学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（新疆专用，范围：新教材人教版九上第二十五～二十六章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过消防演练水流轨迹、风筝销售利润等真实情境设计问题，考查运算能力、模型意识与创新意识，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/36|方程定义、解法、判别式，函数图像性质|以郑州超市营业额增长率（第5题）考查方程应用| |填空题|6/24|方程根、函数配方与平移、矩形小径面积|用羽毛球飞行轨迹（第14题）体现函数建模| |解答题|8/90|方程求解、函数性质、几何综合、利润最值|23题二次函数与几何综合考查推理能力，22题风筝销售问题强化应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 5．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 11．将二次函数化为的形式，结果为_____． 12．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 13．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 14．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共8小题，共90分。 16．（12分）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 17．（12分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 18．（9分）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 19．（12分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 20．（8分）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 21．（11分）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 22．（12分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 23．（14分）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。 1 3 4 5 6 7 8 9 C 0 0 B D C ◇ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10.3 11.y=2(x-1)+4 12.1 14.5 15.①③⑤ 三、解答题：本题共8小题，共90分。 16.(12分) 【解析】(1)解：x2-8x-11=0, x2-8x+16=16+11, (x-4)2=27 x-4=3V3 :=4+35,=4-35.4分) (2)解：0-+2y1-)=0 (y-1)y-1-2y)=0 y-1=0或y-1-2y=0, :片山⅓=-1 (8分) (3)解：2x2-7x+1=0, .…a=2,b=-7,c=1 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :.△=b-4aC=(-7}-4x2x1=41>0 7生面7a 2×2 4. 422 4.(12分) 17.(12分) 【解析】 2-(2m+3)x+m2+3m+2=0 (1)证明：对于方程 其中a=6=-(2m+3),c=m2+3m+2 △=b2-4ac=[-(2m+3)]2-4×1×m2+3m+2） =(2m+3)2-4(m2+3m+2） =4m2+12m+9-4m2-12m-8 =1,(5分) :△=1>0恒成立， ∴.无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根(6分) x=(2m+3)t12m+3t1 (2)解：由(1)知△=1，利用求根公式： 2 2 =2m+3+12m+4 m+2 2 2 5=2m+3-1_2m+2 2 m+1(8分) :(m+1+(m+2y=S=25(10分) 解得： m1=2,m2=-5 ;(12分) 18.(9分) 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】 （1)解：由=r+2x-3=(+旷-4得：顶点坐标为-1-4，对称轴为直线=-1，(3分) (2)解：：1>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1, ∴当x<1时，y随x的增大而减小；(5分) (3)解：令少=0 0,即r+2x-3=0.=-3为=1 即当x=-3或x=1时，y=0； ,抛物线的开口向上， 当x<-3或x>1时，y>0: 当-3<x<1时，y<0.(9分) 19.(12分) 【解析】 (1)解：设AD=m, AB=(24-3x)m 则 (4分) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得(24-3)=48 整理，得x2-8x+16=0, 解得，4 ,(8分) 当x=4时，AB=24-12=12>10,不符合题意，(10分) 答：不能围成面积为48m°的花圃.(12分) 20.(8分) 【解析】解：设运动时间为t秒，(1分) 当0<1≤40时，依题意，得2(60-)×21=100(4分) 60t-t2=100 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得4=30-20V2.5=30+20w5 (不合题意，舍去)；(5分) 当40<f<60时，依题意，得2×80x(60-）小=100 2400-40t=100 解得t=57.5.(6分) :经过30-20、2)秒或575秒，△P80的面积等于10平方里米.(8分 21.(11分) 【解析】(1)解：，OA=2lm,OB=7m, :40,21)）.B(7,0) c=21 将A(0,21)和B(7,0)代入y=-3x2+bx+c中，得-3×7+7b+c=0, [b=18 解得c=21;(2分) y=-3x2+18.x+21 (2)解：由(1)知抛物线的表达式为： 将表达式转化为顶点式为：y=-3(x-3)+48 六抛物线的顶点坐标为848)】 ∴，水流高度能达到的最大高度是48米；(6分) (3)解：令y=36,即-3x2+18x+21=36,整理得：x2-6x+5=0, x=1x2=5 解得： ,点C在点B正前方1米处， :c80) ∴至少需前进8-5=3（米）， ∴.消防车从O点沿OB方向应至少前进3米.(11分) 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(12分) 【解析】 (1)解：设燕子型风筝售价为x元时，销售量为y个， y=180-10(x-12)=-10x+30012≤x≤30 根据题意可知： y=-10x+300(12≤x≤30 销售量与售价“之间的函数关系式为 ):(4分) (2)解：设锁大爷获得的利润为W元， =(x-10)y=(x-10)(-10x+300)=-10x2+400x-3000 则 令W=840,则-10x2+400x-3000=840, 解得： x1=16x2=24 锁大爷为了让利给孩子， .x=16 答：售价应定为16元：(8分) W=-10x2+400x-3000=-10(x-20)2+1000 (3)解： .'a=-10<0 .当x=20时，W取最大值，最大值为1000 答：当售价定为20元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是1000元.(12分) 23.(14分) 【解析】 (1)解：令x=0,则y=3, 令y=0,则0=-x+3,x=3, :B(30).C0,3) .OB=3, .OB=30A. 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .0A=1, :4-10) 设抛物线=a(r+1)(x-3) 代入C(0,3列，得3=-3a,a=-l, :y=-(+0(x-3)=-2+2x+3 :(3分) (2)解：如图3，过点N作NP⊥x轴交直线BC于点P, B 图3 设a-+2m+3),则Pa,-n+3), .P=(n+2n+3)-(-n+3)=-2+3n(0<n<3) P‖y轴， ·点c到NP的距离为 ”,点日到P的距离为。=3n p-xc=n 5m=aw+5wd+训0-43刘+--g. 3 27 当n= 2时，ABNC的面积最大，为8，(8分) (3)解：存在。 设M(m,-m2+2m+3) CM,⊥B 1)当以C为直角顶点时，如图，过点C作 M C,交抛物线于点从.过点作y轴的垂线，垂足 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 是B,则E(0-m+2m+3) A B 图1 由3,0，C0,3),得0B=0c. .∠BC0=∠CB0=45°， ∠BCM1=90° ∴.∠MCE+∠BCO=90° .∠MCE=45°， △ECM1 是等腰直角三角形， 、BC=BM,即m+2m+3-3=m。 解得%0 舍去)，%=1 .-m2+2m+3=4, .M(1,4) iⅱ)当以B为直角顶点时，如图，过点B作 BM2⊥BC ,交抛物线于点，交y轴于点G.过点“作y轴 的垂线，季足是R则F(0,-m+2m+3)M,F辅， 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A B G M -E 图2 ·∠CB0=45°BM21BC ∠OBM,=45° ∴.△OBG是等腰直角三角形， ∴.OG=OB=3, :G0-3) MFLy MFllx 轴，即 轴， ∠GM,F=45° AGMF 是等腰直角三角形， :GF=M,F,即3-（←m+2m+3)=-m. 解得%=-2m=3 (舍去)， .-m2+2m+3=-5, :M(-2-5) 综上所述，M的坐标是+)欧2，-5)，（14分) 818 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ． 3．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】解：在方程中，，，， 故． 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确，故选：D． 5．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 7．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 11．将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【解析】解： ， 即. 12．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【解析】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 13．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【解析】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 14．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【解析】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 三、解答题：本题共8小题，共90分。 16．（12分）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】（1）解：， ， ， ， ∴．（4分） （2）解：， ， 或， ∴．（8分） （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴．（12分） 17．（12分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【解析】 (1)证明：对于方程， 其中， ， ，（5分） 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根（6分） （2）解：由（1）知，利用求根公式： （8分） （10分） 解得：；（12分） 18．（9分）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】 (1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)； (3)当或时，；当或时，；当时， 【解析】 （1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线；（3分） （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；（5分） （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，．（9分） 19．（12分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【解析】 （1）解：设， 则；（4分） （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得，（8分） 当时，，不符合题意，（10分） 答：不能围成面积为的花圃．（12分） 20．（8分）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【解析】解：设运动时间为t秒，（1分） 当时，依题意，得（4分） 解得，（不合题意，舍去）；（5分） 当时，依题意，得 解得．（6分） ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米．（8分） 21．（11分）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】 (1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【解析】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得；（2分） （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米；（6分） （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. （11分） 22．（12分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)) (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为元 (3)当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元 【解析】 （1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)；（4分） （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元；（8分） （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元．（12分） 23．（14分）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1); (2)；(2)存在，M的坐标是或 【解析】 （1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴；（3分） （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为．（8分） （3）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或；（14分） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10._______________ 14. ________________ 11. ___________ 15. ________________ 12. _________________ 13. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（12分） 18．（9分） 19．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 -===-==一=-=--=====-==一一===一-■=-===-■■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ☐ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题： 本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B]LC][D] 5.[A][B][C]LD] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10. 12 15 三、 解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16. (12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. (12分) 18.(9分) 19.(12分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) C AP B 21.(11分) BC 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 23.(14分) y 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第二十五~二十六章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 5．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 11．将二次函数化为的形式，结果为_____． 12．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 13．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 14．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共8小题，共90分。 16．（12分）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 17．（12分）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 18．（9分）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 19．（12分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 20．（8分）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 21．（11分）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 22．（12分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 23．（14分）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $