专题7：小数乘法和除法（一）（思维拓展）-苏教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题7：小数乘法和除法（一） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：小数乘整数与算理迁移（进阶推理） 3 考点二：小数点右移规律与扩大倍数（进阶应用） 4 考点三：小数除以整数与商的对位（算理强化） 6 考点四：小数点左移规律与缩小倍数（思维拓展） 7 考点五：小数乘除法与单位换算（实践拓展） 8 考点六：小数乘除法实际问题解决（实践拓展） 9 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：小数乘法积的小数位数判断错误，漏点小数点 10 易错点 2：小数除法商的小数点不对齐，数位错位 10 易错点 3：小数点移动位数不够时，忘记补 0 占位 11 易错点 4：单位换算进率混淆，高低级转换方向搞反 11 易错点 5：除到被除数末尾有余数时，忘记补 0 继续除 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 12 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 一、能力进阶篇解析 14 二、思维拓展篇解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版五年级上册第四单元核心内容，承接整数乘除法、小数的意义与性质基础，以“算理迁移→规律探究→算法巩固→单位转化→实际应用”为主线，系统覆盖小数乘整数、小数点移动规律、小数除以整数、单位换算、实际问题解决五大模块，渗透运算能力、数感、推理意识、应用意识等核心数学素养。 专题遵循 “整数迁移→规律发现→算法形成→拓展应用” 的认知路径，将整数乘除法的算理迁移到小数运算中；探究小数点位置移动引起小数大小变化的规律；掌握小数乘整数、小数除以整数的笔算方法；运用小数点移动规律进行单位换算；结合生活场景用小数乘除法解决实际问题。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与运算”“数量关系” 两大学习主题要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，为后续小数乘除法进阶、四则混合运算筑牢计算根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 小数乘整数 转化为整数乘法计算；积的小数位数与乘数一致 转化计算法、位数匹配法 积的末尾有 0 时，先点小数点再去 0 小数点右移规律 乘 10/100/1000，小数点右移一 / 二 / 三位；扩大倍数应用 右移法、补 0 法 位数不够时忘记在左边补 0 小数除以整数 商的小数点与被除数对齐；有余数补 0 继续除 对位计算法、补 0 续除法 商的小数点遗漏或错位 小数点左移规律 除以 10/100/1000，小数点左移一 / 二 / 三位；缩小倍数应用 左移法、补 0 法 整数的小数点隐藏在个位右下角 单位换算 高低级单位互化；进率与小数点移动对应 进率匹配法、方向判断法 进率记错，转换方向搞反 实际应用 总价、路程、归一归总等模型的小数应用 模型匹配法、分步求解法 数量关系错配，单位不统一 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 转化计算法 小数乘整数 ①把小数看成整数相乘；②看乘数有几位小数；③积从右往左数出几位点小数点 先按整数乘，再数小数位，点上小数点 对位计算法 小数除以整数 ①按整数除法去除；②商的小数点对齐被除数；③有余数补 0 继续除 整数除法算，商点对齐被，余补 0 续除 右移扩大法 乘 10/100/1000 ①确定移动位数；②小数点向右移动；③位数不够补 0 占位 乘十右移一，乘百右移二，不够就补 0 左移缩小法 除以 10/100/1000 ①确定移动位数；②小数点向左移动；③整数先点小数点再移 除十左移一，除百左移二，不够就补 0 单位换算法 高低级单位转换 ①判断转换方向；②确定对应进率；③按方向移动小数点 高化低乘进率，低化高除进率 三、数学思维提升 1. 迁移类推思维 核心要点：小数乘除法的算理和整数乘除法完全一致，都是基于十进制计数法，计算时先转化成整数运算，再根据小数位数调整结果。把整数运算的方法迁移到小数中，就能快速掌握新知识。 专题示例：小数乘整数，先按整数乘法算出积，再看乘数有几位小数，就从积的右边数出几位点上小数点，本质就是整数乘法的迁移。 2. 规律探究思维 核心要点：通过观察几组算式的变化，发现小数点移动和小数大小变化的规律，再验证规律、应用规律，经历 “观察→猜想→验证→结论→应用” 的完整探究过程，培养归纳推理能力。 专题示例：计算几组一个数乘 10、100、1000 的结果，观察小数点位置的变化，就能归纳出右移的规律，再用更多例子验证。 3. 对位对齐思维 核心要点：小数除法中，商的小数点必须和被除数的小数点对齐，每一位商都要和被除数的对应数位对齐，这是十进制计数法 “数位对齐” 原则的体现，是计算准确性的重要保障。 专题示例：计算小数除以整数，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，小数点和被除数的小数点上下对齐，保证数位一一对应。 4. 量感转化思维 核心要点：不同单位的换算本质就是小数点的移动，通过小数点位置的变化实现高低级单位的转换，把单位换算和小数规律结合起来，深化对量感的理解，让单位换算更简便。 专题示例：把千米换算成米，就是高级单位化低级单位，乘进率 1000，也就是把小数点向右移动三位，不用死记硬背进率计算。 5. 应用建模思维 核心要点：生活中的很多实际问题都可以用小数乘除法解决，比如总价问题、归一问题，它们的数量关系和整数时完全一致，只是数据变成了小数，掌握模型就能举一反三解决同类问题。 专题示例：单价 × 数量 = 总价，不管单价是整数还是小数，这个数量关系都不变，同样的模型可以适配不同的数据类型。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：小数乘整数与算理迁移（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础笔算与算理 题目：笔算： 解题步骤： ① 转化为整数乘法：把 3.25 看成 325，计算： ，，相加得； ② 确定小数位数：乘数 3.25 有两位小数，积也应有两位小数； ③ 从积的右边数出两位点上小数点：从右数两位点小数点，得，化简为。 竖式过程： 答：结果是 45.5。 【知识点睛】本题考查小数乘整数的笔算方法与算理。核心算法：先按整数乘法算出积，再看乘数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。算理本质是积的变化规律：乘数扩大 100 倍变成整数，积也扩大 100 倍，所以最终积要缩小到原来的百分之一，也就是点两位小数。注意：如果积的末尾有 0，要先点小数点，再去掉末尾多余的 0，不能先去 0 再点小数点，这是高频易错点。 典型例题 2（思维拓展型）—— 积的小数位数判断 题目：根据，直接写出下面各题的积。 　　　　 解题步骤： ① 对比原式，第一个乘数的小数位数就是积的小数位数，第二个乘数不变； ② 第一题：12.8 有一位小数，积也有一位小数，点一位小数得，即 320； ③ 第二题：1.28 有两位小数，积点两位小数，得 32.00，即 32； ④ 第三题：0.128 有三位小数，积点三位小数，得 3.200，即 3.2。 答：320；32；3.2。 【知识点睛】本题考查小数乘整数的积的小数位数规律，是算理的深化应用。核心规律：一个乘数不变，另一个乘数缩小到原来的几分之一，积也相应缩小到原来的几分之一；积的小数位数和小数乘数的小数位数相同。不用重新计算，只要数清楚小数乘数的位数，就能直接写出结果。反过来，知道积的小数位数，也能反推乘数的小数位数，这是积的变化规律在小数乘法中的具体体现。 考点二：小数点右移规律与扩大倍数（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础规律应用 题目：直接写出结果。 　　　　 解题步骤： ① 一个数乘 10，小数点向右移动一位：右移一位得 0.8； ② 一个数乘 100，小数点向右移动两位：右移两位，位数不够补 0，得 560； ③ 一个数乘 1000，小数点向右移动三位：右移三位得 305。 答：0.8；560；305。 【知识点睛】本题考查小数点向右移动的规律，是小数乘法的重要基础规律。核心结论：一个数乘 10、100、1000…… 只要把这个数的小数点向右移动一位、两位、三位……。注意事项：一是整数的小数点隐藏在个位的右下角，比如 5 可以看成 5.0；二是移动后位数不够时，要用 0 补足，缺几位就补几个 0；三是移动后整数部分开头多余的 0 可以去掉。这个规律是单位换算、小数乘法的重要理论依据。 典型例题 2（思维拓展型）—— 倍数关系逆向应用 题目：把一个小数的小数点向右移动两位后，得到的数比原数大 99.99。原来的小数是多少？ 解题步骤： ① 分析变化：小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的 100 倍； ② 分析差的对应关系：新数是原数的 100 倍，比原数多倍，对应的差是 99.99； ③ 求原数：差除以多的倍数就是原数，。 答：原来的小数是 1.01。 【知识点睛】本题是小数点移动规律的差倍问题，属于思维拓展题型。解题关键是理解：小数点右移 n 位，新数就是原数的 10ⁿ倍，两者的差就是原数的 (10ⁿ-1) 倍。这类题的核心是找到差对应的倍数，用差倍公式 “原数 = 差 ÷(倍数 - 1)” 求解。这是小数点规律和差倍问题的结合，既巩固了小数规律，又复习了整数数量关系模型，体现了知识的迁移与融合。 考点三：小数除以整数与商的对位（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础笔算与对位规则 题目：笔算： 解题步骤： ① 按整数除法计算，先除整数部分：商 5，余 2； ② 对齐被除数的小数点，点上商的小数点； ③ 把十分位的 4 落下来，变成 24，商 6，写在十分位上； ④ 最终结果是 5.6，商的小数点和被除数的小数点上下对齐。 竖式过程： 答：结果是 5.6。 【知识点睛】本题考查小数除以整数的基础笔算，是小数除法的核心基础。笔算法则：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。算理和整数除法完全一致，都是从高位除起，除到哪一位商写在哪一位上面，区别就是多了小数点，必须对齐。记忆技巧：“商的小数点要和被除数的小数点对齐”，这是小数除法和整数除法最明显的区别，也是最容易出错的地方，计算时要先点小数点再继续除后面的数位。 典型例题 2（思维拓展型）—— 有余数补 0 继续除 题目：笔算： 解题步骤： ① 先除整数部分：商 1，余 12； ② 点上商的小数点，在余数 12 后面补 0，变成 120，继续除； ③ 商 7，余 8；在 8 后面再补 0，变成 80，商 5，除尽； ④ 最终结果是 1.75。 竖式过程： 【知识点睛】本题考查小数除法中 “除到末尾有余数，补 0 继续除” 的情况，是小数除法的重难点。核心规则：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除。因为小数的末尾添上 0，小数的大小不变，所以可以通过补 0 的方式继续除下去，直到除尽为止。注意：补 0 之前必须先点上商的小数点，补一个 0 就对应商的下一位数位，依次类推。补 0 续除是小数除法的特有操作，是小数性质在除法中的应用。 考点四：小数点左移规律与缩小倍数（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础规律应用 题目：直接写出结果。 　　　　 解题步骤： ① 一个数除以 10，小数点向左移动一位：75 的小数点在个位右下角，左移一位得 7.5； ② 一个数除以 100，小数点向左移动两位：3.6 左移两位，位数不够补 0，得 0.036； ③ 一个数除以 1000，小数点向左移动三位：50 左移三位，补 0 得 0.05。 答：7.5；0.036；0.05。 【知识点睛】本题考查小数点向左移动的规律，和右移规律对应。核心结论：一个数除以 10、100、1000…… 只要把这个数的小数点向左移动一位、两位、三位……。注意事项：一是整数的小数点要先找到位置（个位右下角），再开始移动；二是向左移动位数不够时，要在整数部分前面补 0，点上小数点后，整数部分没有数还要补 0 占位；三是移动后末尾的 0 可以去掉。左移规律和右移规律是互逆的，结合记忆效果更好。 典型例题 2（思维拓展型）—— 和倍问题综合 题目：把一个小数的小数点向左移动一位后，得到的数和原数的和是 13.86。原来的小数是多少？ 解题步骤： ① 分析变化：小数点向左移动一位，新数是原数的，原数是新数的 10 倍； ② 分析和的对应关系：两数的和对应新数的倍； ③ 先求新数：； ④ 原数就是新数的 10 倍，。 答：原来的小数是 12.6。 【知识点睛】本题是小数点左移规律的和倍问题，深化对规律的理解应用。解题关键是明确：小数点左移 n 位，新数就是原数的，原数是新数的 10ⁿ倍。和倍问题的核心公式：较小数 = 和 ÷(倍数 + 1)。本题把小数点规律和和倍问题结合，既考查了规律的掌握，又考查了数量关系的应用，能很好地训练综合思维能力。 考点五：小数乘除法与单位换算（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 高低级单位互化 题目：填空。 （1）0.85 米 =（ ）厘米 （2）4080 千克 =（ ）吨 （3）2.6 平方千米 =（ ）公顷 解题步骤： ① 第（1）题：米到厘米是高级单位化低级单位，进率 100，乘 100，小数点右移两位，厘米； ② 第（2）题：千克到吨是低级单位化高级单位，进率 1000，除以 1000，小数点左移三位，吨； ③ 第（3）题：平方千米到公顷是高级化低级，进率 100，乘 100，小数点右移两位，公顷。 答：（1）85；（2）4.08；（3）260。 【知识点睛】本题考查单位换算与小数点规律的结合应用，是规律的生活实践。换算方法：高级单位转化为低级单位，乘进率，小数点右移；低级单位转化为高级单位，除以进率，小数点左移。解题步骤：先判断转换方向，再确定对应进率，最后按规律移动小数点。单位换算的本质就是小数点的移动，不用死算乘除，只要找准进率和方向，移动小数点就能快速得出结果，既快捷又准确。 典型例题 2（思维拓展型）—— 复合单位换算 题目：3 平方米 5 平方分米 =（ ）平方米；2.05 千米 =（ ）千米（ ）米。 解题步骤： ① 第一题：复名数化单名数，5 平方分米换算成平方米，平方分米到平方米进率 100，低级化高级除以 100，平方米；再加 3 平方米，得平方米； ② 第二题：单名数化复名数，整数部分 2 就是 2 千米，小数部分 0.05 千米换算成米，高级化低级乘 1000，米； ③ 所以是 2 千米 50 米。 答：3.05；2，50。 【知识点睛】本题考查复名数与单名数的换算，是单位换算的进阶题型。解题核心是 “拆分处理”：复名数化单名数，把不同单位的部分分别换算成目标单位，再相加；单名数化复名数，整数部分就是大单位的数，小数部分换算成小单位的数。这类题的关键是牢记相邻单位的进率，分清换算方向，结合小数点移动规律计算。复名数换算是生活中常用的技能，比如身高、体重、面积的换算，都经常用到。 考点六：小数乘除法实际问题解决（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 购物总价问题 题目：苹果每千克 8.5 元，妈妈买了 4 千克，付出 50 元，应找回多少元？ 解题步骤： ① 先算买苹果的总价：单价 × 数量 = 总价，（元）； ② 再算找回的钱：付出的钱－花掉的钱 = 找回的钱，（元）； ③ 检验：元，和付出的钱一致，结果正确。 答：应找回 16 元。 【知识点睛】本题考查小数乘法在购物场景的实际应用，是最基础的小数应用题。数量关系和整数时完全一样：单价 × 数量 = 总价，只是单价变成了小数。解题思路和整数应用题一致，先分析数量关系，再列式计算，最后检验。小数应用题的核心还是数量关系，小数只是数据形式，解题的逻辑和整数没有区别，体现了数学模型的通用性。 典型例题 2（思维拓展型）—— 归一归总问题 题目：3 台抽水机 4 小时可以浇地 3.6 公顷。照这样计算，1 台抽水机每小时浇地多少公顷？5 台抽水机 2 小时可以浇地多少公顷？ 解题步骤： ① 第一步求单一量：1 台抽水机 1 小时浇地面积，连除计算， （公顷）； ② 第二步求总量：5 台 2 小时的浇地面积，连乘计算， （公顷）； ③ 验证：3 台 4 小时公顷，和题目条件一致，正确。 答：1 台抽水机每小时浇地 0.3 公顷；5 台抽水机 2 小时可以浇地 3 公顷。 【知识点睛】本题是小数的归一归总问题，属于小数除法的拓展应用。解题核心是先求出单一量（单位时间单位数量的工作量），再根据问题求总量。归一问题用连除，归总问题用连乘，数量关系和整数归一问题完全一致，只是数据变成了小数。这类题能很好地训练分步思考的能力，巩固小数乘除法的计算，同时深化对归一模型的理解，是常见的拓展题型。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：小数乘法积的小数位数判断错误，漏点小数点 错误示例：计算小数乘整数，算完整数乘法后忘记点小数点，或者小数位数数错。 正确分析：乘数有几位小数，积就有几位小数，要从积的右边数出对应位数点小数点。 修正方法：算完整数积后，先数清楚小数乘数的位数，做个标记，再从右往左数位点小数点；末尾有 0 的，先点小数点再去 0。 易错点 2：小数除法商的小数点不对齐，数位错位 错误示例：计算小数除以整数，商的小数点不点，或者和被除数的小数点不对齐，导致结果数位错误。 正确分析：商的小数点必须和被除数的小数点上下对齐，这是小数除法的核心规则。 修正方法：除到被除数的个位后，先点上商的小数点，再继续除后面的数位；算完后检查小数点是否对齐。 易错点 3：小数点移动位数不够时，忘记补 0 占位 错误示例：小数点左移两位时，小数位数不够，直接移动，导致位数不足结果错误。 正确分析：移动小数点时，位数不够要补 0，左移补在左边，右移补在右边，缺几位补几个 0。 修正方法：移动前先数清楚原数的位数，算好差几位，提前补 0 再移动；移动后检查位数是否正确。 易错点 4：单位换算进率混淆，高低级转换方向搞反 错误示例：把米换算成千米，当成高级化低级乘进率，或者记错进率导致结果错误。 正确分析：高级单位化低级单位乘进率，低级化高级除以进率；必须先记准对应进率。 修正方法：换算前先判断 “谁大谁小”，大单位化小单位数字变大（乘），小单位化大单位数字变小（除），结合数字变化方向辅助判断。 易错点 5：除到被除数末尾有余数时，忘记补 0 继续除 错误示例：整数部分除完有余数，就直接停下写余数，不补 0 继续除，得到错误的带余结果。 正确分析：小数除法中，除到末尾有余数可以补 0 继续除，直到除尽，不需要保留余数。 修正方法：除到被除数末尾还有余数时，先点小数点，再在余数后面补 0 继续除；养成 “余则补 0” 的习惯。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 1. 直接写出得数。 　 　　 　 2. 笔算： 3. 笔算： 4. 填空：0.46 吨 =（ ）千克；35 厘米 =（ ）米。 5. 判断：一个数乘 100，就是把这个数的小数点向左移动两位。（ ） 6. 一支钢笔 7.5 元，买 6 支这样的钢笔一共需要多少元？ 7. 把 3.05 的小数点向右移动两位，得到的数是（ ），扩大到原来的（ ）倍。 8. 计算： 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 9. 小马虎计算一道小数乘法题时，把一个乘数 5.6 看成了 56，结果得到的积是 168。正确的积应该是多少？ 10. 一个小数的小数点先向右移动三位，再向左移动两位后是 45.8。这个小数原来是多少？ 11. 一辆汽车行驶 100 千米耗油 7.5 升。照这样计算，行驶 1000 千米耗油多少升？ 12. 一根木头长 12.5 米，要锯成 2.5 米长的小段，每锯一次需要 3 分钟，全部锯完一共需要多少分钟？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】4.8；0.072；350 解题步骤： ① ； ② ，小数点左移两位，得 0.072； ③ ，小数点右移三位，得 350。 【知识点睛】本题考查小数乘整数与小数点移动的基础口算。直接运用规律计算即可。 2. 【答案】63.9 解题步骤： ① 先算； ② 乘数有两位小数，积点两位小数，得 63.90，化简为 63.9。 【知识点睛】本题考查小数乘整数笔算。按整数乘法计算后点对应位数的小数点。 3. 【答案】2.1 解题步骤： ① 整数部分，商 2； ② 点小数点，十分位 9÷9=1，商 1； ③ 结果 2.1，小数点对齐。 【知识点睛】本题考查小数除以整数基础笔算。注意商的小数点和被除数对齐。 4. 【答案】460；0.35 解题步骤： ① 吨化千克，高级化低级，乘 1000，； ② 厘米化米，低级化高级，除以 100，。 【知识点睛】本题考查质量和长度单位的换算。结合进率和小数点移动规律计算。 5. 【答案】× 解题步骤： ① 乘 100 是扩大，小数点应该向右移动两位，不是向左。 【知识点睛】本题考查小数点右移规律。乘对应右移扩大，除对应左移缩小。 6. 【答案】45 元 解题步骤： ① 总价 = 单价 × 数量，（元）。 【知识点睛】本题考查小数乘法的购物应用。对应总价数量关系模型。 7. 【答案】305；100 解题步骤： ① 右移两位得 305； ② 右移两位就是扩大到原来的 100 倍。 【知识点睛】本题考查小数点右移与倍数的关系。移动几位就是 10 的几次方倍。 8. 【答案】0.625 解题步骤： ① 不够商 1，商 0 点小数点，25÷4 商 6 余 1； ② 补 0 成 10，商 2 余 2；再补 0 成 20，商 5； ③ 结果 0.625。 【知识点睛】本题考查有余数补 0 继续除的小数除法。补 0 续除直到除尽。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】16.8 解题步骤： ① 乘数 5.6 看成 56，扩大了 10 倍，积也扩大了 10 倍； ② 正确的积要缩小 10 倍，。 【知识点睛】本题是错中求解的小数乘法题型。乘数扩大几倍，积就扩大几倍，求正确结果要反向缩小。 10. 【答案】4.58 解题步骤： ① 逆推还原：先向右移两位还原回去，就是向左移两位，； ② 再把向左移三位还原回去，向右移三位，； ③ 或者整体看：右移三位再左移两位，相当于右移一位后是 45.8，原数就是。 【知识点睛】本题考查小数点多次移动的还原问题。可以逆推逐步还原，也可以算总移动量反向求解。 11. 【答案】75 升 解题步骤： ① 方法一：先算 1 千米耗油量，升； 再算 1000 千米：升； ② 方法二：1000 千米是 100 千米的 10 倍，耗油量也是 10 倍，升。 【知识点睛】本题是归一问题的小数应用。可以先求单一量，也可以用倍数关系求解。 12. 【答案】12 分钟 解题步骤： ① 先算能锯成几段：（段）； ② 锯的次数比段数少 1：（次）； ③ 总时间：（分钟）。 【知识点睛】本题是小数除法与植树问题的结合。段数 - 1 = 次数，先算段数再算时间，注意不要直接用段数乘时间。 1 学科网（北京）股份有限公司 $