分百确定”，只要存在其他可能，就填 “可能”，不绝对化。 易错点 2：列举可能结果时出现重复或遗漏 错误示例：列举两枚硬币的结果，只列正正、一正一反、反反，漏掉 “反正”，或者把两种一正一反算成两种又重复计数。 正确分析：列举组合结果要有序，给每个对象编号，按顺序两两组合，确保不重不漏。 修正方法：列举前先给元素编号，按 “第一个元素的每种情况分别搭配第二个元素” 的顺序列，列完检查总数，比如两枚硬币应该是 2×2=4 种，数量对得上再继续。 易错点 3：误认为可能性大的事件就一定会发生 错误示例：盒子里 9 个红球 1 个白球，就觉得摸一次一定能摸到红球，不可能摸到白球。 正确分析：白球数量少，只是摸到的可能性小，但不是不可能，依然有摸到的可能。 修正方法：记住 “可能性小≠不可能，可能性大≠一定”，只要存在就有可能，只是概率大小不同。 易错点 4：仅凭少量试验结果就下结论，忽略随机性 错误示例：抛 5 次硬币都是正面，就认为正面朝上的可能性更大，忽略试验次数太少的偶然性。 正确分析：少量试验结果波动大，不能代表真实的可能性大小；试验次数越多，结果越接近真实概率。 修正方法：判断规律要看大量试验的整体趋势，不能用几次的偶然结果下结论；试验次数越多，结论越可靠。 易错点 5：游戏公平性判断偏差，忽略机会均等原则 错误示例：玩游戏小刚赢了好几次，就觉得规则对小刚有利，用实际结果判断规则是否公平。 正确分析：规则是否公平看的是双方获胜的机会是否均等，不是看某几次的输赢结果。 修正方法：判断公平性回到规则本身，分别数出双方获胜的情况数，数量相等就公平；实际输赢有随机性，不能作为判断公平性的依据。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 1. 填空：确定事件分为（ ）和（ ）两种；不确定事件也叫（ ）事件。 2. 判断：冬天一定会下雪。（ ） 3. 盒子里有 5 个黑球、7 个白球，任意摸一个，摸到（ ）球的可能性大。 4. 选择：抛一枚硬币，连续 4 次都是正面，第 5 次反面朝上的可能性（ ） A. 比正面大 B. 比正面小 C. 和正面一样大 5. 从分别写着 1、2、3 的三张卡片中任意抽一张，有（ ）种可能的结果。 6. 判断：盒子里有 10 个红球、1 个黄球，不可能摸到黄球。（ ） 7. 掷一个正方体骰子，点数是质数的有（ ）种可能。 8. 两个小朋友玩 “石头剪刀布”，这个游戏规则是公平的。（ ） 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 9. 袋子里有红、绿两种球共 15 个，每次摸一个放回摇匀，摸了 30 次，摸到绿球 22 次，红球 8 次。推测袋子里哪种颜色的球可能更多？你的依据是什么？ 10. 有 1、2、3、4 四张卡片，任意抽两张，两张卡片上数字的和是单数的可能性大还是双数的可能性大？ 11. 设计一个用转盘的公平游戏规则，使甲、乙两人获胜的可能性相等，简单说明设计思路。 12. 小明和小刚做摸球游戏，盒子里有 6 个红球、4 个黄球。小明说：“摸到红球我赢，摸到黄球你赢。” 小刚觉得不公平。请你修改规则，使游戏变得公平。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】一定发生；不可能发生；随机 解题步骤： ① 确定事件包括必然发生和不可能发生两类；结果不确定的就是随机事件。 【知识点睛】本题考查事件的基本分类。明确三类事件的定义是可能性学习的基础。 2. 【答案】× 解题步骤： ① 冬天有的地方下雪，有的地方不下雪，也不是每年冬天都一定下雪，属于可能事件。 【知识点睛】本题考查确定与不确定现象的判断。不是所有冬天都下雪，不能绝对化。 3. 【答案】白 解题步骤： ① 白球 7 个，黑球 5 个，白球数量更多，摸到的可能性更大。 【知识点睛】本题考查可能性大小与数量的关系。数量多的，被摸到的可能性大。 4. 【答案】C 解题步骤： ① 每次抛硬币都是独立的，正反可能性始终相等，和之前的结果无关。 【知识点睛】本题考查随机事件的独立性。每次试验结果互不影响，可能性保持不变。 5. 【答案】3 解题步骤： ① 三张卡片，每张都有可能被抽到，分别是 1、2、3，共 3 种可能。 【知识点睛】本题考查简单事件的结果列举。每张卡片机会均等，都对应一种结果。 6. 【答案】× 解题步骤： ① 黄球数量少，只是摸到的可能性小，但依然有可能摸到，不是不可能。 【知识点睛】本题考查可能性大小的理解。可能性小不等于不可能，只要存在就有可能。 7. 【答案】3 解题步骤： ① 1 到 6 中的质数是 2、3、5，共 3 个，所以有 3 种可能。 【知识点睛】本题结合质数概念考查可能性。先找出符合条件的数，数量就是可能的种数。 8. 【答案】√ 解题步骤： ① 石头剪刀布中，双方获胜的可能性是相等的，规则公平。 【知识点睛】本题考查公平游戏的判断。双方机会均等的游戏就是公平的。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】绿球可能更多；依据是大量重复试验中，摸到次数多的颜色，对应的数量通常更多，30 次里绿球摸到的次数远多于红球，所以绿球数量可能更多。 解题步骤： ① 对比摸到的次数，绿球远多于红球； ② 结合频率与数量的关系，做出合理推测。 【知识点睛】本题考查根据试验数据推测总体。试验次数较多时，频率能反映可能性大小，进而推测数量多少。 10. 【答案】单数的可能性大 解题步骤： ① 列举所有组合及和： 1+2=3（单），1+3=4（双），1+4=5（单）， 2+3=5（单），2+4=6（双），3+4=7（单）； ② 统计：和是单数的有 4 种，双数的有 2 种； ③ 单数的情况更多，所以和是单数的可能性大。 【知识点睛】本题考查组合事件的可能性大小比较。先有序列举所有组合，再分类统计数量，数量多的可能性大。 11. 【答案】示例设计：把转盘平均分成 4 份，2 份涂红色、2 份涂蓝色；指针停在红色区域甲赢，停在蓝色区域乙赢。 设计思路：转盘平均分配，两种颜色面积相等，指针停在两个区域的可能性相等，游戏公平。 解题步骤： ① 保证双方对应的区域面积相等，可能性就相等； ② 规则清晰，机会均等即可。 【知识点睛】本题考查公平游戏设计。核心是让双方获胜的可能性相等，面积相等则可能性相等。 12. 【答案】示例修改方案一：拿走 2 个红球，这样红球和黄球都是 4 个，摸到的可能性相等，游戏公平； 示例方案二：摸到红球小明得 2 分，摸到黄球小刚得 3 分，总分多的赢，通过分值调整让期望公平。 （方法合理即可，最简单的是调整数量使两种球个数相等） 解题步骤： ① 不公平的原因是红球多，小明赢的可能性大； ② 调整数量、调整得分都可以让游戏公平，只要最终双方获胜机会均等。 【知识点睛】本题考查不公平规则的修改。可以从调整数量、调整分值等角度入手，核心是让双方获胜的可能性对等。 1 学科网（北京）股份有限公司 $